MOMENTS D*ORDRE SUPÉRIEUR
la ligne a^. En poursuivant ainsi, on obtiendrait généralement la construction graphique de l'expression
et, en même temps, la construction graphique de chacun des termes composant cette somme. Soient
Qi, Qî, Qî^ .■■, Q« ces termes, de telle façon que
qyXd^' = Fixl Q,xrf* = P,arî, ..., Q«XûrA = P«ar*. Si Ton regarde maintenant
Qi, Qî, Qs, ..., Qa
comme des forces parallèles agissant non plus aux points d'application des forces données, mais en des points arbitrairement choisis sur les verticales de ces points, par exemple, en gr^, ^2» ?8? • • • et suivant des directions perpendiculaires aux forces données, soit, sur la figure, parallèlement à une ligne horizontale quelconque, on pourra trouver graphiquement le moment de leur résultante par rapport à cette ligne. Soit ^f,^i x rf, où [jl^^.! est une ligne qu'on relève sur la figure à ce moment; si
Ji» Jï> 73, ...» 7»
désignent les distances des points d'application
Çu Ç17 Çz> •••
des forces Qo Q2) Q»? • • • données à la droite horizontale considérée, on aura
fjLAM-, xdz^ Qi7, -+-Qj72-^ ... -+-Q/tr/i ou
fjL^^, X d^^^ = P,x^^Jr^ 4- P,xÎ7, -h . . . -^ P/*:r*7„ =- 2:P/x*7^
En continuant à opérer sur les forces, dans la nouvelle direction qui vient de leur être donnée, comme on a opéré sur elles dans leur direction première, on trouverait successivement, et par des constructions graphiques, les quantités
|XA.wXrf^^-'=2Pi:r*j<;
Cette quantité ^Pix'-yj est ce qu'on peut nommer un moment de C ordre k -\- l des forces données. Si la distance polaire d est l'unité de longueur, la valeur numérique de ce moment est représentée par la longueur [jla+/ mesurée à l'échelle des forces.
S'il est incommode de prendre la distance polaire rf égale à l'unité de longueur, on la prendra égale à un multiple ou un sous-multiple simple de cette unité, de façon que le facteur rf*+' par lequel il faut multiplier [jl^^/ pour avoir le moment d'ordre k-hl^ soit un nombre simple et facile à calculer.
Dans la pratique, on ne fait guère usage que des moments des deux premiers ordres. Ceux du premier ordre sont de la forme
SPi^i;
ce sont les moments statiques ou les moments des forces données relativement à une droite a^, tels que nous les avons définis au § 124. Ceux du second ordre sont de l'une des deux formes
SP/o?» ou ZPfXiyi.
Le premier est le moment d^ inertie relativement à la droite a,3. Ainsi l'on nomme moment d'inertie d'un système de forces parallèles dont les points d'application sont situés dans un plan, relativement à une droite de ce plan, la somme des produits de ces forces par les carrés des distances de leurs points d'application à la droite. On donne au moment d'inertie d'une force le signe de cette force. Si l'on pose
r est une longueur que l'on nomme le rayon de gy ration du système des forces données relativement à la droite ajî.
Remarque. — On voit que la construction graphique des moments des divers ordres, et en particulier celle des moments statiques et des moments d'inertie, n'offre aucune difficulté et découle d'une façon très remarquable de l'emploi du polygone des forces et du polygone funiculaire.
Lorsque les forces données, au lieu d'être en nombre fini, sont infiniment voisines, les polygones funiculaires sont remplacés par des courbes. On devra dans ce cas, si l'on veut opérer graphiquement, remplacer les forces données par un nombre fini de forces assez voisines les unes des autres pour pouvoir approximativement
HOHENTS d'ordre SUPÉRIEUR* 899
tenir lieu des forces données ou bien chercher T expression analytique du moment à déterminer et construire ensuite cette expression.
Nous donnerons plus loin quelques exemples indiquant la marche à suivre ; mais auparavant nous allons faire une étude plus complète des moments d'inertie si usités dans les applications de la Mécanique à Tartdes constructions.
Théorème I. — Le rayon de gy ration cCun système de forces relativement à un axe quelconque est égal à F hypoténuse d'un triangle rectangle ayant pour côtés de C angle droit: i® le rayon de gy ration relativement à un axe parallèle à celui que l'on considère et passant par le centre des Jorces parallèles données; 2** la distance entre ces deux axes.
En effet, soient (^g'. 9o, PL JCJCl) xi les distances des points d'application des forces données à un axe ZZ' ; soient x\ ces mêmes distances à un axe Z| Z'^ parallèle à ZZ' et passant par le centre G des forces parallèles données ; enfin soit a la distance entre ces deux axes. On aura
Xi —■- Xi -^ a, d'où
^Y*ix} ^- 2P/(x;4-a)*-- SP/:r;>-t-ZP,a«H-a2P/3r;a
ou, en mettant en facteur la constante a,
SP/a:^ ^ SP/j:;» -+- aïSP/ -h aaSP/^;;
mais, en vertu du théorème sur les moments des forces parallèles, 2Pij:)= o; car cette quantité est égale à 2P| multiplié par la distance du centre des forces parallèles à Z| Z'^ : or cette distance est nulle, puisque ^J^ TI^ passe par ce centre. Donc
-LW SP, '
c'est-à-dire que le carré du rayon de gyration relatif à ZZ' est égal au carré du rayon de gyration relatif à Zi Z*, plus le carré de la distance entre ZZ' et Tj\Tj\, ce qui démontre le théorème énoncé.
Théorème II. — Si, sur les dwerses lignes issues d'un point quelconque d'un plan, on porte des longueurs im^ersement proportionnelles aux rayons de gy ration relativement à ces lignes, le lieu des extrémités de ces longueurs est une ellipse.
Soient {fig- 94, PL JCA^l) G un point quelconque du plan; Ox'^ Cy deux axes de coordonnées rectangulaires et Ca une droite quelconque formant un angle a avec Taxe Cx'.
Le moment d'inertie d'une force P,-, relativement à la droite Ci/, est, en désignant par x'i ely] les coordonnées de son point d'application,
Pj {y'i cos a — x'i sin a)',
et le moment d'inertie de toutes les forces données relativement à
Cu sera
2 P/ {y'i cos a — j;/ sin a )'.
Si donc on appelle r le rayon de gyration relatif à cette ligne, on
aura
r» 2 P,- = 2 P|- (/i cos a — x'i sin a)«
OU
r*2P/ = 2P|/i«cos>a -h SP/arJ* sin«a — a2P/^/jKÎ sinacosa, et, en posant
a'*2P, = 2P,:ï;î, 6'«2:P, = 2P,7;î, c'«2P/ = SP,:r;y/, (A) r* = b'^ cos* a -+- a'* sin» a — a c'* cos a sin a.
Portons sur G u une longueur
d étant une constante que Ton peut choisir arbitrairement. Si x' et y désignent les coordonnées du point M, on aura
, rf« , d^ .
X = — cos a, y = — sina.
Si Ton tire de là les valeurs cos a et de sina et qu'on les porte dans l'équation (A), r^ disparaît en facteur commun et il vient
où a' et 6' sont les rayons de gyration relatifs aux axes des y et
VOUENTS d'ordre SUPÉRIEUR. 4oi
des j/ et &' le rapport
équation d^une ellipse.
ELLIPSE D'raEETŒ ET AIES PBIHCIPAUX. — ELLIPSE CEHTRALE ET AIES GERTRAUZ. — Si Ton avait pris deux autres axes de coordonnées rectangulaires Go; et Cy, on aurait obtenu une équation de la même forme, c'est-à-dire une équation telle que
b^x^ -+- a>y^ — 'kc'^xy = d*^
où a et b eussent désigné les rayons de gyration relatifs aux nouveaux axes, et c le rapport
Supposons qu'on prenne pour axes des x et desj^ les axes principaux de la courbe.
Pour ces axes on aura c = o, c'est-à-dire
2P/ar/7/ = o.
La courbe (i), rapportée à ces axes, prend la forme
et, en faisant la constante rf* = a^ b^,
(2) b^x^-ha^y^ = a^b^y
où a et 6 sont les rayons de gyration relativement aux axes principaux passant au point c, savoir : a le rayon de gyration relatif à l'axe des y, et b le rayon de gyration relatif à Taxe des a;, soit
ZPt '
Bemarque. — On donne au moment d'inertie d'une force le même signe qu'à cette force.
Si toutes les forces sont dirigées dans le même sens, on le prend I. 26
4oa 3* SECTION. — GHÂP. XXI.
pour sens positif, et alors le moment d'inertie de chaque force, relativement à un axe quelconque, étant positif, il en est de même du moment d'inertie de leur ensemble. En ce cas, a^ et b^ sont essentiellement positifs, et la courbe (2) ou (i) est une ellipse.
Si, au contraire, les forces données ne sont pas toutes dirigées dans le même sens^ il peut arriver que les moments d'inertie du système de ces forces, relativement aux deux axes principaux passant au point C, soient de signes contraires, c'est-à-dire que Tune des quantités a^ ou 6^ soit à remplacer par — a^ ou — b^. Ces quantités se trouvant alors de signes contraires, la courbe (i) ou (a) est une hyperbole.
La courbe (a), relative à un point C du plan, est nommée la courbe ou conique d'inertie relative à ce point; ses axes principaux sont appelés les axes principaux dHnertie, ou simplement les axes principaux relatifs à ce même point. Lorsque le point C coïncide avec le centre des forces parallèles, la conique d'inertie relative à ce point prend le nom de conique centrale, et ses axes principaux, le nom à'axes centraux du système des forces données.
On voit qu'en chaque point les axes principaux sont tels que, si on les prend par axes des coordonnées x et y, on a
On est certain qu'en chaque point il existe deux axes rectangulaires pour lesquels cette relation est satisfaite .
GABAGTfiBE DES DIAMÈTBES GOHIUGUÉS DES GOHiaUES D'HERTIE. — Soient {fig* 96, PL XXI) deux axes rectangulaires Cx' et Cj', passant par un point quelconque C du plan. L'équation de la conique relative au point G peut s'écrire, comme nous venons de le voir,
où
et d^ est une constante.
MOMENTS d'ordre SUPERIEUR. 4o3
Prenons un nouvel axe Cy formant avec Cûc^ un angle 0, et soient a/' et y les nouvelles coordonnées. On aura
(b) y=:ysin^, a?' = a?^ -h y ces 6,
en sorte que l'équation (i bis), rapportée aux nouveaux axes, sera
( a'*a?^*-f-aa'*cos6 (i) l — ac'*sin6
a7'7'-ha'*cos*6 -i-6'«sin«e — 2c'*siii 6 ces 6
y*=rf*.
La formule (A) du § 242 montre, et il est d'ailleurs évident, que le coefficient de y ^ est le carré du rayon de gyration relatif à l'axe cy. Soit fei ce rayon. Posons de plus
De la formule (6 ) on déduit
d'où
et
ou
y / = -^^ et X( = xt — ^'. ^ , •^' smô ' ' sinô
2P/5/y; ^ __! s Vix\y\ __ cosj s P/^ t £?/ sine SP/ sinO S P/ '
c'« a'«cosô cî= rmr rrr-s-»
ou enfin
sin 6 sinO
a'«cos 6 — c'*sin 6 = — cf sin«6.
Donc l'équation (a) peut s'écrire
a'^a?"»— 2 sin»6 c{ afy-Jf b\y^ = a«.
Si les axes Cx^ et Cy sont deux diamètres conjugués de la conique centrale, le terme en a;" y disparaît de cette dernière équation, c'est-à-dire queci = o.
Ainsi les diamètres conjugués sont caractérisés par la relation
(a) 2 P/^iy^ =? o-
Si les lignes Ca/' et Cy sont rectangulaires, la formule (a) caractérise les axes principaux : c'est ce que nous savions déjà.
4o4 3* SECTION. — CHAP. XXI.
Remarque. — Si du point dont les coordonnées sont x" ely^ on abaisse sur Cx" et Cy des perpendiculaires q et/?, on aura
donc, x] et y^ étant les coordonnées du point d^application de la force Pi, elpi et qi étant les distances de ce point aux axes G^'el Cy, on aura
et, par suite,
V sin 6 », 7/ Pi *^ sin e
^P'^'^'^iiliïë^p'-^'î'-
Donc Téquation (a), qui caractérise les diamètres conjugués CaX^' et Cy"^ peut encore s'écrire
NOUVELLE DÉFINITIOH DE LA GOHiaUE D'DŒETIL — Si, à chacune des droites G^ {fig* 97), issues d'un point C du plan, on mène deux parallèles KK', K| K'^ distantes de la droite Cp, d'une longueur égale au rayon de gyratlon relatif à cette droite, la conique d'inertie définie par l'équation (a) du § 243 peut encore être définie l'enveloppe des lignes KK' ou Ki K'^. Soit, en effet, Cwla direction du diamètre conjugué à la ligne quelconque C v dans la conique (2), et soient'CA=a' et GB = 6' les longueurs des demi-diamètres conjugués dirigés suivant Ou et G(', et 0 leur angle uCv. En vertu de la définition de la conique (2) (§ 243), si r est le rayon de gy ration relatif à l'axe G i^, on a
d^ ab
a et b désignant les demi-axes de la conique ; mais on a, en vertu d'un théorème bien connu, ^
ab — a'b'sm 6,
d'où
a' 6' sine , . .
r = j, — = a'sm 6,
HOHENTS D*ORDRE SUPÉRIEUR. 40^5
c'estnà-dire que le rayon du gyratîon relatif kCv est la longueur de la perpendiculaire AP abaissée, sur cette ligne, par l'extrémité A de son]diamètre conjugué ; et, comme la tangente en A est parallèle à Cf', on voit que cette tangente coïncide avec la ligne KK', ce qu'il fallait démontrer.
TRACÉ GBAPmanE DE LA DIRBCTIOH DES AXES FBIHCIPAUX BELATIFS A UH POm aUELCOHaUE du PLAH. — Connaissant la conique centrale d'un système de forces, il peut être utile de savoir trouver graphiquement la direction des axes principaux relatifs à un point quelconque G du plan. Ce problème se résout très simplement.
Soient, en effet {/ig» 99, PL XXII)^ ad= 2a et 66'= 26 les axes de la conique centrale tracée en pointillé sur la figure. On aura
Nous supposons, pour fixer les idées, a <ib. Faisons tourner cette conique d'un angle droit autour de son centre; nous aurons ainsi la conique AA'BB'. Soient F et F' ses foyers de sorte que
GF = /6«— a» =z X .
Désignons par x ely les coordonnées d'un point quelconque C du plan, rapporté aux axes centraux Oj? et O^, et soient Cx' et Cy deux axes parallèles à O x et Oy passant au point C. Le rayon de gyration relatif à Taxe C j:' est (§ 242)
Le rayon de gyration relatif à l'axe Cj/ est •
a' = ya» -r- x^.
Soient x'^ et^^. les coordonnées du point d'application d'une quelconque des forces données P/, relativement aux axes Cx' et cy. Posons
4o6 3* SECTION. — CHAP. XXI.
On a
a?Ji=r Xi — a?,
d'où ''="-''
rî'î
-L Vjx'iyt 2 VjXiyi 2 P/X/ 2 P,- X/
^ - y. P. ~ y~p: ^ "vlT ^ "~v~p7" ■*■ ^^"
2P^ 2P/ -^ 2P/ 2Pj
Et comme Co: et Q^y sont les axes centraux, les trois premiers
termes sont nuls ; donc
c'« = xy,
L'ëquation de la courbe d'inertie relative au point C, rapportée aux axes G^' et G^ , est ( § 243 )
OU
( ^t ^^î ja?'» -4- ( a» -4- a?> )r'* — a xyxy = rf*.
Soient GX et GY ses axes principaux; si a est l'angle que l'un de ces axes fait avec (^od ou avec Ox^ on a, d'après la théorie des courbes du second degré ,
on bien
— T.xy — ixy
X — k X -\- k tang a a = ,
ou, comme
on a
-^:=.tangGFar, -^=tangCF'jr,
tangaa = tang(GF'a:-i- GFa:),
a= i(CF'a:-+-GFa7) et ar^ - - i(GF'ar-h GFa:).
Gela signifie que, si Ton joint le point G aux deux foyers F et F' de la conique AA'BB' et qu'on mène les bissectrices des deux angles supplémentaires formés par ces rayons vecteurs, ces bissectrices sont précisément les axes principaux cherchés.
HOIIENTS D*ORDRE SUPÉRIEUR. 4(>7
On sait que, par tout point C d'un plan, on peut faire passer une ellipse et une hyperbole admettant des foyers F et F' et se coupant à angle droit; les lignes CX et CY sont précisément les tangentes, ou, si Ton veut, les normales à ces lignes.
Ainsi, lorsque des forces parallèles quelconques agissent sur un nombre fini ou non de points pris dans un plan, leurs axes principaux d'inertie aux divers points du plan sont les normales aux deux familles de coniques homofocales à la conique centrale^ que Von aurait fait tourner d'un angle droit autour de son centre.
SÉTEBlfDIATIOir GRAPHaUE DE LA GRAlIBEnR DES AIES PBUGIPAUX RELA- TIFS A UH pom auELfiomuE et du momeht d'iiebtie belatif a die
DROITE aUELGOmUE DU PLAR. — Une fois connue la direction des axes principaux relatifs à un point quelconque du plan, rien n'est plus facile que de déterminer la grandeur de ces axes; car on peut facilement trouver le rayon de gy ration relatif à une droite quelconque XX' du plan {fig» 99). Pour cela, du centre O des forces parallèles, on mènera une droite ÇÇ' parallèle à la droite donnée. La perpendiculaire abaissée sur ÇÇ', de l'extrémité du diamètre de Tellipse centrale conjugué à $$', représente (§ 245) le rayon de gyration relatif à cette ligne. Connaissant le rayon de gyration relatif à $$', celui relatif à XX' se déduit du théorème I établi au § 242. Soit 6' ce rayon.
On trouvera de même le rayon de gyration a', relatif à Taxe CY'.
La conique d'inertie relative au point C a pour demi-axes, suivant XX', la longueur a' et, suivant CY', la longueur b'\ cette conique est d'ailleurs inutile à tracer, puisque, à l'aide de la conique centrale, on peut trouver graphiquement le moment d'inertie relatif à une droite quelconque, ainsi que la direction des axes principaux relatifs à un point quelconque.
On voit par là combien il importe de savoir tracer la conique centrale d'un système de forces données. On le peut évidemment,
4o8 3* SECTION. — CHAP. XXI.
si Ton connaît les rayons de gyration relativement à trois axes de directions quelconques passant par le centre des forces parallèles, ou relativement à deux axes seulement, pourvu que l'on sache d'avance que ces axes sont dirigés suivant deux diamètres conjugués de la conique à tracer. Dans le premier cas, on connaît le centre de laconique et trois de ses points; dans le second, on connaît en grandeur et en position un système de diamètres conjugués.
Voici un cas qui se présente fréquemment, où l'on connaît d'avance les directions de deux diamètres conjugués.
Supposons (y?^. 101, P/. JCJCII) que des forces données soient deux à deux égales ; supposons, de plus, que les lignes aa', a^a\j aid.^^ ..., qui joignent les points d'application des couples de forces égales, soient parallèles aune direction fixe XX', et qu'enfin les milieux des lignes aa', a^d^^ a^^d.^ soient sur une ligne droite YY'. Nous appellerons cette droite un diamètre du système des forces données.
Si un système de forces parallèles admet un diamètre, le centre G de ces forces est sur ce diamètre (^). Soit X|X'^ une parallèle menée par le point G à la direction des lignes que le diamètre divise en parties égales; je dis que les droites X<X^ et YY' sont des diamètres conjugués de la conique centrale, c'est-à-dire (§ 244) que, si l'on rapporte cette conique aux axes GX'^ et GY', en appelant x'i etjKÎ les coordonnées du point d'application de l'une des forces données, on aura
En effet, les points d'application a et d de deux forces égales ayant même ordonnée et des abscisses égales et de signes contraires donneront, dans la somme ci-dessus, un total nul; il en est de même des deux forces égales appliquées en a^ et en a,, et ainsi de suite.
(' j Cela est évident : car le centre des deux forces appliquées en a et a* est sur ce diamètre; de même, le centre des deux forces appliquées en a, et a\, et ainsi de suite : donc le centre de toutes les forces données s'y trouve aussi, en vertu des Remarques du § 121.
