MOMENTS D*ORDRE SUPÉRIEUR

Habituellement on a à étudier les moments d'inertie d'aires limitées par des contours fermés, en supposant, comme on l'a déjà fait à l'occasion des centres de gravité, ces aires matérialisées et pesantes. Le moment d'inertie {^fig- 98, PL XXI^ d'une aire (A), relativement à un axe OX est le moment d'inertie des forces que la pesanteur exerce sur cette aire. Dans ce cas, toutes les forces étant dirigées dans le même sens, la courbe centrale est toujours une ellipse qu'on appelle V ellipse centrale d'inertie. Ses axes sont les axes centraux de l'aire donnée. Le carré du rayon de gyration relatif à un axe est le quotient du moment d'inertie relatif à cet axe par le poids de l'aire donnée ou par l'aire elle-même, si elle est homogène et de densité i (*).

Pour trouver l'ellipse centrale et pour connaître par suite (§ 248) le moment d'inertie de l'aire donnée, relativement à un axe quelconque pris dans son plan, il suffit, d'après ce qui précède, de connaître ses moments d'inertie relativement à trois lignes de directions quelconques passant par son centre de gravité, ou bien les moments d'inertie relatifs à deux de ces lignes que l'on sache d'avance être un système de diamètres conjugués de l'ellipse d'inertie.

Si une aire est décomposable en plusieurs autres, le moment d'inertie de l'aire totale est la somme des moments d'inertie des aires partielles : il suffit donc de savoir trouver les moments d'inertie de ces dernières.

Si l'aire donnée admet un diamètre rectiligne, cette ligne qui passe par le centre de gravité de l'aire et une parallèle aux cordes qu'elle divise en parties égales, menées parle centre de gravité, for-

(') Plus souvent encore, on définit le moment d'inertie d'un corps : la somme des produits de la masse (et non du poids) de chacun de ses éléments par le carré de sa distance à une droite. On passe de ce moment d'inertie à celui que nous considérons en multipliant le premier par l'accélération g de la gravité, laquelle est, à Paris, g — 9,8088.

4lO 3* SECTION. — CHAP. XXI.

ment (§ 249) un système de diamètres conjugués de l'ellipse cen- . traie, en sorte qu'on pourra construire la courbe si l'on connaît les moments d'inertie relatifs à ces deux lignes.

De là on déduit que, si la surface comporte un axe de symétrie, cet axe et sa perpendiculaire, menée par le centre de gravité, sont les axes centraux de la surface.

REGHERGIE DES MOHENTS D'INERTIE ET DE LA GOUEBE CEREALE D'IHERTIE. — Nous avons déjà vu (§ 241) que, quand on a un nombre limité de forces, leur moment d'inertie relatif à un axe quelconque se trouve graphiquement, sans difficulté, en faisant usage du polygone des forces et du polygone funiculaire. Par suite, on peut trouver graphiquement les éléments nécessaires au tracé de la conique centrale.

Lorsque les forces données sont en nombre illimité, comme cela a lieu pour les forces de la pesanteur agissant sur les divers points d'une surface plane supposée matérialisée, les procédés graphiques permettent encore de trouver approximativement les moments d'inertie. Il suffit de remplacer les forces données en nombre illimité par un nombre fini de forces assez voisines les unes des autres pour pouvoir, approximativement, tenir lieu des forces données.

Dans ce cas, on fait souvent usage aussi du Calcul intégral pour déterminer l'expression analytique des moments d'inertie, sauf à construire ensuite ces expressions par les procédés du calcul graphique.

Si p est la densité au point m de l'aire (A) rapportée à deux axes rectangulaires, le moment d'inertie de cette aire est

^ = SS9y'^dxdy\ son aire est

et le rayon de gyration r est

Si la surface est homogène, le moment d'inertie de la bande a^ a' ^'

■Vi-

HOHBNTS D*ORDRB SUPÉRIBUR. 4ll

{fie' ^^J ^'- ^^i)t de hauteur dy^ est

ap est une fonction dejK? définie par le contour qui limite Taire donnée (A). Si

le moment d'inertie de l'aire donnée sera

Son poids étant

9Sf{y)dy,

le rayon de gyration sera donné par la densité p disparaît.

SAy)dy '

On peut parfois remplacer le Calcul intégral par la règle suivante :

Soit 'r\ la distance à OX du centre de gravité de l'aire (A). Le théorème des moments donne

r\SSpdxdy = ffpydxdy.

Considérons un cylindre ayant pour base le périmètre de Taire donnée (A) et ayant ses génératrices normales au plan de cette aire, ce cylindre étant limité par un plan passant par OX et incliné à 45** sur le plan donné. Soit vji la distance à OX de la projection sur le plan (A) du centre de gravité du cylindre. Le volume de Télément cylindrique ayant pour base dxdy sevAydxdy, son poids pydxdy ; son moment py^dxdy. Donc le théorème des moments

donnera

"niffpydxdy =ffpy^dxdy.

Multipliant membre à membre les deux dernières égalités et

supprimant le facteur yypj^rfa;û(^ commun aux deux membres^

il vient

y\rnffpdxdy= ffpy^dxdy, d'où

'^'^'--ffrd^dy^'^'

4ia 3* SECTION. — CHAP. XXI.

Ainsi le rayon de gyration cherché est la moyenne géométrique entre les distances r, et 7i|. M. Bresse donne ce procédé dans son Cours de Résistance des matériaux prof essé à V École des Ponts et Chaussées.

BECTAHSLE HOMOfifiHE. — Appliquons-le à la recherche du moment d'Inertie d'un rectangle homogène Y Y'Z Z' {fig. 102, PI. ATA^II), relativement à l'un de ses côtés, au côté YY' par exemple. Soient YY'=a, Y'Z'=6.

On a, pour la distance t) du centre de gravité du rectangle à l'axe YY',

Maintenant élevons en Z et Z' des perpendiculaires ZZ| Z'Z'j jusqu'à leur rencontre, en Z| etZ'^, avec un plan incliné à 45°, mené par YY'. Nous formerons un prisme : son centre de gravité sera sur la ligne gg^ joignant les centres de gravité des triangles YZ|Z etY'ZjZ'. La projection g^i ^'j de cette ligne sera à une distance de YY

2 - ib Donc