Y^.= 3YZ

Le Calcul intégral fournirait le même résultat; car, en considérant une bande a^a'^' de hauteur rfr, distante de y de la ligne YY', son moment d'inertie sera ay^dy^ et le moment d'inertie du rectangle sera

ay^dy=- -^- .

Donc le carré du rayon de gyration, égal au moment d'inertie divisé par la surface ah du rectangle, sera

Ayant le rayon de gyration de l'aire d'un rectangle relativement

MOMENTS D*ORDRB SUPÉRIEUR. 4^3

à l'un de ses côtes, on en déduit immédiatement celui qui est relatif à une parallèle YY' ^fig. 103, PL XXII) à ce côté, passant par le centre du rectangle. Ce dernier sera donné (§ 242) par la formule

. b^ fb\^ 6»

d'où

De même, le rayon de gyration relatif à un axe Z| Z^ , perpendiculaire au précédent et passant par le centre du rectangle, serait

Ces résultats se déduiraient aussi facilement du Calcul intégral.

Il est évident que les axes de symétrie du rectangle sont les axes principaux d'inertie (§251). Donc l'ellipse centrale du rectangle a ses axes dirigés suivant ^\Y\ etZ|Z'^, et les grandeurs de ses

demi-axes sont -z= et -7=.; son équation sera donc

TBIAHfiLE. — Pour avoir le rayon de gyration d'un triangle ABC {fig. 104, PL XXII) relativement à l'un de ses côtés, à BC par exemple, nous remarquerons que la distance v) du centre de gravité du triangle au côté BC est

en appelant h la longueur de la perpendiculaire AP abaissée, du sommet A, sur le côté BC. Elevons en A une normale au plan du triangle et prenons sur cette normale une longueur AA' égale à AP. Le centre de gravité du tétraèdre ayant pour sommets B, C, A et A' (148) est au milieu O de la ligne IJ qui joint les milieux des arêtes opposées BC et AA'. La projection de O sur le plan- du triangle sera, par suite^ au milieu de la médiane AL Donc

4l4 3* SECTION. ~ CHAP. XXI

et, par suite, le rayon de gyration r sera

3 ""i-Tè'

c^est ce que le Calcul intégral indiquerait aussi. Soit, en effet, BC = 6 la longueur du côté BC. Considérons la bande a^ a'P' de hauteur dy^ à la distance j' de la ligne BC. On aura

Donc le moment d'inertie de la bande a ^ o'^' est ap X û(r X7« = -^ ( A -y)y^dy, et le moment d'inertie du triangle

Le rayon de gyration étant r, on aura donc

d'où

Sachant trouver le moment d'inertie d'un triangle relativement à un de ses côtés, on en déduit (^fig- 105, PL XXV) son moment d'inertie relatif à un axe de direction quelconque Be/ passant par un de ses sommets ; car ce moment d'inertie est, suivant les cas, la somme ou la différence des moments d'inertie des deux triangles BAX) et BCD, relativement à l'axe 6 e/ qui est un de leurs côtés.

Si Ton veut maintenant trouver le moment d'inertie d'un triangle ABC, relatif à un axe quelconque xoif ^ on cherchera son moment relatif à un axe parallèle Bu, passant par un sommet B du triangle. On en déduira, par le théorème du § 242, le moment d'inertie relatif à un axe parallèle à Be/ et passant par le centre de gravité G du triangle.

MOMSrfTS D ORDRE SUPERIEUR. 4l5

£nfîn, de là et par le même théprème on déduira le moment d'inertie cherché.

Si l'on veut trouver l'ellipse centrale d'un triangle ABC, il suffit de remarquer qu'une médiane kl (Jig. 106, P/. XA^V) étant une ligne diamétrale conjuguée au côté BC, qu'elle divise en deux parties égales, les lignes GA et GX, passant par le centre de gravité du triangle et dont la dernière est parallèle à BC, sont des diamètres conjugués de l'ellipse centrale (§ 2S1). Donc on n'aura qu'à chercher les moments d'inertie relatifs à ces deux lignes pour tracer l'ellipse centrale.

Le carré du rayon de gyralion relatif à BC étant -—» le carré du

rayon de gyration relatif à une parallèle à BC menée par le centre de gravité du triangle sera (§ 242)

Le carré du rayon de gyration du triangle ABC, relatif à la médiane AI, est double du carré du rayon de gyration relatif à AI du triangle AIC Ce dernier, en appelant k la longueur de la perpen-

diculaire abaissée de C sur la médiane, est -^ : le premier est donc -^ •

On a ainsi les éléments nécessaires au tracé de l'ellipse centrale.

Si le triangle est isoscèle, les lignes GA et GX étant perpendiculaires sont les axes de l'ellipse centrale. Si b est la base et h la hauteur du triangle, les carrés des deux rayons de gyralion principaux seront

i8 3 6 va'

Si le triangle est équilatéral, une médiane quelconque est axe principal, ce qui exige que l'ellipse centrale se réduise à un cercle. C'est ce qui a lieu aussi pour un polygone régulier quelconque, de même que pour un cercle ou un anneau circulaire.

4l6 3* SECTION. — CHAP. XXI.

ELLIPSH £T GOUROHNE ELUPTIftUX!. CERCLE ET AHHEAU CIRGULâOlE. — Soit {fig- 108, PL XXV) une ellipse dont le grand axe AA!= ia et le petit axe BB'= 2 6. Prenons une zone a p a' {3', de hauteur rf/, à la distance^ de l'axe AA', et de longueur a^ = 2 j:. Son moment d'inertie relatif à Taxe AA' est

et le moment d'inertie de l'aire de l'ellipse sera

7,Sxy^df, L'équation de l'ellipse est

On satisfait à cette équation, quel que soit l'angle 8, en posant

d'où

X •= a cos - > y = o sin ~ y 1 '^ 2

dv — ~h cos - rfO,

et l'expression du moment d'inertie devient

/A fi nVii C

COS* - sin* - û?0 = — - / sin* 6 d'). 22 4 J

L'intégrale doit être prise entre -h ir et — ir, puisque, pour^=±6,

on a

ô ^ w 2 ~~ ~" 2 Or

. ,. 1--COS26 /• . .û m ô sin2Ô r'^'^ . ....

s,n*0= , /sm*e(iô= — - , / sm*OrfO = r.

Donc le moment d'inertie relatif à l'axe AA' est (a) -^J

MOMENTS D*ORDRE SUPÉRIEUR. 4l7

elle rayon de gyration

Tzab 2

On trouverait de même que le moment d'inertie relatif à Taxe BB'

esl

Tza^b

et le rayon de gyration correspondant, - a.

Comme les axes principaux de Tellipse donnée sont nécessairement les axes de Tellipse centrale^ cette ellipse sera semblable à la proposée et semblablemenl placée, et ses axes seront égaux aux demi-axes de la proposée.

Soit maintenant un anneau compris entre deux ellipses semblables et semblablement placées, dont l'une ait pour demi-axes a eib et Tautre ma et mb, m étant un nombre que nous supposons plus petit que Tunité.

Le moment d'inertie de l'anneau, relativement à l'axe a a, a pour expression

Tzab^ Tzm^ab^ izab^

L'aire de l'anneau étant

Tzab{\ — m*), le rayon de gyration sera

De même, le rayon de gyration relatif à l'axe ib sera

Il résulte de là que Tellipse centrale sera semblable aux ellipses données, semblablement placée, et ses axes principaux seront

— V^n-m* et -sJ\-^m-,

Remarque, — Le moment d'inertie d'un cercle de rayon R, relatif à un diamètre quelconque, sera, d'après l'expression (a) ci-

.{l8 3*" SECTION. — CIIAP. XXI. — MOMENTS D'oRDRB SUPÉRIEUR.

dessus, où Ton fait a = 6 =rT R,

le rayon de gyration est — - L'ellipse centrale est un cercle de

rayon moitié de celui du cercle donné.

L'ellipse centrale d'une couronne comprise entre deux circonférences concentriques de rayons R et mR est une circonférence de rayon.