ÉTUDE DES FORGES PARALLELES

Théorème. — Si, aiix divers points d'une surface plane, matérielle, homogène ou non, on applique des forces parallèles, proportionnelles à une densité arbitrairement attribuée à la surface en ce point et à la distance positis^e ou négative de ce point à une droite fixe, le centre de ces forces parallèles est V antipôle de cette droite relativement à l'ellipse centrale de la surface donnée.

Remarque, — Si l'on veut appliquer ce théorème aux pressions que subit une aire plane plongée dans un liquide, il faut supposer à Taire, en chaque point, une densité égale à celle du liquide ; si on veut l'appliquer à une section transversale faite dans une des pièces que Ton étudie en Résistance des matériaux, il faut supposer, à chaque point de la surface, une densité égale au coefficient d'élasticité de la pièce en ce point, en sorte que, si celle-ci est homogène, la densité sera constante en tous les points de la section. On peut appliquer les mêmes considérations au pourtour d'une ligne plane fermée ou non.

HOTAU GEHTRAL D'UNE AIRE PLANE. — Lorsque Taxe neutre d'une aire plane MNM'N' est en dehors de Taire, les distances m des divers points de Taire à cet axe sont toutes de même signe; et, comme la densité k est une quantité essentiellement positive, on voit que les forces parallèles égales à ku qui agissent sur les divers points de Taire seront toutes de même signe, c'est-a-dire qu'elles seront toutes dirigées dans le même sens. Si, au contraire, Taxe neutre coupe le contour M N M' N', alors les distances w, à Taxe neutre, des points situés de part et d'autre de cet axe sont de signes contraires, et les forces appliquées en ces points sont aussi de sens opposés. Lorsqu'il s'agit de forces élastiques par exemple, si celles situées d'un côté de Taxe sont des tensions, celles situées du côté opposé sont des compressions, tandis que toutes sont de même nature (tensions ou compressions) si Taxe neutre est extérieur au contour de Taire donnée. Il y a donc un grand intérêt à distinguer les cas où Taxe neutre coupe ou non le contour M N M' N^. La démarcation entre ces deux cas a lieu naturellement pour les

424 3' SECTION. — CIIAP. XXI.

positions de Taxe neutre tangentes au contour. Ainsi supposons que, Taxe neutre étant en ZZ', le centre des forces parallèles agissant sur l'aire donnée soit en G. Si ZZ' se déplace parallèlement à luimême de façon à se rapprocher de la courbe MNM'N', le point G parcourra le diamètre XX', et s'éloignera du point O, comme l'indique la formule (3). Quand ZZ sera arrivé à être tangente MNM'N', le point G aura pris une certaine position G^; si ZZ' continue à se rapprocher jusqu'à se confondre avec OY, le point G s'éloignera indéfiniment. S'il dépasse OYde façon à arriver en Z| Z', , le point G reviendra à une distance finie, mais il ne sera plus du côté OX' de l'axe XX'. Si l'axe neutre vient à se confondre avec la tangente Z4Z'^ à la courbe, le point G occupera, par exemple, le point G4, puis, à mesure que Paxe s'éloignera, le point se rapprochera deO jusqu'à venir se confondre avec lui.

On voit par là que, tant que l'axe est en dehors de la courbe MNM'N', le point G est compris entre les positions G, et G4 qui sont les points symétriques des pôles des tangentes Zj Z^ et Z| Z', à la courbe MNM'N' relativement à Tellipse centrale.

Ce que nous venons de dire pour la direction particulière ZZ', on peut le répéter pour toute autre direction; on obtiendra ainsi une courbe telle que G2GiOL^, jouissant de cette propriété que, tant que la résultante des forces parallèles agissant sur Taire donnée tombe à Tintérieur de cette courbe, Taxe neutre est extérieur au périmètre de Taire donnée et, par suite, toutes les forces agissant sur cette aire sont nécessairement de même sens; si au contraire la résultante de ces forces tombe en dehors de la courbe G2G4aP, Taxe neutre coupe le contour de Taire donnée, et les forces situées de part et d'autre de cet axe sont de sens contraires.

L'aire comprise dans le périmètre G2G4a^ est ce qu'on nomme le noyau central de l'aire donnée. Tout point du périmètre G2O^0L^ étant l'antipôle d'une tangente au périmètre donné, on voit que le premier de ces périmètres est une courbe symétrique, par rapport au point O, de la polaire réciproque du second relativement à TelHpse centrale de Taire donnée.