CHAPITRE XXII

COMPOSITION DES FORCES DANS l'eSPACE.

LES FORGES DE L'ESPACE N'ADMETTEn PAS EH ftÉIltEAL DE POLTfiOHES FUnCULAIBES. — La Dolion du polygone funiculaire, si utile dans la composition des forces situées dans un plan, n'a pas son analogue dans l'espace.

Étant donné un système de forces distribuées d'une manière quelconque dans un plan, on peut toujours trouver une infinité de polygones tels, que les forces données, si on les suppose appliquées aux divers sommets de l'un de ces polygones, le maintiennent en équilibre, si l'on en rend les deux extrémités fixes.

De tels polygones n'existent pas, en général, à l'égard de forces distribuées d'une manière quelconque dans l'espace En effet, s*il en existe un, chacun de ses sommets doit être en équilibre sous l'action de la force qui y est appliquée et des tensions des deux côtés adjacents. Il faut pour cela, d'après la règle du triangle des forces, que la ligne d'action de chaque force et les deux côtés du polygone qui concourent sur cette ligne soient dans un même plan. Si cette condition est remplie, on pourra décomposer chaque force en deux suivant les deux côtés qui y concourent, ce qui remplacera le système des forces données par un système de forces équivalentes, toutes dirigées suivant les côtés du polygone funiculaire. Suivant chacun des côtés intermédiaires du polygone, seront dirigées deux forces qui devront être égales et opposées pour que le polygone demeure en équilibre lorsqu'on en fixe les deux extrémités.

43o 4* SECTION. — CllAI». XXII.

Ainsi il faut : i ° que chaque force soit située dans le plan des deux côtés du polygone qui lui sont adjacents ; a® que les deux composantes des forces données, dirigées suivant chacun des côtés intermédiaires du polygone, soient égales et opposées.

Quand toutes les forces données sont situées dans un même plan, la première de ces conditions se trouve remplie d'elle-même et Ton peut alors d'une infinité de manières satisfaire à la seconde; mais, dans l'espace, la nécessité de satisfaire à la première suffit pour déterminer un polygone dès qu'un seul de ses côtés est donné, et alors la seconde ne peut pas, en général, être remplie. Ainsi soient {fis- S8) les forces données

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iMjî. 58.

Proposons-nous de déterminer, s'il se peut, un polygone funiculaire dont ao^i soit un des côtés. Si, parles deux lignes a^ ai etP,, on fait passer un plan qui coupe Fa en aj, la ligne a\ a^ sera nécessairement le deuxième côté du polygone cherché ; si, par celte ligne et par Fa, on fait passer un plan qui coupe Fj en as, la ligne a^a^ sera le troisième côté du polygone cherché, et ainsi de suite. Si maintenant on décompose chacune des forces données en deux, suivant les deux côtés qui y concourent, il n'y aura aucune raison

COUPOSITION DBS FORCES PARALLÈLES. 43l

pour que la composante de P| suivant le côté a^Ci soit égale et opposée à celle de Pa suivant ce même côté, pour que la composante de P2 suivant le côté a2a^ soit égale et opposée à celle de P3 suivant le même côté, et ainsi de suite.

On voit donc qu'en général un système de forcés, dans l'espace, n'admet pas de polygones funiculaires.

POLTtDBE runGULAIBE DE EAHUIIE, SA GOMPUGàTIOK — Rankine a considéré, à l'égard des forces de l'espace, ce qu'il a appelé des polyèdres funiculaires. Le polyèdre funiculaire de Rankine est fondé sur ce théorème facile à établir : Des forces concourantes, normales aux faces d'un polyèdre fermé et proportionnelles aux aires de ces faces, forment un système en équilibre (*). Mais la conception de Rankine, qui conduit à représenter les forces par des aires et à considérer dans l'espace des figures formées d'une suite de cellules polyédrales accolées comme les cellules d'une ruche, n'a pas eu jusqu'ici d'applications : nous ne nous y arrêterons donc pas (^).

FTRAMIDE FUHIGULAIBE. — Voici une autre extension du polygone funiculaire qui nous semble plus conforme à la nature des choses. Sans y attacher plus d'importance qu'il ne convient, tant du moins qu'on n'en aura pas déduit des conséquences graphiques faciles, nous l'exposerons en quelques mots, d'autant qu'elle nous fournira une démonstration simple du théorème fondamental de la composition des forces dans l'espace.

Nous ferons d'abord ces deux remarques évidentes.

Remarque L — Une force peut toujours être décomposée en

(*) M. Chasles a démontré ce théorème dès 1829 dans le Bulletin de M. le baron de Férussac.

(') La plus simple de ces figures serait composée des cinq tétraèdres ayant pour arêtes les dix lignes joignant cinq points de l'espace. Ce serait l'analogue de la figure plane, formée par les six lignes joignant quatre points d'un plan.

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deux autres, dont l'une passe par un point donné O, et dont l'autre rencontre une droite donnée D.

Car, si C est la trace de la droite donnée sur le plan passant par O et par la ligne d'action F de la force donnée, et qu'on prenne, sur cette dernière ligne, un point quelconque a, on pourra toujours décomposer la force donnée suivant les lignes aO et aC, puisque ces lignes et la ligne F sont dans un même plan.

Remarque IL — On peut toujours décomposer une force V en trois autres : l'une donnée arbitrairement en grandeur, direction et sens; la deuxième passant par un point donné, la troisième rencontrant une droite donnée.

Car, prenant un point a sur la ligne d'action de la force F, on peut d'abord décomposer cette force en deux autres, dont l'une passe par a et soit égale en grandeur, direction et sens à une force donnée; la seconde composante sera alors entièrement déterminée, d'après la règle du parallélogramme des forces. Cette seconde composante pourra, à son tour, d'après la Remarque ci-dessus, être décomposée en deux, l'une passant par un point donné, l'autre rencontrant une droite donnée. La force F sera ainsi décomposée en trois, suivant les conditions indiquées.

Cela étant, soit un système de forces

P^iî Pî> Psj P*» • • •' r*/'

Ces forces sont représentées sur la Jig, 58 du § 2o4, où i = 6.

Prenons sur la ligne d'action de la force P^ un point quelconque «4, et décomposons cette force en trois autres : l'une suivant une ligne ai «0? arbitraire en grandeur, direction et sens, la deuxième a^ O passant par un point quelconque O de l'espace, la troisième a^ «2 rencontrant la ligne d'action de la force P2. Soit a^ ce point de rencontre; décomposons P2 en trois : Tune suivant a^cii égale et opposée à la composante de P| dirigée suivant cette ligne, la deuxième passant par O, la troisième rencontrant la ligne d'action de la force P3. Soit a^ ce point de rencontre; décomposons P3 en trois : l'une suivant a^a^ égale et opposée à la composante de Pj, dirigée suivant cette ligne, la deuxième passant parO, la troisième rencontrant la ligne d'action de la force P4.

On continuera ainsi jusqu'à la dernière force P/ qu'on dccom-