COMPOSITION DES FORCES PARALLÈLES

posera en trois : Tune suivant a/ a/, i, égale et opposde à la composante de P/u dirigée suivant cette lignes la seconde passant par le point O, la troisième rencontrant la ligne arbitrairement donnée aiao.

Nous avons donc remplacé le système des forces données par un système de forces équivalentes, les unes passant par le point O, les autres dirigées suivant les côtés du polygone «o^i «2^3 .- . a/. Les premières étant concourantes se composent en une seule; celles qui sont dirigées suivant les côtés intermédiaires du polygone sont supprimables comme étant deux à deux égales et opposées ; celles qui sont dirigées suivant les deux côtés extrêmes du polygone se composent en une seule, puisque ces côtés se rencontrent. Le système des forces données se trouve donc réduit à deux forces, dont l'une passe par le point arbitraire O. Ainsi, nous arrivons a ce théorème fondamental de la Statique :

Théorème. — Des forces distribuées d^une manière quelconque, dans l'espace, peuvent être réduites à deux, dont l'une passe par un point arbitraire.

Si nous considérons la pyramide ayant pour sommet le point O, pour base le polygone ao^i^aas, ..., ai et qu'on fixe : i** un point de chacun des côtés extrêmes de ce polygone; 2° le sommet O, la pyramide sera évidemment en équilibre sous l'action des forces données, puisque les forces passant par O et celles dirigées suivant les deux côtés extrêmes du polygone sont détruites parla fixité dos trois points O, «o, a/ et que les autres forces dirigées suivant les côtés intermédiaires du polygone peuvent être supprimées. Cetle pyramide a donc la plus grande analogie avec le polygone funiculaire, et on pourrait l'appeler lai pyramide funiculaire relative au point O.

Si le système des forces données est en équilibre, alors les deux forces auxquelles on le réduit doivent être égales et opposées, ce qui exige que la résultante des forces passant par le point O et des deux forces dirigées suivant les côtés extrêmes du polygone funiculaire soient dans un même plan; en d'autres termes, la pyramide funiculaire sera, dans ce cas, fermée.

Si le point O passe à l'infini suivant une direction quelconque, I. 28

la pyramide devient un prisme et la section du prisme par un plan quelconque (P) est un polygone funiculaire, à savoir : un des polygones funiculaires du système des forces données, projetées sur le plan (P), suivant une direction parallèle à l'arête du prisme.

Nous ne nous arrêterons pas davantage à ces considérations et à ces analogies de la pyramide funiculaire avec le polygone funiculaire, et nous passons de suite à l'étude des conséquences que l'on peut déduire de la réduction d'un système de forces à deux.

DirannOlfS. — Soit un système de forces distribuées d'une manière quelconque dans l'espace. Concevons qu'on les transporte toutes en un même point. Les forces ainsi transportées auront une résultante unique qu'on appelle la résultante de translation des forces données, de sorte que la résultante de translation et la somme géométrique d'un système de forces sont une seule et même chose.

Lemme, — Quelle que soit la manière dont on réduit un système de forces à deux, la résultante de translation de ces deux forces est la même que celle des forces données.

En effet, pour réduire un système de forces à deux, on ne fait que composer des forces entre elles et les décomposer suivant la règle du parallélogramme des forces. Si l'on fait, sur les forces transportées, exactement les mêmes compositions ou décompositions que sur les forces prises dans les positions qu'elles occupent réellement, on réduira ces dernières à deux et les premières à deux autres qui leur sont égales et parallèles, et dont la résultante représentera indifféremment la résultante de translation des forces données ou celle des forces auxquelles on les a réduites.

Théorème. — Les deux résultantes, quelles qu^ elles soient, d^un système de forces, se projettent sur un plan perpendiculaire à la résultante de translation de ces forces, suivant deiur lignes égales, parallèles et de sens opposés, c^est-à-dire suivant deux lignes formant un couple.