COMPOSITION DES FORCES PARALLÈLES

En effet, soient R et ^ les deux résultantes auxquelles on a réduit un système de forces.

Si Ton transporte ces deux forces parallèlement à elles-mêmes en un point de [^espace et qu'on les compose suivant la règle du parallélogramme des forces, on obtiendra la résultante de translation des forces données. Or, si Ton projette les forces ainsi transportées sur un plan perpendiculaire à leur résultante, leurs projections seront évidemment deux forces égales et directement opposées. Donc, avant leur transport, ces forces se projetaient suivant deux forces égales, parallèles et de sens opposés formant un couple.

Théorème. — Lorsque un système de forces n!est réductible ni à une force unique, ni à un couple, on peut toujours le réduire à deux forces, dont Vune ait pour ligne d* action une droite arbitrairement donnée dans l'espace, pourvu que cette droite ne soit pas parallèle à la résultante de translation des forces données; la ligne d^ action de la seconde force est alors entièrement déterminée.

En effet, soit D une droite arbitrairement donnée. Prenons sur D un point quelconque O {fig- 59, p. 436). On peut toujours (§ 268) réduire un système de forces à deux, R et ^, dont l'une R passe par le point O. Observons d'ailleurs que ces deux résultantes ne sauraient être dans un même plan, autrement elles seraient réductibles à une force unique ou formeraient un couple, ce qui est contraire à notre hypothèse.

Ceci posé, si R coïncide avec la droite donnée D, la proposition est établie; dans le cas contraire, par R et D faisons passer un plan; si ce plan rencontre c^, soit a le point de rencontre. On pourra décomposer R en deux : l'une suivant D, l'autre suivant Oa, puis composer celte dernière force avec ^ : soit A la ligne d'action de la résultante ; les forces R et ^ sont ainsi remplacées par deux autres, dont l'une a pour ligne d'action la droite donnée D ; et l'on voit que la ligne d'action A de la seconde est entièrement déterminée.

Si A est parallèle au plan passant par R et D, on mènera, par

436 4' SECTION. — en A p. xxii.

le point O une parallèle à A, Celte parallèle ne saurait coïncider avec R, puisque Si. et R ne sont pas dans un même plan. Donc, on pourra décomposer R suivant D et cette parallèle ; on composera ensuite cette dernière composante avec c-R, ce qui est toujours possible lorsque, comme nous le supposons, la droite donnée D n'est pas parallèle à la direction de la résultante de translation des forces données. Car alors les deux forces à composer ne sauraient former un couple, leur somme géométrique ajoutée à la force D devant être égale, en grandeur, direction et sens, à la résultante de translation des forces données.

Remarque L — A toute droite D de l'espace correspond ainsi, relativement à un système de forces données, une autre droite A et une seule, pourvu que les forces données ne soient réductibles ni à une force unique, ni à un couple et que la droite donnée D

Fig. 59.

ne soit pas parallèle à la résultante de translation des forces données, conditions que nous supposerons remplies dans ce qui va suivre; et il est clair alors que, réciproquement, à la droite A correspond celle D. Ces deux droites réciproques sont dites conjuguées ou correspondantes relativement au système des forces données. Ainsi, deux droites correspondantes relativement à un système de forces sont deux droites telles que le système de fortes soit réductible à deux forces dirigées suivant ces deux droites.

Remarque IL — Deux droites conjuguées, relativement à un système de forces, se projettent sur un plan perpendiculaire à la