VO R' = |R

CALCUL DES DnrarSIONS DES PIÈCES. — a. Si une pièce est soumise uniquement à l'extension ou à la compression simple, on détermine, par les méthodes indiquées dans le cours de ce Volume et qui seront complétées dans la seconde Partie de cet Ouvrage, Jes valeurs extrêmes des tensions (ou pressions) qu'elle a à supporter

DIMENSIONS DES PlàCES d'uNE CONSTRUCTION. 467

SOUS l^nfluence des diverses charges qu'elle est destinée à recevoir.

La plus grande et la plus petite de ces tensions (si elles sont de

mêmes signes) seront désignées respectivement en valeur absolue

par Fmax et Fmin et, si elles sont de signes variables, la plus

grande de toutes, en valeur absolue, que ce soit une tension ou

une pression, sera désignée par Fmax et la plus grande des forces

(le signç contraire à celle Fmax sera désignée en valeur absolue

par F'max. Donc la section S de la pièce doit être calculée par la

formule

Fmax

et, en prenant le signe d'égalité,

Fmax

où K sera remplacé par l'une ou l'autre des deux expressions données plus haut, suivant que les forces extrêmes qu'elle subit sont de même sens ou de sens opposés, de sorte que, dans le premier cas, on a

Fmax

Mais, dans une pièce soumise uniquement à l'extension ou à la compression simple, les forces élastiques sont uniformément réparties dans toute Tétendue de chaque section ; donc les forces élastiques /min, /max rapportées à l'unité de surface sont entre elles comme les forces totales; soit

/min Fmin

/max Fmax Donc

A) S = — = ; r-rg — : — =■ (Launhardt),

' Il r / n \ H min I ^ ''

/IL \|A /FmaxJ

où tout est connu dans le second membre.

On aurait de même, dans le cas d'efforts extrêmes de sens opposés,

<B) ^=^r /^T\F'max1 (Weyr.uch),

ni \ jx/ FmaxJ

et, s'il s'agît de pièces en fer et qu'on adopte les données numériques indiquées plus haut dans les formules I et II,

(A') S = — = = — r-^ (Launhardt)r

^ ' r I Fminl ^ '

ou

(B') S- r ^T^..-, (Weyrauch).

^ L' 2 Fmax J

Si la pièce ne subit qu'une charge permanente, on emploierai formule de Launhardt, en y faisant Fmax = Fmin= à la force élastique due à la charge permanente.

Cela revient à admettre comme charge de sécurité une fraction

- de la charge de rupture immédiate p suivant l'ancienne méthode

de calcul des dimensions. Mais, en admettant la formule numérique

où - = :r> on voit qu'on est ainsi conduit, dans le cas d'une

charge permanente sans surcharge, à admettre des tensions allant jusqu'au { de la charge de rupture et à faire travailler le fer à 1 0*^8, 67 par millimètre carré.

b. Considérons à présent une pièce soumise à une flexion simple sans extension, ni compression de la fibre moyenne. Dans ce cas, les dimensions de la pièce varieront généralement d'une section à l'autre et devront être calculées pour chaque section, à moins qu'il ne s'agisse de petits ouvrages où l'on fait les calculs pour la section la plus défavorable et où l'on adopte pour toutes les sections les dimensions obtenues pour celle-là.

Considérons une section quelconque. Supposons d'abord que le moment de flexion qui s'y développe conserve le même signe quelles que soient les surcharges. Soient M max et M min ses valeurs extrêmes (en valeur absolue), I le moment d'inertie de la section, u la distance entre la fibre moyenne et la fibre qui en est la plus éloignée. On aura (§ 209)

^ M max X u / ma\ = z y

^ M min x u /mm r^ 1 ,

DIMENSIONS DES PIÈCES d'uNE CONSTBUCTION. 469

d'oiJ

/max ^ Mmax /min ~" Mmin

Ce que Ton veut, c'est que/max ne dépasse pas la charge de sécurité pratique R, c'est-à-dire que

/maxIR.

En prenant le signe d'égalité, on a (§ 5)

/max = iiri^-(P-i)^l /^L \l^ //maxj

ou

^ ' J 'i L VP- / MmaxJ

ou tout est connu, sauf le rapport - que l'on peut ainsi déterminer.

Pourvu qu'on choisisse les dimensions de la pièce (la forme de sa section, sa hauteur^ etc., restent arbitraires), de façon que ce rapport ait la valeur trouvée ou une valeur supérieure, on sera certain de ne dépasser nulle part la charge de sécurité.

Supposons, en second lieu, que les moments de flexion dans la section considérée changent de signes, suivant la nature des surcharges. Soient Mmax et M'max les valeurs absolues des grandeurs extrêmes (de signes contraires) qu'il atteint, Mmax désignant la plus grande des deux valeurs absolues. On aura

d'où

- Mmax X w ., M'max x u /max= r , / max= = ,

/Vmax __ M^max /max ~^ Mmax *

et, par suite, la formule de Weyrauch donne pour calculer le rapport -

,rk\ Mmax X M af / u.'\ M'maxl

Les deux dernières formules donnent pour le fer, si l'on adopte les données numériques indiquées plus haut, dans le cas de mo-

ments extrêmes de mêmes signes,

^, I Mmax

u \ i M mm i

'hi

2 MmaxJ

et, dans le cas de moments de signes contraires, P^,. I Mmax

M r I M'max "]

L a MmaxJ

c. Considérons enfin une pièce qui subisse à la fois une flexion et une tension ou compression le long de la fibre moyenne.

Nous avons vu que, dans ce cas, on commence généralement, dans la pratique, par négliger la compression longitudinale et par déterminer les moments de flexion comme si la pièce était de section uniforme ; les moments de flexion connus dans cette hypothèse, on en conclut les valeurs des moments d'inertie des diverses sections. Cette première détermination se fera par la méthode qui vient d'être indiquée. On connaîtra ainsi pour chaque section le

rapport - • La section S elle-même reste indéterminée, ainsi que

la distance u de la fibre moyenne à la fibre extrême.

On se les donnera ou, d'après la forme qu'on aura adoptée pour la section de la pièce, son aire S résultera d'ordinaire de la connaissance de son moment d'inertie, et la valeur de u résulte aussi de la forme des lignes d'intrados et d'extrados qu'on aura adoptées.

Généralement ces premières déterminations suffisent. Sil'on veut pousser les calculs plus loin et faire une seconde détermination de I, soit, sous l'influence d'une charge quelconque, M la valeur absolue du moment de flexion dans la section dont le moment d'inertie est I. Soient u et u' les distances de la fibre moyenne aux deux fibres extrêmes (ou les plus éloignées) placées de chaque côté d'elle. Ces deux fibres supporteraient, sous l'influence de la flexion seule, des forces élastiques de signes contraires représentées en valeur absolue par

Mm Mm'

DIMENSIONS DBS PIÈGES D*UNE CONSTRUCTION. ijl

Soient N la valeur absolue de la tension ou pression longitudinale dans la section que nous considérons et S l'aire de cette section.

Convenons de désigner par u la distance qui se rapporte à celle des deux fibres extrêmes qui subit, par suite de la flexion simple, un effort de même sens que l'effort longitudinal. Il en résulte que la force élastique totale rapportée à l'unité de surface de cette fibre est / X . Ma N

et celle de l'autre fibre extrême

Mu' N

Le second terme de ces égalités regardé comme terme de correction est plus petit que le premier.

C'est donc la première de ces deux égalités qui donne la plus grande valeur de /.

Connaissant, à une première approximation, les valeurs variables

d'une section à l'autre de - et S, on a pu déterminer les valeurs .

correspondantes de Met N et, par suite, la valeur de/ pour chaque

charge. On peut donc savoir si les valeurs extrêmes de /sont de

mêmes signes ou de signes contraires et trouver dans les deux cas

les valeurs absolues extrêmes désignées, dans le premier cas, par

/max et/min et, dans le second, par/maxet/'max.

Désignons par M et N les valeurs de M et N répondant à la charge

qui donne /max. On doit avoir

- ^ Mu N ^ -,

/max S R ou —= — h -^ ^ R

ou, en prenant le signe d'égalité :

1° Si les valeurs extrêmes trouvées pour / en utilisant les

valeurs de première approximation de - et S sont de mêmes signes,

I S /iL \|A //maxj'

2® Si les valeurs extrêmes trouvées pour / sont de signes con-

traires,

I S /i L \ jx/ / max J

Dans les seconds membres, on mettra pour /max et /min ou pour /max et /'max les valeurs de /dont nous venons de parler,

c'est-à-dire celles résultant des premières valeurs approchées de -

N et S. Quant au terme -^f on pourra également y conserver pour S

la valeur de première approximation trouvée, de sorte que g est

connu et les deux dernières équations (Tune ou l'autre suivant le cas où l'on se trouvera) fourniront une nouvelle valeur approchée

de - > d'où résultera, par les proportions mêmes qu'on aura admises

pour la section, une nouvelle valeur de S.

On pourrait poursuivre ainsi l'approximation aussi loin qu'on le voudrait, mais on n'aura guère à le faire dans la pratique.

BEURaUE AU 8VJBT BE8 PIÈGES COMFBIIIÉES. — Une barre de fer comprimée ne peut se rompre que par écrasement ou parce que, ne restant pas droite, elle fléchit.

Le phénomène extrêmement complexe de l'écrasement a été élucidé pour la première fois par les belles expériences de M. Tresca sur l'écoulement des corps solides. Comme l'écrasement, d'après les expériences et la théorie de M. Tresca, n'a lieu que par cisaillement ou glissement transversal, dans les cas où il est à craindre, il serait sans doute prudent de réduire le coefficient de sécurité pratique des pièces comprimées, aux \ de ce qu'il est pour l'extension, d'adopter en un mot le coefficient R' du paragraphe précédent^ en place de celui de R, les coefficients numériques des formules restant pour chaque matière ce qu'elles sont pour l'extension.

Dans les cas où l'écrasement n'est pas à craindre, il n'y a à éviter que la flexion. En ce cas, Wôhler a observé que c'est toujours du côté des fibres tendues que la pièce se rompt. On commencera donc par calculer sa section en la regardant comme sim-

DIMENSIONS DBS PIECES D*UNB CONSTRUCTION.

plement comprimée ^ à Taide du coefficient de sécurité R par la règle a du paragraphe précédent.

Il faut ensuite examiner si elle n^est pas exposée à rompre par flexion.

On démontre dans la théorie de l'élasticité qu^une pièce droite AB, fixée à Tune de ses extrémités A (sans encastrement), dont Tautre extrémité B est assujettie à demeurer sur une direction fixe ABX et qui est soumise en B à une force de compression N dirigée suivant BA, ne peut pas fléchir, si