T!T«EI
Fig. 61.
011 / = AB est la longueur de la pièce, E et I son coefficient d'élasticité et le moment d'inertie minimum de sa section transversale, c'est-à-dire celui relatif à un axe passant par son centre de gravité et coïncidant avec le grand axe de son ellipse d'inertie.
Si la pièce était encastrée à ses deux extrémités, il suffirait, pour qu'elle ne fléchit pas, que
El
Quelles que soient les circonstances auxquelles la pièce est soumise, on conçoit que, pour qu'elle «e fléchisse pas, il faut que N
474 NOT£ u
soit plus petit ou au plus égal à une certaine quantité qui doii dépendre de E, I et /; et de la nécessité que la formule soit homegène, c'est-à-dire indépendante du choix^ des unités de longueur, de temps et de force, on pourrait conclure aisément, suivant une méthode que M. J. Bertrand a appliquée avec succès à des questions souvent complexes de Mécanique ou de Physique mathématique,
El que cette fonction doit être de la forme kj^y k étant un coefficient
purement numérique, c'est-à-dire indépendant du choix de toutes les unités. Nous écrirons donc, qu'il s'agisse de pièces encastrées, ou appuyées, ou semi-encastrées, c'est-à-dire reliées plus ou moins complètement à d'autres pièces d'une charpente,
comme condition de non-flexion, sachant que dans le cas de deu\ appuis simples, k = m*, dans le cas d'encastrement complet, k =: ^Ts^ et, par suite, dans les cas intermédiaires, A* devra aussi avoir des valeurs intermédiaires qu'il appartient au constructeur d'apprécier.
Ceci posé, la règle a du § 8 ne détermine que l'aire S à donner à la section de la pièce, laissant entièrement arbitraire sa forme et son moment d'inertie. La forme étant choisie d'après la naturr de la construction, on calculera le moment d'inertie minimum 1 et l'on vérifiera si l'on a, pour toutes les charges N que la pièce peui
être appelée à subir, I]> -r^*
Si cette condition n'était pas remplie, il faudrait augmenter certaines dimensions de la pièce.
Pour le fer, on peut prendre E = i6 x lo®, si le mètre est pris pour unité de longueur; si c'est le millimètre, on prendra E=i6xio5.
II est facile de voir, d'ailleurs, comment E varie avec les unités adoptées. C'est ce que nous allons indiquer en démontrant l'inégalité (*).
On doit avoir
^ étant une fonction inconnue des trois quantités E, I, /.
L'inégalité doit, par sa nature même, être indépendante du choix
DIHBN8I0N8 DBS PIÈCES d'uNE CONSTRUCTION. 475
des trois unités de longueur, de temps et de force ; changeons donc ces unités en les prenant respectivement \ Ij ^ plus grandes. Il en résulte qu^une force, qui était d^ abord représentée par la
P grandeur numérique F, le sera maintenant par F' = -; de même,
la longueur, qui était représentée par le nombre / des anciennes
unités, le sera par /' = jdes nouvelles.
Un moment d'inertie est une somme de termes dont chacun est le produit d'un élément de surface par le carré d'une longueur. Il est donc homogène à la quatrième puissance d'une longueur.
Donc le moment d'inertie, qui était d'abord représenté par 1, le
sera à présent par F = r^.
Le coefficient d'élasticité est défini par l'équation
qui donne l'allongement a d'une barre de longueur a et de section S sous l'action d'une tension ou force /, d'où
- > rapport de deux longueurs, est indépendant du choix des unités;
S est comme le carré d'une longueur.
Donc E est de degré i en force et de degré — a en longueur. Si Ton change les unités, ce qui était E devient donc
Ceci posé, l'inégalité cherchée doit être la même avec les nouvelles unités qu'avec les anciennes, c'est-à-dire qu'on doit avoir
N'<iKE',r, /')
ou, en remplaçant les nouvelles valeurs en fonction des anciennes, el cela quelles que soient les grandeurs cp et X.
47^ NOTE I. " DIMENSIONS DES PIÈGES d/uNE CONSTRUCTION.
Il faut donc que ces deux quantités disparaissent de Téquation. Pour que f disparaisse, il faut évidemment que E entre simplement comme facteur dans le second membre, c'est-à-dire que
4;(E, I, /)=Ei;,(I, /).
Alors rinégalité devient
N<EX.i..(^,,^).
Pour que X disparaisse du second membre, i] faut que
soit une fonction de degré zéro en \ ou que ^i( n» ^} soit homogène et de degré — i en )., ce qui exige que
par suite
On voit de plus comment E varie avec les unités. Il varie avec r unité de force comme une force et avec Tunité de longueur comme l'inverse du carré d'une longueur. En d'autres termes, il varie comme une pression par unité de surface. Donc, si pour le fer, en prenant le mètre et le kilogramme pour unités, on a E = i6 X lo*, en prenant le centimètre et le kilogramme, on aura E = i6xio*, et en prenant le millimètre et le kilogramme, E = i6 X lo' = 16000.
NOTE II. — PLANIMàTRE POLAIRE. 477
SUB LE PIANIMÉTRE POLAIRE ET LES INTÉGRATEURS d'aMSLER ET l'iNTÉGROHÈTRE DE M. MARCEL DEPREZ.
1. Amsler, Ueber die mechanische Bestimmung des Flàcheninlialtes, derstatischen Momente und der Trâgheitsmomente ebener Figuren insbesondere liber einen neuen Planimeter, von Jacob Amsler, Professor am Gymaasium in SchafTausen (Sur la détermination mécanique de Vaire^ du moment statique et du moment d* inertie des figures planes, en particulier sur un nouveau planimètre. Schaffouse, Beck et fils, i856. Extrait du Journal trimestriel de la Société des Sciences naturelles de Zurich). — 2. Ed. Colligtiom, Sur un appareil propre à donner la sur/ace, le moment d'inertie et les coordonnées du centre de gravité d'une aire plane {Annales des Ponts et C haussées j t. III, 1872 ). — 3. Amslbb, Anwendung des Integrators sur Berechnung des au/- und Abtrages bei Anlage von Eïsenbahnen, Strassen und Kanàlen {Application de V intégrateur au calcul des déblais et remblais dans les projets de chemins de fer, routes et canaux). Zurich, imprimerie Orell, FQssli et G'', 1875.
