I. — Planimètre polaire d'Amsler
IHÉORIE DS L'AFFABEIL. — Le planimètre polaire d^Amsler a pour objet la détermination mécanique de l'aire limitée par un contour fermé de forme quelconque tracé sur le papier.
Réduit à sa plus simple expression, il se compose {/ig' 112, PL XXVI) de deux tiges OA et AM articulées entre elles au point A.
La première porte en son extrémité O une pointe en acier qu'on peut fixer en un point quelconque du papier; la secondeporte : i ° en son extrémité M, un style à l'aide duquel on peut suivre le contour de la ligne fermée dont on veut trouver l'aire ; 2° en un point quelconque de sa longueur ou de son prolongement, une roulette I dont nous supposons d'abord l'axe en coïncidence avec celui de la tige AM elle-même, mais qui, dans la réalité, se trouve être parallèle
et invariablement lié à la tige AM, suivant une disposition comme celle figurée en pointillé pour la roulette J dont l'axe xy est parallèle à AM et invariablement lié à cette tige par un étrier ^1 ^yKyt ou tout autre moyen.
Ceci posé, pour trouver l'aire d'une courbe, on fixe la pointe O au point du papier qu'on juge le plus commode, soit en dehors, soit à l'intérieur de l'aire à mesurer \ puis on marque sur la courbe un point arbitraire Mo sur lequel on porte le style M. On s'assare que la roulette appuie bien sur le papier. On fait alors suivre au style tout le pourtour de la courbe en la décrivant de la gauche vers la droite, de façon à revenir au point de départ M^. Pendant ce mouvement, la roulette, par son adhérence avec le papier, a décrit un certain arc dont nous désignerons la longueur par la lettre u.
Théorème. — i'^ Si la pointe O est placée en dehors de la courbe, l'aire de celle-ci est équivalente à un rectangle ayant pour base F arc u et pour hauteur la longueur im^ariable de la tige AM= /;
2** Si la pointe O a été placée à l'intérieur de la courbe, l'aire cherchée est égale à une aire constante, c'est-à-dire ne dépendant que des dimensions de l'appareil et non de la courbe donnée, augmentée ou diminuée de l'aire du rectangle dont il vient d'être parlé,
1° Supposons d'abord la pointe O placée en dehors de la courbe. Il faut évidemment la placer assez près de la courbe pour que celle-ci puisse être parcourue en entier par le style M.
Ceci exige que la somme OA -h AM des deux tiges soit supérieure à la plus grande distance du point O à la courbe et que la différence AM — OA soit supérieure à la plus courte distance de ce point à la courbe.
Le point O étant ainsi choisi, il s'ensuit que les deux tiges OAet AM ne peuvent jamais se trouver en ligne droite; l'angle OAM ne peut pas atteindre et encore moins dépasser i8o". Cela équivaut à dire que le point A ne peut pas décrire la circonférence entière, et, comme il revientà son point de départ quandla tige AM revient elle-même dans sa position initiale A^Mo, le point A exécute une oscillation telle que AqAi AA^ Aq, dont les extré-
PLANIMÉTRE POLAIRE. 479
mités A| et A^ sont telles que les normales A4M1, AaM2 à la courbe soient égales à la longueur / de la tige AM .
Or, si Ton envisage la portion du plan balayée par la tige AM pendant la double oscillation du point A, on voit que, si la courbe a la forme indiquée sur la figure, un point pris dans son intérieur n'est rencontré qu'une fois par la tige, tandis que les points situés en dehors de la courbe sont rencontrés deux fois : une fois pendant le mouvement de droite à gauche, une fois pendant le mouvement de gauche à droite du point A.
Donc, chaque portion de l'aire de la courbe n'est décrite qu'une fois, et chaque portion d'aire prise en dehors d'elle l'est deux fois dans des sens opposés. Donc, si l'on convient de compter positivement les aires décrites parla droite AM pendant que le point A st; meut de gauche à droite et négativement pendant qu'il se meut en sens inverse, la somme algébrique de ces aires représente l'aire de la courbe.
Si la courbe présentait des sinuosités^ chaque élément superficiel pris dans son intérieur pourrait être décrit un nombre impair 2/1 + 1 de fois et chaque élément pris en dehors un nombre pair 2/1 de fois, n fois avec un signe et n fois avec le signe contraire. Le résultat serait encore le méme^ c'est-à-dire que la somme algébrique des aires décrites représenterait toujours l'aire de la courbe.
Ceci posé, soit AMA'M' l'aire comprise entre les deux positions infiniment voisines AM et A'M' de la tige. Nous pouvons amener celle-ci de la première à la seconde position par : i® une translation AA' qui lui fait décrire le parallélogramme AA'M/w, lequel devra être compté positivement ou négativement suivant la convention qui vient d'être faite; 2° une rotation autour du point A' qui lui fera décrire l'aire du triangle A'/nM', laquelle sera à ajouter à l'aire du parallélogramme ou à en soustraire, suivant que la rotation a lieu de gauche à droite ou de droite à gauche. Donc, l'aire AM A'M' sera la somme des aires du parallélogramme et du triangle, pourvu que l'on compte la première positivement ou négativement suivant que le point A se meut de gauche à droite ou inversement, et la seconde positivement ou négativement suivant que la rotation a lieu de gauche à droite ou de droite à gauche.
Le parallélogramme a pour base la longueur constante AM = /.
48o NOTE II.
Soit h sa hauteur comptée positivement si k! m est à droite de AM; son aire sera en grandeur et signe
Ixh,
Soit e l'angle /wA'M compté positivement s'il a été décrit de gauche à droite ; Taire du triangle sera en grandeur et signe
Donc Taire AM A'M' est en grandeur et signe
Ih -h - e
et, par suite, Taire S de la courbe, qui est, comme nous Tavons vu, la somme algébrique des aires A M A'M', est
Mais £e est l'angle total décrit par la droite A M et, comme elle part d'une position pour y revenir, cet angle est nul. Donc
Examinons à présent quel est Tare décrit par la roulette I. Soit I son point de contact avec le papier. Pendant la translation de la droite, le point I est venu en i et, pendant la rotation, il a décrit Tare iV.
Abaissons iK perpendiculaire sur AM. Nous pouvons remplacer la translation \i par les deux translations IK, K/; la première ayant lieu parallèlement à Taxe de la roulette, la seconde perpendiculairement à cet axe ; pendant le premier de ces deux déplacements, la roulette glissera sur le papier sans décrire d'arc ; pendant le second, elle roulera et développera Tare Ki dont la valeur absolue est h.
Mais Tare total que décrira la roulette est évidemment la somme des arcs qu'il décrit pendant qu'elle roule dans un sens, par exemple de gauche à droite, moins la somme de ceux qu'elle décrit pendant qu'elle roule en sens inverse ou la somme algébrique des arcs décrits comptés positivement dans un sens (le sens de la graduation de la roulette qui est faite de gauche à droite). Nous
PLANIMBTEB POLAIRE. 4^1
devons donc considérer h comme représentant en grandeur et signe l'arc décrit pendant que la ligne AM vient en Am; à cet arc vient s'ajouter, positivement ou négativement, celui iV décrit pendant la rotation de la droite autour de A' suivant que l'angle e est positif ou négatif. Donc, si p = AI = A'« = const. est le rayon de cet arc, l'arc total, déployé par la roulette pendant que la tige a passé de AM en A' M', est
/H-pe
et l'arc total qu'elle a développé pendant l'évolution complète de la tige, arc que nous avons appelé a, est
(a) M = S/n-pSe = 2A,
puisque Se = o.
Si l'on compare les équations (i) et (2), on voit que
(3) S = /xa,
ce qui établit la première partie de la proposition énoncée.
Remarque. — Si la roulette, au lieu d'avoir son axe coïncidant avec l'axe de la tige AM, était placée en J, de façon à avoir son axe parallèle et invariablement lié à cette tige, les résultats qui précèdent subsisteraient encore.
Soit JP = ^ la distance invariable de l'axe de la roulette ou de son point de contact J à la tige AM.
Le triangle JAP est invariable ; nous désignerons par 0 l'angle A de ce triangle.
Pendant la translation de la tige de AM en A' m, le point J décrit un chemin Jj égal et parallèle à II ; l'arc déployé par la roulette est donc le même qu'elle soit en I ou en J.
Par suite de ce premier déplacement, le triangle AJP vient en Mjp.
Le point de contact de la roulette avec le papier passe de J en y et l'axe de la roulette est alors dirigé suivant une parallèle (non indiquée sur la figure) kmA'p ou à MAP menée par le point y.
Pendant la rotation m A'M' = e autour de A', le point de contact y décrit un arcy J' répondant à un angle/A'J'= e et vient en J'.
Ce déplacement y J' peut être remplacé par les deux déplacements jk et A"!', le premier dans le prolongement de pj et, par I. 3i
48a NOTE II.
suite, perpendiculaire à Taxe de la roulette, le second A: J' parallèle à cet axe. Dans ce dernier mouvement, la roulette glisse sans rouler ; dans le premier, elle roule en déployant l'arc jk.
Or l'angle kji' est égal à l'angle j h!p ou à 6, ces deux angles ayant leurs côtés perpendiculaires. Donc
^y=yj'cos6 — pEcosO,
en désignant toujours par p la distance constante JA =y A' entre le point de contact de la roulette et le point d'articulation A.
Ainsi, l'arc développé par la roulette, dans la translation, est toujours égal à la hauteur h du parallélogramme AMA'm; dans la rotation il est pecosO, au lieu qu'il était pe, lorsque l'axe de la roulette coïncidait avec AM.
De plus, comme la roulette est ici sur le prolongement de MA, on voit que les avcsjp eljk déployés successivement le sont en sens inverses ou se retranchent.
On peut donc dire, d'une manière générale, que l'arc élémentaire déployé est
hdz pcos6 X e,
h étant l'angle constant JAP que fait la tige avec le rayon issu du point A et allant au point d'articulation ; ou
p étant la distance de l'axe de la roulette à l'axe de la tige AM, le signe -+- convenant au cas où la roulette est placée sur la ligne AM, c'est-à-dire entre son point d'articulation et le style M, le signe — lorsqu'elle est sur le prolongement de MA. On aura, par suite,
(5) a= 2A±v/prr]^2e
et, comme ici Jle =o, on aura encore
u= SA; d'où
2** Supposons, à présent, le point O placé à l'intérieur de la courbe {fig* 6i bis, p. 483).
Alors l'angle total décrit par AM ne sera plus nul, mais 360*^,
PLANIMÈTRE POLAIRE. 4^^
c'esl-à-dire qu'on n'aura plus Se = o, mais
(6) 2:8 = am.
Examinons comment sera engendré l'arc total u développé par la roulette. Admettons d'abord que la circonférence coupe la
Fig. 6i bis.
courbe donnée, de sorte qu'on puisse considérer trois sortes d'aires :
1® L'aire ou les aires, telles que (i), extérieures à la circonférence et intérieures à la courbe;
2° Les aires, telles que (3), qui sont, au contraire, extérieures à la courbe et intérieures à la circonférence ;
3** Les aires, telles que (2), intérieures à la fois à la courbe et à la circonférence.
Si la tige ÂM passe en A' M' et qu'on décompose encore le mouvement en une translation et une rotation, on voit que pendant la translation, si le point A se déplace de gauche à droite, la roulette développera un arc positif comme dans le cas précédent, lorsque AM est du côté opposé au pôle O par rapport à la tangente à
la circonférence en ky ce qui dans \difig> 112, PL XXVI ^ a élé implicitement supposé.
Il en est autrement lorsque la tige est du même côté que le pôle par rapport à cette tangente. Ainsi, dans le passage de la tige de a[x en d ^'y la translation est égale à aa'^ et la tige, par suite de ce premier déplacement, passe de a [x en a'v. Or, tandis que dans la position AM un observateur placé en A et regardant M verra la roulette tourner de droite à gauche, un observateur placé en a et regardant [Ji verra le sens inverse. Il en est de même pour un observateur placé en a^ et regardant [x,.
Pour les rotations e, le développement est toujours positif quand la rotation autour de A' se fait de gauche à droite. Nous n'avons donc rien à changer à la convention sur le sens des angles positifs e; mais, pour que la formule (5), à savoir
(7) tt=2Adb/p« — /?«2e,
donne encore Tare e/, il faut convenir que le point A se déplaçant de gauche à droite, h sera positif ou négatif selon que la tige AM sera ou non du côté opposé à la tangente à la circonférence en A par rapport au centre O de cette circonférence.
Considérons à présent Taire décrite par la tige AM. On voit que tout point de la partie (2) sera atteint deux ou un nombre pair de fois et les parties (i) et (3) une ou un nombre impair de fois.
Et si l'on compte positivement les aires lorsque, le point A se mouvant de gauche à droite, la tige AM est du côté opposé à la tangente en A par rapport au point, on voit que les aires balayées deux fois ont, dans les deux cas, des signes opposés. Il résulte de là : 1° que la somme des aires balayées dans (2) est nulle; 2? que la somme des aires balayées dans (i) est égale à cette aire comptée positivement; 3° que la somme des aires balayées dans (6) est égale à cette aire comptée négativement. Donc Paire totale balayée
est
ou, en ajoutant (2) aux deux termes,
S — thR»,
S étant Taire de la courbe et R = OA le rayon de la circonférence.
PLANIHÂTRB POLAIRE. 485
Maïs Taire AMA'M'= AMA'/w 4- AfmW est toujours
Ix h -{ £
en grandeur et en signe, pourvu qu'on fasse sur le signe de h la même convention que celle faite sur l'aire du parallélogramme AMA'/w = Ixh.
Donc Taire totale S — njR^ est
(8) S — TiTR«=/2A -4-^2e.
Retranchons de cette équation celle (7) multipliée par /, on aura
Mais Ze représente Tangle total décrit par la tige AM, angle qui est ici 2m. Donc
S = t!t(R«-4- /«ip a/ / p*— i>» )-h / X u, S = const. -i- / X a,
ce qui établit la seconde partie de la proposition.
Remarque. — Si la circonférence était tout entière placée à l'intérieur de la courbe, les résultats précédents se verraient d'une façon à peu près immédiate.
G0I8TAITB DS L'AFFABEU. — Si Ton pose
R«-4-/«qz2//p«— jD«=K«
le signe — se rapportant «lu cas où la roulette est placée entre les points A et M, le signe + au cas où elle est placée sur le prolongement de la tige MA, on aura
S = wK«-i-/x a.
La constante gtK^ qu'il faut ajouter au rectangle Ix u pour avoir Taire cherchée S est donc la surface d'un cercle de rayon K. Ce rayon est facile à obtenir avec l'appareil lui-même. Supposons,
pour fixer les idées, la roulette placée sur le prolongement de MA kfig* 6i ter^ p. 486); ayant donné à la tige OA une position fixe quelconque, faisons varier la direction de MA jusqu'à ce que le plan JP du rebord de la roulette, c'est-à-dire du plan passant par le point de contact J et perpendiculairement à Taxe de la roulette,
Fi g. 61 ter.
passe parle point O. A ce moment, la distance OM = K; car on a
AP = n/ ÂJ*- JP*= /p»-/)», et dans le triangle OAM
0M*= OaV AmV aAM x AP
ou
Le même procédé donne K si la roulette est calée entre A et M.
DISPOSmOHS PBATiaUES. — i^ La roulette est habituellement divisée en 100 ou 200 parties et un vernier permet d'apprécier les
PLANIMÈTRB POLAIRB. 48?
dixièmes de division. Elle communique à Taide d'une vis sans fin avec un petit pignon qui indique le nombre entier de tours qu'elle a faits pendant une opération.
Un repère est fixé sur l'appareil près des circonférences du pignon et de la roulette.
2® Après avoir placé l'appareil dans sa position initiale et s'être assuré que la roulette porte bien sur le papier, on note les divisions du pignon et delà roulette placées au droit du repère.
Quand le style a décrit la courbe qu'il s'agit de quarrer, on note de nouveau ces divisions.
La différence des deux chiffres lus sur le pignon donne le nombre entier de tours de la roulette^ et la différence des deux chiffres lus sur la roulette elle-même donne, à l'aide du vemier, les fractions de tour à j^ ou j^ de tour près, suivant que la roulette est divisée en looou 200 parties.
On a donc ainsi l'arc décrit u avec une grande approximation exprimée en tours et fractions de tour.
L'appareil est disposé pour que les chiffres ainsi obtenus donnent directement l'aire cherchée exprimée en unités connues.
Supposons, par exemple, qu'on veuille que ce chiffre fournisse l'aire en décimètres carrés. Il faut, pour cela, qu'un tour de la roulette réponde à une aire d'un décimètre carré. Or, si le périmètre de la roulette a une longueur de c décimètres et si la longueur de la tige AM est de / décimètres, l'aire correspondant à un tour de la roulette est de c X / décimètres carrés. Donc il suffit que
c X l = 1 ou /=-•
Si l'on veut que la différence des deux chiffres lus exprime l'aire S en une autre unité carrée, il suffit que cette dernière équation ait lieu, / et c étant exprimés dans l'unité linéaire correspondante.
3** Pour que l'on puisse, avec le style M, parcourir des courbes très diverses, la tige AM est disposée de façon qu'on puisse augmenter ou diminuer sa longueur /. A cet effet, elle a la forme d'une petite règle en cuivre à section carrée et pénètre à frottement dur dans un petit manchon en cuivre de même section. Des points de division, marqués de distance en distance sur la règle, indiquent diverses longueurs / qu'on peut lui donner en l'enfonçant plus ou
moins dans son manchon. Pour ces diverses longueurs, le nombre de tours de la roulette fournit naturellement Taire que l'on cherche exprimée en unités différentes. Ces unités sont indiquées pour chaque division à laquelle on s'est arrêté sur la règle elle-même.
Si Ton était amené exceptionnellement à donner à / une longueur ne répondant pas à l'une des divisions marquées, il faudrait multiplier les chiffres résultant des lectures par le rapport de la longueur adoptée / à celle qui répond à la division la plus voisine, pour avoir l'aire cherchée exprimée en unités indiquées par cette division.
4^ Quand on le pourra^ on placera le point fixe O en dehors de la courbe ; c'est alors que les lectures précédentes donnent directement Taire.
5^ Si Ton est amené à placer ce point à l'intérieur, il faut au chiffre dont il vient d'être parlé ajouter Taire constante dont la mesure est donnée au paragraphe précédent. Cette aire est gravée sur l'appareil.
6® Dans le premier cas, si le point est extérieur, la seconde des lectures indiquées ci-dessus (a®) donne toujours un chiffre plus fort que la première, et l'excès nécessairement positif da second chiffre sur le premier représente Taire cherchée.
Mais^ si le point O est intérieur, il arrivera que cet excès du second chiffre sur le premier sera tantôt positif, tantôt négatif ou même nul, suivant que Taire à trouver est supérieure, inférieure ou égale à Taire constante wK^.
Il faudra toujours l'ajouter avec son signe à cette aire constante.
