II. — Intégrateurs d' A ms 1er

PBIHCIFE SÉHÉBAL D'AMSUSR. — Soit donnée une courbe fermée G tracée sur le papier (Jig. 114? -P'« Jl^^Vl) et rapportée à deux axes rectangulaires Ox^ Oy, Concevons qu'une tige ou ligne matérielle de longueur invariable AM = / se meuve de façon que son extrémité A parcoure Taxe des x, tandis que son extrémité M décrit la courbe en cheminant de gauche à droite.

PLANIMàTRB POLAIRE. 489

Cette tige est accompagnée dans son mouvement par une roulette dont Taxe Cz parallèle au plan du papier est relié à la tige de la manière suivante :

I® Un point C de Taxe est invariablement lié à la tige, de façon que le triangle ACM soit invariable ;

a° A chaque inclinaison a de la droite mobile AM sur l'axe Ox, répond pour l'axe CZ une inclinaison ^ qui est une fonction linéaire de a, de sorte que

(i) P = aa-f-^

aet b étant deux constantes.

Nous ne nous occupons pas, quant à présent, des moyens qui permettent de réaliser matériellement cette relation. Nous la supposons réalisée et nous nous proposons de déterminer l'arc total u que développera la roulette en roulant sur le papier pendant que la tige AM fait une évolution complète, c'est-à-dire pendant qu'elle part d'une position pour y revenir.

A cet effet, considérons deux positions infiniment voisines AM, A' M' de la tige. Soient C^ la position de l'axe de la roulette répondant à la position AM, et I son point de contact avec le papier. Désignons par Ç = OA l'abscisse du point A.

Nous pouvons amener AM en A' M' par une translation AA'=dl qui lui donnera la position A'm, puis, par une rotation m A'M' autour du point m; Tangle mA'M! compté positivement de gauche à droite est égal à — rfa.

Pendant que la tige s'est déplacée parallèlement à elle-même, de AMen A'm, l'axe CZ, de son côté, conserve une direction constante en vertu de la relation (i). U est donc arrivé en cz faisant toujours avec l'axe O^r l'angle p.

Pendant que la tige a tourné autour de A' de l'angle — dct^ amenant le point c en C, l'axe cz a tourné de

(2) — ûfp = — ae/a.

Soit CZ' sa position définitive.

Nous pouvons concevoir qu'on l'amène de cz en CZ' par une translation égale à cC et une rotation — d^ autour de C

Le point de contact I de la roulette avec le papier a ainsi éprouvé :

i^ Une translation li parallèle à l'axe des x et égale à dl;

a** Une translation iV égale et parallèle kcC]

3° Une rotation égale à l'arc i'V décrit du point C comme centre.

Menons FK perpendiculaire à Taxe CZ jusqu'à sa rencontre en K avec cet axe.

Nous pouvons encore amener la roulette de sa première position à la dernière par une translation IK parallèle à son axe et pendant laquelle elle ne fait que glisser et un déplacement KF perpendiculaire, pendant lequel elle développera un arc de longueur Kl'. C'est donc là l'arc réellement développé; il est égal à la projection du chemin li^V sur une perpendiculaire à l'axe CZ.

La projection de li= AA'= ûfÇ est évidemment d^sin p.

La ligne iV est égale et parallèle à l'arc de cercle cC] sa grandeur estdonc — p<ia,enappelantpla]ongueur invariable CA = cA'.

D'ailleurs cC, et par suite iC étant perpendiculaire à A'c ou à CA, Tangle de iH avec IK est égal à l'angle de cz ou de CZ avec CA.

Or l'angle ZCA extérieur au triangle ACD est égal à

pH-DAC= ?-m8o— a — e,

en appelant 0 l'angle invariable CAM.

Donc la projection de ii^ est

u'cosO-+-i8o*— a — 6)= — u'siD(6-4-a— P)= prfasin(e -h a— p).

L'arc t'r= — p rfp est à lui-même sa projection.

Si donc on appelle du cet arc FK développé par la roulette pen- <lant le passage de la tige de la position AM caractérisée par l'inclinaison a à celle infiniment voisine caractérisée par l'inclinaison y. -f- doLj on aura

du = d^sln^ — p[i — sin(6 -f- a — P)]û?a.

Soient x, y et x -{- dx^ y -|- dy les coordonnées des points M et M'.

Au lieu de d\y il est plus commode d'introduire dx dans la formule précédente. On a

\ = X — Ico^oLy d\=. dx -\- l%mad%.

Donc

du = dx%m^ — p c^a +[/ sin a sin^H- psin(8-4- x — ^)]d%

PLANIMÈTRB POLAIRE. 491

OU, en observanl que

. o cos(3 — a)— cos(B-h a) ^ ,

sinasin3= ^ ^ ^ et B=aa-f-6,

du = dxsin^ — pdoL-+- - jcos[(a — i)aH- 6] — cos[(a -+- i)tx-H 6] ûfa -Hpsin[(i — a)a -4-6 — b\doL

cl pour Tare u développé pendant un déplacement fini de la droite

AM, par suite duquel Tanglc a passe de la valeur olq à celle ai,

« M — /ûfrsînp — p(ai — ao)

— J^^f^T^ t «>"[(« ■*-Oai-+-^]—sin[(a-t-i)ao-h 6] j

H [ -lsin[(a — i)aiH- 6]— sin[(a — i)3toH-^]}

H- plco8[(i — a)ao-l-^ — ^]— cos[(i — a)ai-h6 — 6]j J.

Pour un tour complet du point M sur la courbe, la droite AM

décrit un angle nul ou un nombre entier n de circonférences, en

sorte que

«1= «0-+- a/iw,

n étant nul si la tige AM ne fait qu'osciller, c'est-à-dire si elle décrit un angle total nul. Par suite, en remplaçant les différences de sinus et cosinus par des produits, il vient

iU = fdxs'm^ — 2/iTZTp sin(a-+- i)/iTiJ cos(a -f-i)(ao-<~ '*^)

f H j/cos(a — i)(ao-l- iw)— psin[(i — a)(ao-4- /iro)-f-6 — A] j.

De là résultent les conséquences suivantes:

a. Si la tige AM ne fait qu'osciller^ ce qui arrive toutes les fois que la droite 0:r ne coupe pas la courbe décrite par le point M, on a /i = o et par suite, quel que soit a,

(4) u = J dxsiik^ ou M = /ûfa? sin(aa H- 6),

l'intégrale étant étendue à tout le périmètre de la courbe.

C'est là la formule fondamentale d'Amsler que nous utiliserons.

b. Si la tige AM fait n tours et que a soit entier, la formule (3)

49^ NOTB II.

devient, quel que soit cet entier,

(5) z« = /ûfcrsinpH-G,

C étant une constante; car, a étant entier, on a sin(a -t- \)n-m = 8in(a — i)nTiJ = o.

Par suite, si a est dI£Pérent de i et de — i , tous les termes du second membre de (3) sont nuls, sauf les deux premiers, et

G = — inm^, SIa = ly on a

sin(a — i)/inT

— ^ ■ = nm.

Donc

G= — 2/irop[i-f-sin(6 — 6)].

De même, si a = — i ,

G = — /lTij(2p -f- /).

Ainsi, toutes les fois que a est entier, c'est une simple constante dépendant de l'instrument qu'il faut ajoutera l'expression /efjrsin ^ pour avoir l'arc décrit, lorsque la tige AM, au lieu d'osciller, décrit une ou plusieurs fois l'angle de 36o®.

e. Si a n'est pas entier et que la tige fasse un ou plusieurs tours, l'arc u développé par la roulette n'est pas déterminé en ce sens qu'il dépend de l'angle initial ao, c'est-à-dire du point de départ de l'extrémité M de la tige sur la courbe fermée qu'elle décrit.

Nous nous placerons désormais dans le cas de n = o, appliquant ainsi la formule (4) où l'intégrale est étendue à tout le périmètre de la courbe fermée.

OBJET ET FBmaFS DBS mÉIIBATBOBB D'AMSLEB. — Le but des intégrateurs d'Amsler est de résoudre ce triple problème : Trouver mécaniquement :

1® L'aire d'une courbe plane fermée tracée sur le papier; 2<* Le centre de gravité de cette aire;

3® Son moment d'Inertie relatif à un axe quelconque situé dans son plan.

PLANIMàTRB POLAIRE. 493

Soient {fig^ I i4î PI' XXVI) S l'aire de la courbe donnée, rapportée à deux axes rectangulaires Ox^ Oy\ 't\ l'ordonnée de son centre de gravité G et I son moment d'inertie par rapport à l'axe Ox supposé placé en dehors de la courbe.

Si l'on connaît l'ordonnée t) du centre de gravité G par rapport à un axe placé en dehors de la courbe, on le connaît par rapport à tout axe parallèle qui couperait la courbe; de même, si l'on connaît le moment d'inertie I relatif à Taxe Ox^ on le connaît (§ 230) par rapport à tout axe parallèle.

L'axe Oj7 étant ainsi placé, la ligne matérielle AM considérée au paragraphe précédent ne peut qu'osciller, c'est-à-dire décrire un angle total nul pendant que son extrémité M décrit la courbe, et la formule fondamentale (4) est applicable, quels que soient les coefficients a et 6 qui entrent dans l'expression de l'angle ^. Si x^ y désignent les coordonnées d'un point quelconque a pris à l'intérieur de la courbe et que l'on considère le rectangle infiniment petit ahcd dont les côtés a6, ac, parallèles aux axes, sont représentés respectivement par dx^ dy^ on a

^ = Sfdydx, ^y\^ SSydydx, 1=^ ffy'^dy dx,

l'intégration double s'é tendant à tous les éléments rectangulaires compris dans l'aire. Si l'on intègre relativement à /, on obtient

(5) S = fydx, Sri=\fy^dx, l = ^fy*dx,

où l'intégration simple n'est plus à faire que suivant le périmètre de la courbe, de sorte que, dans ces nouvelles formules ( qu'il serait aisé de démontrer directement en décomposant Taire de la courbe en bandes parallèles à l'axe des y, de largeur e/j? et de hauteurs égales aux portions d'ordonnée limitées par le périmètre), les coordonnées x et y sont celles d'un point quelconque M de la courbe elle-même.

Soit AM la position de la droite mobile considérée au paragraphe précédent. En conservant les notations de ce paragraphe,

on a

y = Isin tx,

de sorte que les expressions ci-dessus deviennent

(6) S = ;/sinacte, S = t)- /sin«actr, I=^/sin»aûte.