X . -? sin'a

3sin2

sin

D'ailleurs

on a

évidemment

fdx = Oy

l'intégrale étant étendue à tout le périmètre de la courbe. Donc

S = l f sinoLdXf

, Stj = -/cos2arfj7 = -/sin(2a — ^)dx= - f sin {^ol -¥■ ^)dx.

I = - S /sinSaûfcr.

On pourra donc déterminer S, tj, I, en disposant sur l'appareil décrit au paragraphe précédent trois roulettes telles que les angles P que décrivent leurs axes aient respectivement pour valeurs

(9) p = a (surface),

(9') p = 2a — 90 ou p = aa 4- 90 (ordonnée du centre de gravité),

(9") P = Bat (moment d'inertie).

DlSPOSmOIS DES IHTÉaEâTEURS D'AMSLER. — La relation ^ = a se réalise sans difficulté. Il suffit de placer Taxe CZ de la roulette parallèlement à la tige AM et de relier ces deux lignes invariable* ment Tune à l'autre ; alors elles resteront parallèles dans toutes les positions.

En ce qui touche les deux autres relations, Âmsler, dans son Mémoire de i856, observe qu'il y a bien des moyens de les réaliser.

Parmi ces moyens, il en indique deux : le premier, très simple théoriquement et très ingénieux, serait peut-être d'une réalisation pratique plus difficile que le second.

Aussi ne l'indiquerons-nous que sommairement :

Première disposition. — La droite AM (fig» 62, p. 49^) est celle dont l'extrémité M porte un style auquel on peut faire parcourir une courbe donnée, pendant que son extrémité A parcourt une droite donnée Ox.

PLANIMBTRB POLAIRE. 49^

Une ligne CE est assujettie à glisser le long de AJVf.

Une tige AB^ qu'on maintient constamment dirigée suivant Taxe Ox que doit parcourir le point A^ est articulée en ce point à la tige AM, tandis que son extrémité B est articulée à une tige BC, articulée elle-même en C à la tige CE. Enfin, celle-ci est articulée à une dernière tige EH, dont l'extrémité H est assujettie à glisser

le long de CB.

Fig. 63.

Les tiges AB et BC sont égales, ainsi que celles CE et EH. Il en résulte que, si à un instant quelconque la tige AM fait avec Ox l'angle a, les angles C et H seront aussi égaux à a. Par suite, l'angle CBj? extérieur au triangle isoscèle ABC est 2a.

Il en est de même de l'angle AEH extérieur au triangle ECH; par suite, Tangle de EH avec Ox est 3a.

D'après cela, si aux deux tiges AM et EH on fixe deux roulettes D| et D3, dont les axes soient respectivement parallèles et invariablement liés à ces tiges, et qu'à la tige CB, supposée prolongée et retournée à angle droit, on fixe une roulette D2 dont l'axe soit d'équerre sur la tige, lorsque la tige OM fait avec Ox l'angle a, les axes des trois roulettes D|, D2, D3 feront bien avec Ox les angles respectifs

( Pour la seconde, ce serait 2 a — 90, si Ton avait retourné d'équerre la tige CB vers la gauche.)

Si donc on observe, comme nous l'avons expliqué à roccasion

du planimètre, les arcs développés par ces roulettes pendant que

le point M parcourt une courbe fermée et qu'on désigne ces arcs

par

on aura, d'après la formule (5) du paragraphe précédent,

Ui= fsînoidXy Us = /sin (2at+ 9o)<ir, U) = /sin3ac£r

et, par suite, à cause de (8), pour l'aire, le moment statique et le moment d'inertie de la courbe donnée

(9) S = /mi, S7)=:-ja,, I == —(Sa, — a,).

Dans la disposition qui précède, il va de soi que tous les glissements indiqués sur la figure théorique (p. 49^) seraient en réalité remplacés par des roulements à l'aide de galets.

Deuxième disposition. — Un chariot à deux roues {Jig' ii3, PL JlJCVI) parcourt la droite Ox, Ce chariot porte l'axe vertical A, autour duquel peut tourner le levier AM auquel est invariablement liée une roue V| dont le centre coïncide avec l'axe de rotation A. Cette roue communique, soit à l'aide de dents d'engrenage, soit par simple adhérence avec deux pignons V2 et V3, dont les axes sont porlés comme Taxe A par le chariot roulant.

Le diamètre de la roue V| est double de celui de Vj et triple de celui de V3.

Le bras AM porte une roulette D| dont l'axe lui est parallèle et invariablement lié.

Suivant l'un des rayons de la roue V2 et invariablement lié à cette roue, est fixé l'axe horizontal d'une autre roulette D2 ; de même, suivant l'un des rayons de Vj, est fixé l'axe horizontal d'une roulette Dg.

Les rayons suivant lesquels sont dirigés les axes des deux roulettes sont les suivants : concevons que, le chariot restant fixe, on fasse simplement tourner le bras AM et, par suite, la roue V| avec laquelle il est solidaire, autour de leur axe commun A, jusqu'à ce que AM soit devenu parallèle à O^.

L'axe de D2 est dirigé suivant le rayon de V2 qui, à cet instant,

PLANIHÈTRB POLAIAE. 497

est perpendiculaire à 0:r et l'axe de D3 suivant le rayon de V3 qui, à cet instant, est parallèle à Ox,

Ceci posé, supposons que le chariot chemine suivant Ox pendant que le style M parcourt une courbe donnée.

Soit, à un certain instant, a Tanglede AM avec Oj: et désignons par ^,, ^2, ^3 les angles correspondants des axes des roulettes D|, D2, Ds avec le même axe.

On a évidemment p, =r a.

En ce qui touche ^2 et ^3, pour un déplacement intiniment petit du chariot qui fait tourner AM et, par suite, la roue V| d'un angle ûfa, les roues V21 V3 et, par suite, les axes des roulettes D2 et D3, qui sont in^variablement liés aux disques de ces roues, tournent respectivement de

2ûfa et 3ûfa; ainsi

d'où

p, = 2a-i-const., p3 = 3 a -H const.

Mais, par la façon dont on a choisi les rayons suivant lesquels sont dirigés les axes des roulettes, pour a = o, on a

pt = 9«, p3=o; donc

On réalise donc bien les relations voulues et, par suite, la connaissance des arcs Ui^ u^, ih développés par les roulettes, pendant que le style M parcourt une courbe fermée, donne l'aire de la courbe, le moment statique et le moment d'inertie de celte aire.

Remarque. — En modifiant les proportions des roues et les positions des rayons des pignons suivant lesquels sont dirigés les axes des roulettes, on peut ainsi réaliser toutes les relations

p = aa -h 6, supposées au § 1.

OBSERVATIOI SUR L'EMFLOI PEATiaUE DE L'IHSTBUMENT. — Si u^, u^, «3 sont les arcs développés par les trois roulettes, nous avons vu que l'aire S, le moment statique Stj et le moment d'inertie I sont

donnés par les formules (9), à savoir

S = /ai, Sr, = — tti, I = — a, M3.

On peut évidemment graduer les roulettes de façon que, si m,, W21 «^3 désignent non les longueurs, mais les nombres de tours et fractions de tour lus sur les roulettes, on ait

S = Mj, Sy) — awj, I = Mi-4-bi/3,

les constantes a et b dépendant de l'appareil et de l'unité de longueur adoptée.

Ces constantes sont indiquées sur chaque appareil; l'unité de longueur est généralement le décimètre.

En 18-5, Amsler a publié une nouvelle Note sur ses intégrateurs. Dans cette Note, il donne le dessin détaillé de l'instrumeni décrit plus haut avec trois roulettes, et les dessins de deux autres dispositions dont l'une donne les aires, moments statiques et moments d'inertie à l'aide d'une seule roulette, et dont l'autre, un peu simplifiée, donne seulement les aires et moments statiques aussi avec une roulette. La théorie de ces instruments est facile à déduire de ce qui précède et les instructions jointes à chacun d'eux eu rendent l'usage facile.

Pour l'appareil à trois roulettes, les coefficients sont

a = o,6, b=o,4' Pour l'appareil complet à une roulette a = o,5, b=i.

Pour l'appareil qui donne seulement les aires et moments statiques

I1ITÉ6B0HÈTBE DE H. HARGEL DEPRI2. — M. Marcel Deprez a décrit, en 187?., sous le nom AUntégromètre, un appareil fondé sur le môme principe que l'intégrateur d'Amsler (qui lui était alors inconnu), ayant le même objet, mais en différant un peu dans ses

PLANIUÈTRE POLAIRE. 499

(lisposititions matérielles. Revenons à \di Jig. ii3, PL JCJCVJ^ du second modèle décrit par Amsler, dans son Mémoire de i856. On peut réduire les deux roulettes Dj et D3 à une seule, à la condition de remplacer la roulette supprimée par une roue.

En effet, supposons qu'on monte les deux pignons V2 et V3 sur un même axe en remplaçant, par exemple, ce dernier par celui w^ qui lui est égal et qui est monté sur le même axe que celui Vj. Ajoutons une nouvelle roue tv, indiquée en traits discontinus, qui engrène avec le pignon (V3 figuré aussi en traits discontinus.

Les deux pignons Va et w^ sont calés sur le même axe, lequel est solidaire de l'axe horizontal de la seule roulette conservée D2.

Supposons de plus que les deux roues V< et (v,, qui ont toutes deux pour axe l'axe de rotation A de la tige décrivante AM, soient folles sur cet axe et qu'elles portent chacune un trou dans lequel on puisse enfoncer un goujon qui permette de fixer invariablement soit Tune, soit l'autre, à la tige AM. Si l'on fixe la roue V| en laissant celle iv, folle, rien n'est changé au mouvement du pignon Vj et de la roulette Do. Celle-ci donne donc le moment statique.

Si, au contraire, on fixe la roue w^ en laissant celle V| folle, alors c'est le pignon w^ qui sera actionné et la roulette Dj fonctionnera comme fonctionne dans l'appareil d' Amsler la roulette Ds. Elle donnera le moment d'inertie.

C'est par ce changement de position de l'un des trois pignons que se distingue l'appareil de M. Marcel Deprez. On en trouve la description aux Annales des Ponts et Chaussées^ tome III, 1872, donnée par M. Ed. Collignon.

APPUGATIOI DE L'INTifiBATEUB AU CALCUL DES DÉBLAIS ET BEHBLAIS. — Dans l'étude d'un projet d'une voie de communication, route, chemin de fer ou canal, on a, en général, un certain nombre de tâtonnements à faire, avant d'arrêter définitivement le tracé en plan et le profil en long. Dans chacun des essais que Ton fait, il est important de pouvoir se rendre compte rapidement des cubes de déblais et de remblais que le tracé mis à l'épreuve entraînera.

Pour le calcul des surfaces des profils, les ingénieurs se servent depuis longtemps du planimètre polaire. Mais la détermination

5oo

mécanique directe des éléments du mouvement des terres, c'est à-dire des volumes de remblai et de déblai, est beaucoup moins usitée; le planimètre n y suffirait pas, tandis que l'intégrateur ou planimètre des moments fournit la solution du problème, ainsi que le montre Amsler dans sa brochure de iSjS. Il envisage trois cas qui sont comme trois approximations successives. Nous nous bornerons ici à indiquer la première comme étant la plus pratique el peut-être la plus importante, en ce qu'elle procure très rapide-

Fig. 63.

ment les éléments nécessaires pour décider entre deux tracés lorsque c'est le mouvement des terres qui est déterminant.

Pour plus de détails, nous ne saurions mieux faire que de renvoyer à la brochure môme d' Amsler (* ).

(') Anwendung des Integrators, etc., Application de V intégrateur au calcul des déblais et remblais dans l'étude des chemins de fer, roules et canaux. par Amsler-LaiïoD, à Schaiïousc (Zurich, imprimerie Orell-Fassli et C'% iSjS).

PLANIMÈTRK POLAIRE. 5oi

Les trois approximations considérées par Tauteur résultent de ceci : dans les profils en travers {fig> 63), il remplace la ligne «rintersection bac de chaque profil en travers avec le terrain naturel par :

1"* Une droite horizontale DE, (première approximation); 2'^ Par une droite inclinée hc (deuxième approximation); 3" Par deux droites «&, ac (troisième approximation);

La plate-forme BC en remblai ou B'C en déblai de la voie a naturellement une largeur constante dans tout le tracé. Cependant dans les déblais on peut remplacer la section vraie, comprenant les fossés, par une section équivalente limitée à ThorizontaleBC.

Divisons le profil en long en sections telles, que, dans la longueur d'une section: i** la pente ou rampe ne change pas; 2® qu'il n'y ait que des remblais ou des déblais.

Soit, par exemple, une section en remblai et représentons en plan {Jîg. 64) son axe AoA,„ les deux arêtes BqB;,, CoCa, équi-

Fig. 64.

distantes de l'axe, qui limitent la plate-forme de la roule et les lignes plus ou moins irrégulières DoD^, EqE^i d'intersection avec le sol.

Considérons le profil en long {fig* 65) correspondant Cç^K^Cn^n^ à Véchelle du dessin, où les hauteurs et largeurs sont à une échelle différente de celle des longueurs et où, par suite, les pentes et rampes sont ampliHées; soit i l'inclinaison de l'axe du profil, mesurée sur le dessin, c'est-à-dire amplifiée.

Pour déterminer la valeur du remblai compris entre les profils Cq S!^ et Cn^ni soit k un point quelconque pris à l'intérieur du con-

5oa NOTE n.

tour €o A|, e„ A^ formé par : i ° Taxe A'^ A^, de la voie ; 2° la ligne d'interseclion eoaen avec le sol; 3° les profils extrêmes eoA',,, e,|A„, et Cl) un élément d'aire infiniment petit, par exemple rectangulaire, tracé autour du point k.

Par ce point, menons le profil en travers, c'est-à-dire vertical akA, Comme nous nous bornerons à la première approximation, ce profil sera un trapèze isoscèle BCDE {/fg» 63, p. 5oo). Prolongeons les talus DBet EG jusqu'à leur rencontre en S; le lieu des points S sera sur le profil en long (/Z^. 65) une parallèle S^S), à l'axe de la voie. Représentons le point k sur le profil en travers (y?^. 63) et menons par ce point l'horizontale pky.

Fig. 65.

Le volume de terre projeté sur le profil en long suivant Télément de surface w, indiqué par des hachures, a pour expression

0) X 3y = 210 X A'Y = 20) X ArStangçp,

<p étant l'inclinaison donnée, des talus sur la verticale. La ligne AS est aussi représentée sur le profil en long par la verticale kS'. Du point k {Jig- 65) menons A-S'^ perpendiculaire à SJ,S),. On aura

cost cost

en posant j' = AS*,.

Donc le volume de l'élément projeté en co est

atanjyçp co:i

wj,

PLANIMÈTRE POLAIRE. 5u3

et le volume total du remblai projeti suivant ecA^e/^A^^ est

cost "^

Mais la somme indiquée n'est autre que le moment statique de Taire P^^e^eaP^n par rapport à la droite SJjS',^.

Si donc on fait parcourir au style de la tige du planimctre le contour de cette aire, pendant que son autre extrémité parcourt la ligne S„S), et qu'on note les divisions tt'^, u\ de la roulette D2 (en se servant du planimHre à trois roulettes) qui sont en face du vernier, au début et à la fin du mouvement, et qu'on fasse la différence u\ — u[^ = a, on aura (§7)

et le volume est, par suite,

tanîTCD

cost

Ceci est le volume réduit aux échelles du dessin. Mais, si l'échelle des longueurs est i : m et l'échelle commune des largeurs et des hauteurs i : /i, le volume vrai sera

cosi

Ainsi le seul calcul à faire consiste à maltlpller le nombre u :

1® par le facteur ^""f- variable d'une des sections à l'autre dans * cost

lesquelles on a divisé le profil en long; 2" la somme des produits

ainsi obtenus pour la longueur totale du projet, par le nombre

1,2 X n^/w commuu à toutes les sections.

APPUGATIOH Aïï HOÏÏVEMERT DES TERRES. — Pour le mouvement des terres on a à chercher aussi le centre de gravité du volume de chaque section. Dans les mômes limites d'approximation, on pourrait, pour cet objet, utiliser le planimètre à trois roulettes de la manière suivante.

Par le point A'^, (yî^. 65, p. 602) du profil en long, menons une

5o4 NOTE II.

perpendiculaire à S^ S'^ et rapportons les points A' de l'aire Cq Aje„ A|^ à Taxe S'^S',^ pris comme axe des x et k celte perpendiculaire prise pour axe des j^. Soient û^, J'ies coordonnées du point/:.

Si $ et Y) sont les coordonnées du centre de gravité du volume du remblai qui vient d'être calculé, on aura, ce volume étant proportionnel à 2(i> )',

et ces équations, telles qu'elles sont, fournissent $ à l'échelle des

longueurs et tj à celle des hauteurs, soit la vraie position du centre

de gravité sur le dessin sans réduction d'échelle.

Le fadeur Swj^ vient d'être déterminé à l'aide de la roulette Dj;

on a

Sto^ = o,6 u.

La somme Swj'^est le moment d'inertie de l'aire plane ^o A 1,^/, A), par rapport à l'axe Ox, Elle est donc fournie par la roulette Dj. Quant à So) jy, on peut écrire

Sœay = i [2a)(a: -hy) — Lisi(x—y) J.

Si l'on mène les bissectrices Ox' et Oy' des axes, les distances du point k à ces bissectrices sont respectivement

— - et •

Donc, si Ij.' et I^, sont les moments d'inertie de Taire ^o A'j,^«A^ par rapport à Ox' et Oy, on aura

Ix'j 1/ sont donc fournis par deux nouvelles opérations de l'intégrateur à l'aide de la roulette Ds en promenant le style M sur le pourtour du profil en long et l'autre extrémité de la tige désignée par AM dans la théorie de l'intégrateur, successivement sur Ox' et oy. Donc

On a donc les coordonnées du centre de gravité Ç etr^ du remblai.

PLANIMÈTRB POLAIRE. 5o5

BEMABaUE AU SUJET DU DÉVELOPPEMiaiT MÉGANiaUE D'UKE FOHGTIOH EH SÉBIE TBIfiOHOMÉTBIillUE. — Dans son Mémoire de i856, Amsier indique aussi un moyen de déterminer mécaniquement les coefficients de la série de Fourier qui représenterait l'ordonnée d'une portion de courbe donnée, tracée sur le papier. Le principe est analogue à celui du § 1. Mais, si x est Tabscisse de la courbe, il faut qu'à chaque inclinaison a de la tige corresponde pour l'axe de la roulette une inclinaison ^ qui soit liée à a non plus par la relation

mais par celle

^ = aa-+- a x-^- b.

On peut obtenir ce résultat en plaçant à l'extrémité A de la tige une roue folle sur l'axe A et assujettie à rouler sur l'axe des x ou une parallèle à cet axe, pendant que le point M décrit la courbe donnée, et reliant cette roue à une roue concentrique calée sur Taxe, par un train épicycloïdal. Mais, comme cette ingénieuse disposition, qui peut être réalisée de diverses façons parmi lesquelles Amsier en indique une, n'a pas, à notre connaissance, reçu jusqu'ici la sanction de la pratique, nous nous bornerons à l'indiquer et à renvoyer, pour le détail, au Mémoire d'Amsler.

5o6 NOTE III.

SUR LFS COURBES FUNICULAIRES, PARTICULIÈREMEiNT CELLES d'égale RÉSISTANCE.

ÉaUATIOH DIFFÉBENTIELLE DES COURBES FtlHIGULAIBES D'APBÊS LEUR DÉFDnnOH fiÉOKÉTBiaUE (* )•— SoienlAB {fig^ 66, p. 5o7)une courbe funiculaire d'un système de forces se succédant d'une manière continue, relativement à un pôle O, et a6 la courbe dé ces forces.

Soit M un point de la première courbe ; par le pôle O menons un rayon vecteur Om parallèle à la tangente en M à la courbe funiculaire; nous déterminons ainsi (§ ^ bis) le point m de la courbe des forces correspondant au point M.

Soient, de même, M' un point infiniment voisin de M et m' son correspondant sur la courbe des forces.

L'élément mm! représentera en grandeur, direction et sens la force qui agit sur l'élément MM' de la courbe funiculaire. Désignons par s l'arc AM par ds l'élément MM', par ¥ds la force qui y agit.

Soient j?, y les coordonnées du point M ; Ç, t^ les coordonnées de son correspondant m par rapport à deux axes rectangulaires quelconques Cx, Oy]

Soient de même x -i- dx, y -\- dy el Ç -{- rfç, r, + rfr, les coordonnt'es des points correspondants M' et m' ,

Désignons enfin par N le rayon polaire Om compté positivement de O vers m, et par a l'angle qu'il fait avec Taxe des x. Si l'on écrit que les projections sur les deux axes de coordonnées du contour fermé 0mm' sont nulles, on obtient les deux équations

— fi?N cos a H- d\ = o, — é/N sin a -+- ^tq = o.

( ' ) Voir § 45 bis.

Or, puisque /7im' représente la force Frf^en grandeur, direction et sens, les projections de cette force, que nous appellerons Hds, Yds sont respectivement égales kd^ et k dt^.

D'autre part, le rayon 0/n étant parallèle à la tangente à la courbe funiculaire en M, on a

dx

cosa = —r • ds

Par suite, les deux équations ci-dessus donnent, en divisant par ds^

^* — V _____ — Y ~~ds "" ' ds " "'

5o8 NOTE III.

qui peuvent être considérées comme représentant les courbes funiculaires des forces données F.

Car, si on les inlègre, et qu'entre les deux équations intégrales on élimine Tinconnue auxiliaire N, on aura une équation entre les coordonnées x et^.

On peut donner à ces équations une autre forme souvent commode.

Au lieu de projeter le triangle 0mm' sur les axes de coordonnées, projetons-le sur le rayon Om compté de O vers m et sur la perpendiculaire à ce rayon, c'est-à-dire sur une parallèle à la normale à la courbe funiculaire en M, comptée dans le sens positif que nous adoptons pour celte normale, sens tel que la normale parallèle àCv ait pour sens positif, celui des^ positifs.

On aura, en désignant par p la projection du point m' sur le rayon Om et par e Tangle infiniment petit des rayons 0/n et 0/«',

N — (N ^- <ix\)cos£ -\- pm = o, — (N -h c^N) sins -\- pm! = o,

ou, en négligeant les infiniment petits du second ordre par rapport à ceux du premier, ce qui donne cose ^= i , sins r= e,

— dN -hpm = o, — Ne -r-/?/n' = o.

Mais, si Fsds et Fnds sont les projections de la force Fds = mm' sur la tangente et la normale à la courbe funiculaire en M, on a

mp = F s ds, pm' = F„ ds ;

d'où, en divisant par ds et observant que e est l'angle des tangentes en M et en M' à la courbe funiculaire, que, par suite, -j- est la courbure de cette courbe au point M, courbure que nous désignerons

(2) -ds- = ^" p-^«-

tiaVATIONS DIFFÉBERTIEU.GS DES COVfiBES rUHICULAIBES D'APBiS LEUR DÉ- FIHITIOIf MÉCAHiaVE. — On vérifie de suite, par ce qui précède, que si l'on regarde la courbe AB comme une ligne matérielle parfaite-

COURBES FUNICULAIRES. SoQ

ment flexible, fixée en ses extrémités et soumise à l'action de forces données F ds : i°elle sera en équilibre^ 2** la pression positive ou négative qu'elle supporte en chaque point M est représentée par le rayon polaire correspondant O m. En eflet, pour que la courbe supposée flexible soit en équilibre, il faut et il suffit que chacun de ses éléments MM' soit en équilibre sous l'influence de la force F ds qui le sollicite et des pressions inconnues qu'il supporte en ses extrémités M et M'.

Si l'on désigne ces pressions parN et N -f- rfN, il faut donc et il suffit que les trois forces

N, N-t-tfN et Fds

forment un triangle tel que 0mm', ou que les sommes de leurs projections* sur deux axes soient nulles, ce qui conduit aux équations (i) ou (2) suivant qu'on projette sur les axes de coordonnées ou sur la tangente et la normale à la courbe AB au point M.

CAS DE FORGES PAEALLÉLES. — Lorsque les forces agissantes sont parallèles, la courbe des forces ab se réduit à une ligne droite et la distance du pôle à cette droite est la distance polaire de la courbe funiculaire.

Nous supposerons, pour simplifier le langage, les forces verticales.

Théorème. — Lorsque les forces qui agissent sur une courbe funiculaire sont verticales, la projection horizontale de la pression ou tension de la courbe est constante en tous ses points et égale à sa distance polaire mesurée à l* échelle des forces.

En eflet, supposons l'axe des y vertical.

Alors X == O et Y = F si l'on compte positivement les forces F parallèles à l'axe des Y, dans le sens des^ positifs.

La première équation (2), dont le second membre est nul, s'intègre une fois et donne

IV' dx

N -j- = <7o = const.,

ce qui établit le théorème.

5io

NOTE m.

On tire de là

ds dx

et, par suite, la seconde des équations (2) devient, à cause de Y = F,

OÙ F ds est la force agissant sur rélément dsy c'est-à-dire que F

est la force agissante rapportée à C unité de longueur de la

courbe.

Supposons qu'on se donne la force agissante rapportée àTunilé

de longueur de la projection horizontale de la courbe, c'est-à-dire

qu'on pose

¥ds=^ Vdx,

et que ce soit P qu'on se donne.

L'équation ci-dessus devient

dx . dx dy r»*,

OU

L'équation (3) ou celle (3') représente l'équation différentielle des courbes funiculaires des forces parallèles. On emploiera Tune ou l'autre suivant les données du problème. Elles sont du second ordre. Elles comprennent la constante arbitraire q^ qui représente la distance polaire, ou, ce qui revient au même, la valeur constante de la projection horizontale de la pression ou tension, suivant que (7o est positif ou négatif. En les intégrant on introduit deux nouvelles constantes arbitraires, de sorte qu'on a bien le total de trois constantes que nous avons reconnu devoir entrer dans la définition de tout polvgone, et par suite de toute courbe funiculaire.

COURBES FUNICULAIRES. SlI

GOUBBE rUHIGULAIRE BiPOHDAHT A UKE CHARGE VERTICALE UHITORMÉHEHT SÉPARTIE SUIYAHT UHE HORBOHTALE. — Supposons la charge verticale uniformément répartie suivant une horizontale, par exemple suivant le tablier horizontal d'un pont suspendu ou supporté. Cela signifie que P est constant; par suite, en intégrant deux fois de suite Téquation (3'), on a

P=/> étant la charge constante par mètre et B et G deux constantes.

On voit, comme nous le savions, que la courbe est une parabole à axe vertical tournant sa concavité vers le bas ou vers le haut, suivant que <7o est positif ou négatif, c'est-à-dire suivant que la courbe est pressée ou tendue (supportée ou suspendue).

On peut disposer des trois constantes ^o? B7 C, de façon à faire passer la parabole par trois points donnés. En prenant le sommet pour origine et la tangente au sommet pour axe des jr, l'équation se réduit à

Si 2rt est la distance des points d'appui de niveau et /la flèche, pour X = a on a j^ =/, d'où la poussée

CHAIHETTE DE SECTION CONSTANTE. — On di^^eWe chaînette la courbe d'équilibre d'une ligne matérielle de section constante suspendue ou supportée à ses extrémités. Ici, c'est le poids par unité de longueur de la chaînette ou courbe funiculaire qui est constant.

Appelons-le p. On devra emplover l'équation (3) en faisant

5ra NOTE ut.

On aura

Soit

dv

On a d'ailleurs

dx ~^'

ds = yjdx'^ H- dy^ = dx /i -H y* ; d'oii

dv' p dy p ,

~- = - > ou • ^^ — =-- ^- dx

ds q^ ^\^yt qo

et, en intégrant,

qo

Xq étant une constante arbitraire, ou

Par suite d'où

qui montre que le point d'abscisse Xq est celui où la tangente est horizontale, et

v/r:rj*= .

La première, où l'on remplace^' par sa valeur ^-> étant intégrée, donne

C'est l'équation de la courbe où entrent les trois constantes arbitraires Ço, Pf C dont on peut disposer de façon à faire passer la courbe par trois points donnés.

On peut aussi calculer la longueur d'une portion quelconque de la courbe.

COURBES FUNICULAIRES. 5l3

A cause de

ds = dx y/i -k-y^ , ravant-dernicTe équallon mulliplice par dx donne

d'où

C étant une constanle qui dépend du point à partir duquel on compte les arcs.

Supposons qu'on les compte à partir du point d'abscisse Xq où la tangente est horizontale. On devra avoir 5=0 pour x^^Xq\ d'où C = o et

Supposons en outre qu'on prenne pour orijine des coordonnées le point où la tangente est horizontale, ce qui donnera Xq = o,

C = — — ® : l'équation de la courbe sera

ucuicti^aiii 1 aA.c uca ^c u^ toi uuaiii/ib<^ —

forme

En déplaçant l'axe des x de la quantité — > on la ramène à la

il' -f.x

Il n'y entre que le paramètre — > de sorte que toutes les chaînettes sont semblables.

GOUBBES FUHIGULAIBSS D'ÉfiALC BÉSISTAHGE SOUS L'AGTIOH DE GHAR6ES VERTIGALES. — L'équation (3')

(9) ^^dl^ = ^'

5l ( NOTE llï.

est l'équation différentielle des courbes funiculaires de distance polaire q^, d'une charge verticale constante ou variable P par l'unité de longueur de l'horizontale Cx.

Supposons que P ne représente que les charges verticales, quelles qu'elles soient, autres que le poids propre de l'arc et mettons en évidence ce dernier.

Soient II le poids spécifique ou poids de l'unité de volume de la matière dont l'arc est formé et S sa section constante ou variable au point défini par les coordonnées x et y. Le poids d'une portion ds de l'arc sera

dx

Donc, rapporté à l'unité de longueur de l'axe des x, il est

— dx

d^ IIS ^ et l'équation (9) devient

Cherchons, la condition pour que l'arc soit d'égale résistance,

N c'est-à-dire pour que la tension ou pression ^ par unité de surface

qu'il supporte soit une constante donnée R© positive ou négative selon que N est une pression ou une tension. Ainsi l'on doit avoir

(II) §=Ro

La projection horizontale de la pression N exercée par la partie de gauche sur celle de droite est constante et égale à la distance polaire q^

et par suite, à cause de (i i),

TV ^^ dx ds q^

^'^ ^ ds = -Rr"Ro" '^'

qui indique que : dans un arc d'égale résistance, sous V influence de charges verticales, la projection verticale de la section de V arc est une constante.

Désignons par So cette constante qui n'est autre que la section au point le plus élevé ou le plus bas de l'arc; l'équation (10) de-

COURBES FUNICULAIRES. 5l5

viendra

ou, à cause de ds^ = dx^ -f- rf/^,

nSo dx^ nSo \dxj

ou, si Ton veut mettre en évidence la résistance Rq admise par unilé de surface, on a, à cause de (12),

Ro d*y P /^rV

AFPUGATIOH A UH ARC D'ÉdiLE BÉ8ISTAHGB 80U8 L'AGTIOH D'UHE GHABdE UHirOBME. — Si le poids propre de Tare est négligeable, la courbe funiculaire est parabolique. On en a la poussée Çq par la formule (4") du § 4.

Par suite, la pression ou tension N est connue en chaque point, puisque sa projection horizontale constante est Çq et Ton peut dé-

N terminer la section S en chaque point de façon que ^ = R©.

Si Ton tient compte du poids de Tare, il faut intégrer l'équation ( i3 ) où P se réduit à une constante />. Posons

(.4) n- = /'o, irs;-^"=ïïsi-^"^«'

/*o étant une constante connue et a une constante indéterminée puisque la section S© au sommet n'est pas connue a priori. Cette constante est évidemment positive. Si Tare ne porte que son propre poids, on a/? = o, a = I ; on obtient alors la chaînette dite d'égale résistance qu'il ne faut pas confondre avec la chaînette de section constante (§ 5) et qui a été étudiée autrefois par M. Ossian Bonnet. Quel que soit^, avec les notations (i4)> l'équation (i 3) devient

5i6 NOTE m.

Soitj'= -v^t, on aura

y/a cLx^ \d^J

OU, en appelant z' la dérivée première de z,

dz' v/â ^

d'où

Tt/a , \/a y'

—^^— = arc langez' ou ar — = arc lang 'V >

en posant j^ = —-.

La constante d'intégration est nulle, si l'on compte les x à partir du point de la courbe où la tangente est horizontale. On tire de là

sina^ ■

^'=v/atangar — ou dy = )/% 7-^»

cosx —

(16) j' = — ToLcosa?— •

La constante d'intégration est encore nulles! l'on prend l'origine des coordonnées sur la courbe.

Soient (y?^. 67, p. 517) AOA' un arc delà courbe considérée, 2rt sa portée AA' et/sa flèche OL On devra avoir y =f pour j? = a, ou

/ = — To L cos — /a,

soit

OU, en prenant les logarithmes ordinaires,

(17) logcos — y'/ = --j^-loge.

Le second membre est connu. On trouve immédialemcnl, dans les Tables de logarithmes, l'angle correspondant -jr- \ a.

COURBES FUNICULAIRES. 5ïJ

Soil Oo cet angle exprimé en fraction de 2x3, On en conclut

ce qui donne la section Sq à adopter au sommet de Tare. On a ensuite pour une section quelconque S

ds

Fig. 67.

Or de (i5) on tire

y = y^tangar — > i+y* = i-h a tangua* —,

qui permettrait de calculer S. Mais il est préférable de tracer la courbe et d'observer que la projection d'une section quelconque S sur la section verticale est constante et égale à S©.

Si donc So est, à une échelle convenable, représentée par une droite, on trouve immédiatement les droites qui, à la même échelle, représentent toutes les sections.

La compression par unité de surface étant R©, la compression totale de la section S© est RoSq. Telle est donc aussi la poussée q^ de l'arc.

APPUGATIOH A UNE VOÏÏTB EN MACOHNEBIE D'ifiALE BiSISTAHGE. — Si

Ton admet que le remblai et les surcharges que supporte une voûte en maçonnerie puissent être remplacés par une surcharge uni-

5l8 NOTE III.

forme /?, les résultats qui précèdent s'appliquent immédialemenl. Considérons, comme on le fait d'habitude, une portion de voûte cylindrique ayant une longueur de génératrice égale à l'unité.

Alors, dans les formules qui précèdent, il suffit de remplacer les sections S© et S au sommet et en un point quelconque par les épaisseurs des joints en ces points.

Ayant donc déterminé l'angle 6© en observant que II est le poids du mètre cube de maçonnerie et Ro la pression qu'on veut admettre par mètre carré, l'équation (17a) donne l'épaisseur S<, à la clef. Dans cette équation p est la charge uniforme qu'on substitue au remblai et à la charge permanente.

Ayant Sq, on trouvera l'épaisseur S d'un joint quelconque, comme il vient d'être dit.

On substituera à l'intrados théorique celui qui est donné en prenant les épaisseurs par excès.

L'intrados et l'extrados ainsi déterminés approximativement, on vérifiera si effectivement la voûte résistera aux charges réelles qu'elle a à supporter. Sans anticiper sur les développements que nous aurons à donner à ce sujet dans la deuxième Partie de cet Ouvrage, nous pouvons dire que, suivant la méthode de Méry qu'on peut simplifier encore, on admet qu'une voûte résiste si Ton peut tracer un polygone funiculaire ou polygone des pressions coupant un. certain nombre de joints normaux à l'intrados (suffisamment rapprochés) dans le tiers moyen de leurs longueurs.

On peut, sans inconvénient, aux joints normaux substituer des joints verticaux fictifs, ce qui rend la construction extrêmement simple.

Remarque, — Si l'on voulait considérer le remblai réel limite à une horizontale ou y joindre une surcharge constante, il est clair que la charge totale à ajouter au poids propre de la voûte, au lieu d'être une simple constante, serait une fonction linéaire de j'; et, au lieu de l'équation (i4 his)^ on aurait à intégrer une équation de la forme .

ce qui est facile en posant

dv , d*y __ dy' , dy' d \y'^ ^ la "^' d^~ dx ~^' 'H^ ~ ""^ '

COURBES FUXICULAIHES. ^IQ

d'où

2 dj^

équation linéaire relative à y^ qu'on peut intégrer. Ayant ^''^ ouy^ exprimé en^ sous la forme

on en tire

consl.

Mais les résultats seraient compliqués comme calculs, et, eu égard aux incertitudes qui régnent sur la façon dont se transmettent les pressions dans une voûte, sur le rôle des mortiers, sur les effets du décintremenl, etc., ils ne seraient pas plus approchés de la vérité que ceux très simples qui précèdent.

GOUBBES RE SUPPORTAHT ftUE DES PBESSIOHS HOBMALES. ^ Si une

courbe flexible ne supporte que des pressions normales, les équations (2) deviennent, si Ton y fait Fs= o, F;, = F,

N = No = const., ^ = F.

Théorème. — Lorsqu'une courbe funiculaire ne porte que des pressions normales : 1° sa pression ou tension est constante en tous ses points; 2** sa courbure en chaque point est proportionnelle à la force qui agit en ce point (rapportée à l'unité de longueur de la courbe).

Corollaire. — La courbe funiculaire ou courbe d'équilibre répondant à une force normale constante est la circonférence. Si To est le rayon de la circonférence et F =/> la force normale,

on a

No = prQ,

pour la pression ou tension que supporte Tare en chacun de ses points, résultat déjà trouvé.

)"20 NOTE m.

GOUBBE D'iftALE BÉSISTAHGS SOUS L'IHFLUERGE D'UHE PBSSSIOH HOBULE UnFOBME. — Considérons les deux systèmes d'équations (2) et (3) et écrivons la première de chacun d'eux, c'est-à-dire les équations d'équilibre en projection sur l'axe des x supposé horizontal et sur la tang;ente à la courbe. On aura

^•^ ds dn\

Supposons une courbe soumise à son propre poids, qui est II S par unité de longueur de l'arc et à une pression normale p par unité de longueur de l'arc. La projection de la première de ces forces sur l'axe des X est nulle; il en est de même de celle de la seconde sur la tangente à la courbe, en sorte qu'avec le sens convenu de la normale positive

D'ailleurs, la courbe étant d'égale résistance,

N = RoS.

Donc

'^ ds Ro ds

et les équations de la courbe sont

La seconde donne

en désignant par >JJ, la compression aux naissances de Tare. La première donne

COL'RBKS FCMCL'LAIRES. 5jLl

OU

équation d'où l'on tirerait ~- en fonction de y et, par suite, x en

fonction dey par une quadrature.

Mais le résultat est plus complexe que quand il s'agit de forces verticales et peu propre aux applications.

NOTE m bis.

TRACÉ D'UN âRG DE PABABOLE. — Nous avons ëtë conduit souvent à résoudre ce problème élémentaire dont nous rappelons ici la solution : Tracer un arc de parabole connaissant deux points A et B de la courbe ainsi que le point C où elle est rencontrée par le diamètre conjugué à la corde AB.

Première solntion. — Soil {fig> 68, p. SaS) I le milieu de la corde AB, de sorte que IG est le diamètre conjugué à cette corde, diamètre que, pour simplifier le langage, nous regardons comme vertical.

Construisons le parallélogramme AA'BB', dont les côtés verticaux sont égaux à IC et prenons les milieux k et k' des demi-cordes AI et IB.

Ceci fait, divisons chacun des côtés opposés AA' et BB' du parallélogramme en un même nombre de parties égales, nombre d'autant plus grand qu'on veut obtenir plus d'exactitude dans le tracé de la courbe ; on a divisé ici en quatre parties dont les longueurs égales entre elles sont désignées par

I, 2, 3, 4, pour le côté AA' et par

i', î', 3', 4' pour le côté BB'.

Divisons les deux demi -cordes AI el IB dans le même nombre de parties, soit quatre, à l'aide des verticales tracées en pointillé. Aux milieux des points de division, appliquons des forces verticales

1, 2, 3, 4 pour la partie IB et

pour la partie lA, et, parlant du point C, construisons :

i'' Un polygone funiculaire de ces quatre dernières forces sup-