TRACE D UN ÂRG DE PARABOLE

posées représentées par le polygone des forces BB', en prenant le point Ar' pour pôle. Je dis qu'on obtiendra ainsi un polygone C.\ passant par le point A^

2" Un polygone funiculaire des quatre premières forces supposées représentées parle polygone des forces A. A' en prenant le point k pour pôle. Je dis qu'on obtient le polygone CB passant par le point B.

Fîg. 68.

^v'iAv

^>tX^

La parabole cherchée est inscrite dans le polygone complet ACB, les points de contact étant en A et B et aux points du polygone déterminés par les verticales pointillées.

Pour justifier ces assertions, concevons qu'à la suite des forces 4', 3', 2', i' on porte à partir de B et de bas en haut les forces I, 2, 3, 4 toutes égales entre elles. Appelons B"' l'extrémité (non représentée) de la ligne ainsi obtenue. Il est clair que les rayons polaires issus de k' et qui aboutiraient aux divers points de division des forces ainsi portées sur BB" sont respectivement parallèles aux rayons correspondants issus de A* et aboutissant au point de division de AA'.

De là on conclut que les deux polygones funiculaires AC et CB que l'on a tracés forment ensemble le polygone funiculaire de pôle A"' d'un système de huit forces égales qui seraient portées sur la verticale B'BB'' (*). Or je dis que ce polygone funiculaire passe

(') On aurait pu le tracer ainsi : le mode adopté est un peu plus commode; il c&t imité d'une disposition souvent employée par Eddy.

52 î KOTE III BIS.

par les trois points donnes A, C, B. En effet, le lieu des pôles des polygones funiculaires des charges B'BB", passant par les deux points A. et B, est (§ 43, Th. III) une parallèle à AB menée par le milieu de B'BB" (puisqu'ici toutes les forces sont égales), c'està-dire par le point B. C'est donc la droite AB elle-même.

Le lieu des pôles des poKgones de ces mêmes forces, dont le premier côté passe par A et le côté du milieu parC, est de même une parallèle à AC menée par le milieu de la portion du polygone des forces répondant à la portion AC du polygone funiculaire, c'està-dire par le milieu de BB'. Or une parallèle à AC menée par le milieu de BB' rencontre IB en son point milieu A*'. C'est donc bien là le pôle du polygone funiculaire relatif aux huit charges égales entre elles considérées, et passant par les points A, C, B. Si Ton regarde à présent la charge totale B'B" comme uniformément répartie suivant AB, la courbe funiculaire de pôle k' correspondante sera (§ 45 bis) inscrite dans le polygone, aux points définis par les verticales pointillées et aux points A et B.

Cette courbe passera donc aussi par les points A, B, C. Nous savons d'ailleurs que c'est une parabole à axe vertical ; c'est donc la parabole cherchée et elle peut être ainsi tracée avec une très grande exactitude.

Remarque. — On arriverait aussi au résultat en prenant, au lieu des points k et A:', le point I milieu de AB pour pôle commun aux deux portions de polygone AC et CB; mais à la condition de doubler les lignes A A' et BB', c'est-à-dire de remplacer le parallélogramme ABA'B' par un parallélogramme ayant toujours ABpour un de ses côtés et ayant 2IC pour côté vertical.

Deuxième solntion. — On peut, si on le préfère, faire le tracé en n'utilisant que les propriétés géométriques élémentaires de la parabole.

Soit toujours I {fig- 69) le milieu de la corde AB, de sorte que IC est le diamètre conjugué à cette corde. Si, sur le prolongement de IC, on prend CJ = IC, les droites AJ et BJ sont les tangentes à la courbe en A et B.

Par le milieu i de AJ, élevons une perpendiculaire à celte ligne jusqu'à sa rencontre en i' avec le diamètre IC. La droite \i' passera par le foyer; car la tangente AJ est bissectrice de l'angle zKC

TRACÉ D*UX ARC DE PARABOLE. ÔaS

que forme le rayon vecteur AT allant au foyer et une parallèle A;; à Taxe de la courbe.

De même si, par le milieu y de BJ, on mène une perpendiculaire à cette ligne jusqu^à sa rencontre en / avec le diamètre IC, la ligne B/' passe par le foyer.

On a donc ainsi le foyer F par Tintersection des deux droites At'etBy'.

Fig. 69.

En menant par F une parallèle au diamètre IC, on a l'axe de la courbe. Soit a le point où cet axe coupe la tangente AJ en l'un des points donnés A et soit a' la projection du point A sur l'axe. Le sommet S est le milieu de ad ,

Et, si l'on prend SE = SF, la perpendiculaire DED' à Taxe menée par le point E est la directrice.

Par suite, si Ton mène une droite quelconque PQ parallèle à DD'et à une distance arbitrairement choisie PD, puis, que du foyer comme centre, avec PD pour rayon, on décrive un arc de cercle, on déterminera deux points P et Q de la courbe. Si, par ces points, on mène des parallèles aux droites SA, SA', qui joignent le sommet au milieu des demi-cordes PK et KQ, on obtient les tangentes PT et QT' aux points P et Q.

On peut ainsi déterminer autant de paires de points qu'on le désire et les tangentes en ces points.

526 NOTE III BIS. — TRACÉ d'UN ARC DE PARABOLE.

Remarque, — Si, en particulier, on donne le sommet S et les deux points s^^métriques P et Q, on en déduit, comme nous venons de l'indiquer, les tangentes PT et QT' en ces points; puis, menant PD parallèle à Taxe de la courbe et faisant Tangle TPF = TPD, on obtient le foyer F d'où l'on déduit la directrice et, par suite, la construction d'un point quelconque avec la tangente correspondante.

NOTE lY.

SLR LA RÉPARTITION DES PRESSIONS INTÉRIEURES DANS UN CORPS AYANT UN PLAN DE SYMÉTRIE, PARTICULIÈREMENT DANS UNE POUTRE OU UN ARC.

DÉFIHmOH DES CORPS GOHSID£bËS. — !Nous considérons {^fig* 70, p. 527) un corps symétrique par rapport à un plan quelconque pris pour plan des xy et que, pour simplifier le langafçe, nous regardons comme vertical.

Fîfiî. 70.

Par un point quelconque a de ce plan, menons-lui une perpendiculaire jusqu'à la rencontre de cette ligne avec chacune des deux surfaces symétriques qui limitent le corps à Tavant et à Tarrièrc.

5iS RÉPARTITION DES PRESSIONS INTÉRIEURES.

La longueur de celte perpendiculaire, constante ou variable a\ec la position du point a, est ce que nous appellerons Yépaisseur du corps; nous la désignons parla lettre s, en sorte que s est une fonction donnée des coordonnées a: et ^ du point a.

Le corps est supposé en équilibre sous l'action de forces parallèles au plan des xj' et symétriquement distribuées par rapport à ce plan.

Ces forces déterminent des pressions à rinlérieur du corps. Nous admettrons que les circonstances sont telles que ces pressions ne varient pas sensiblement le long d'une ligne e perpendiculaire au plan de symétrie, c'est-à-dire qu'elles peuvent être regardées comme uniformément réparties le long d'une telle ligne.

Cela aura lieu : i** rigoureusement si l'épaisseur e, grande ou petite, est constante, c'est-à-dire si le corps est un cylindre droit de hauteur e et si, de plus, toutes les forces extérieures sont uniformément réparties le long de chaque ligne e suivant laquelle elles agissent; 2" approximativement, quelles que soient la forme du corps et la répartition des forces extérieures, si son épaisseur constante ou variable £ est supposée très petite.

ÉQlUILIBBEDU PRISME BEGTAHftLE. — Traçons dans le plan des xy à partir du point quelconque a {fig' 70, p. 627) un rectangle abcd dont les côtés infiniment petits ab = dx, ac = dy sont respectivement parallèles aux axes des x et des j^' et considérons la portion du corps projetée suivant l'aire abcd : c'est un prisme ayant abcd pour section droite, prisme oblique ou droit suivant que e est constant ou variable.

Ce prisme est en équihbre sous l'action : 1° des pressions exercées sur ses quatre faces; a° des forces extérieures telles que la pesanteur agissant sur sa masse entière.

Les forces élastiques exercées aux divers points de la face du prisme projetée suivant ac sont, par hypothèse, uniformément réparties le long de celle face. Soient donc n el t leurs composantes normale et tangcntielle rapportées à l'unité de surface, la première comptée positivement si c'esl une pression.

Comme la hauteur de la face est s, et son aire £rf>', la résultante

des forces normales sera nzdy, celle des forces tangentiellcs sera tsdy, et ces deux résultantes sont situées dans le plan des arj^.

Les résultantes analogues qui agissent sur la face parallèle bd se déduisent des précédentes : i" en les augmentant de leurs différentielles partielles relatives à x, puisqu'on passe de a en 6 en changeant x en x -\- dx sans changer y\ a** en les changeant de signe, puisque pour Télément ac on a à considérer l'action qu'il subit de la part de la portion du corps située à sa gauche, tandis que pour l'élément 6rf, c'est celle qu'il subit de la part de la portion du corps placée à sa droite.

Ainsi, les actions sur la face ac étant

(a) mdy, tzdy,

celles exercées sur hd sont

(a') (n£-+-^%/^)^7, -(/£-:- grf^)rf;^

On verrait de même qu'en appelant /i, et t\ les composantes normale et langentielle, rapportées à l'unité de surface, de la force agissant en un point quelconque de la face projetée en aô, la résultante de toutes ces forces est située dans le plan xy et a pour composantes parallèlement aux axes des j?et des j', respectivement les forces

{h) titdxy nizdjr,

et la résultante des forces exercées sur cd a de même pour composantes les précédentes changées de signes et augmentées de leurs différentielles partielles relatives ky, puisqu'on passe de a en cen changeant^ en j' -h dy sans changer x, ce qui donne

Enfin les forces données telles que la pesanteur qui agissent sur le prisme tout entier projeté suivant abcd sont de l'ordre de grandeur du volume de ce prisme, c'est-à-dire du produit £ dx dy.

Appelons Ro£ dx dy la résultante de ces forces, laquelle est, par hypothèse, située dans le plan de symétrie et appliquée au centre r. 3i

53o NOTE IV.

o du rectangle abcd. Soient

ses composantes parallèlement aux axes.

Ceci posé, toutes les forces (a), (a'), (6), (6'), c étant situées dans le plan ûc O^, pour qu'elles se fassent équilibre, il est nécessaire (que le corps donné soit solide, ou fluide ou de tout autre nature) qu'elles satisfassent aux conditions d'équilibre (§ 46) des systèmes invariables; il faut donc : i° que la somme de leurs projections sur l'axe des x ou, si l'on veut, la somme de leurs composantes parallèles à cet axe soit nulle; ces composantes sont celles de gauche dans les expressions (a), (a'), (6), (6'), (c); a" qu'il en soit de même de la somme de leurs composantes parallèles à O^; ces composantes sont celles de droite dans les mêmes expressions; 3® que la somme de leurs moments relativement à un point quelconque du plan soit nulle. Nous prendrons pour ce point le centre o du rectangle abcd.

Les conditions i"" et 2^ donnent immédiatement les équations

dx dy dx Oy

En ce qui touclie les moments relativement au centre o du rectangle, observons que les forces extérieures (c) passant par ce point, leurs moments sont nuls, qu'il en est de même des moments de toutes les pressions normales.

11 suffit donc d'écrire que la somme des moments des deux forces

(/) tidyy titdx

et de leurs analogues agissant sur les faces opposées, à savoir

(/) —ttdy——dxdy, — t^t dx^ ~~ dx dy,

est nulle.

Or les deux forces

tidf, —tzdy

forment un couple dont le bras de levier est rfu: et dontle moment

est par suite

— tidxdfj

RKPARTITION DBS PRESSIONS INTÉRIEURES. 53l

le signe tenant à ce que, si t est positif, comme le suppose la figure, la rotation du couple se fait dans le sens négatif. De même les deux forces

ti e dx, — tit dx

forment un couple dont le bras de levier est dy et dont le moment est

-Jt-txtdx dy.

Donc la somme des moments des forces (/) et de celles qui forment les premiers termes de {/') est

{ti—t)tdxdy,

quantité infiniment petite du second ordre, tandis que les moments

des forces formant les seconds termes de (/') seraient du troisième

ordre, les forces elles-mêmes étant du second et leurs bras de levier

dx dy ^

- -> -^7 du premier.

Donc, ces moments sont négligeables et l'équation obtenue en supprimant le facteur e dx dy est simplement

ti — / = o ou ti — t.

De là, et de ce que la direction des axes est quelconque, on conclut :

Théorème. — Les forces tangentielles sur deux éléments rectangulaires quelconques ah et ac sont égales en grandeur et

Ce théorème permet de réduire les quatre fonctions inconnues

de X cl y

/i, t, ni, tij

à trois, et les équations de projection deviennent ainsi définitivement

dnz dtz ^ àtt* r)/i, s

^ ^ dx dy ^ dx dy " '

soit deux équations, applicables à des corps de nature quelconque, entre trois fonctions inconnues /i, /i,, t des deux variables x et y.

ËQlUILIBBE DU PBI81EE TBIAWftULAIBE. — Considérons encore {/ig-'^i) à l'intérieur du corps et dans le plan de symétrie un triangle rectangle abc dont les éléments infiniment petits ab et ac soient parallèles aux axes et dont rhvpoténuse bc ait sur les axes une inclinaison donnée.

Désignons par a l'angle que fait avec Taxe des y la ligne bc prolongée de façon que, si elle est parallèle à cet axe, son sens positif soit celui O^'.

Ce triangle est la section droite d^un prisme de hauteur £. Les résultantes des forces qui agissent sur les faces projetées en ac et ab ont respectivement pour composantes parallèlement aux axesOx et Oj

nt X. ac, tt X ac et ti X ab, ni^ x ab;

Taire de la face hypoténuse est exbc et, par suite, si X,, Y, sont les composantes de la force rapportée à l'unité de surface que la partie de gauche du corps exerce sur la partie de droite à travers Ar, les composantes analogues pour Faction que nous avons à considérer sont — Xj, — Y, et la résultante des forces qui agissent sur

toute la face a pour composantes parallèles aux axes

— X^ex bcj — Y^£ X bc.

Les sommes des composantes de toutes ces forces parallèlement à chaque axe sont ici des quantités infiniment petites du premier ordre, c'est-à-dire de Tordre des côtés a6, ac et 6c, tandis que la résultante des forces extérieures agissant sur le volume du prisme triangulaire est du second ordre; ses projections peuvent, par suite, être négligées et les équations de projection qui expriment Téquilibre de ce nouveau prisme sont

Xg X bc = n X ac -^ t X ab, Y g x bc = t x ac -}- rii x ab.

Mais on a

ab = bc sin a, ac — bc ces a.

Par suite les équations ci-dessus deviennent (3) X, = /i cosa-h f sina, Y, = ^ ces a -f- ni sin a.

Désignons par X et G les composantes normale et tangentielle de la force rapportée à l'unité de surface qui agit sur l'élément bc. On prend la normale positive, de façon que la force X soit comptée positivement si c'est une compression. Le sens positif de bc et par suite de S a été défini.

On aura, d'après ces conventions,

3^ = \s CCS a H- Y, sin a, G = — X^ sin a -h Y, cos a,

ou, à cause de (3),

S(L = n cos*a -h it sinxcosx -+- ni sin a,

G = (ni — n) sin a cosa-f- f(cos*a — sin- a),

DZf = t sinioL -\ — (i-h cos 2 a) H -(i — cos 2 a),

•JL^ ' 2

-. . rii — n .

G = ^ cos 2 a -\ sin 2 a.

FBE8SI0HS PBIRCIPALES. — &ÉIIEHTS ISOSTATiaUES. — Par chaque point a du plan passent deux éléments rectangulaires qui ne supportent que des pressions {ou tensions) normales. De plu^^

Vun d'eux est celui qui, au point considéré, supporte la force élastique la plus grande; Vautre, la force élastique la plus petite.

Pour établir celte proposition, observons que, dans les équations (3) et (4), les coefficients n, ni, t ont, en un point donné ^r, des valeurs fixes et, pour avoir les lois de la variation des pressions sur les divers éléments menés par ce point, il suffit de faire varier l'angle a qui définit la direction de l'élément considéré.

Les inclinaisons a des éléments qui ne supportent qu'une pression normale sont, en vertu de la seconde des équations (4), données par l'équation

er = o ou

/Il — 71 .

t cos 2 a H sm 2 a = o

n — n\ lan"r2a =

Or il existe toujours deux angles 2ao et 2aQ -4- m différant entre eux de xa ou de i8o** qui satisfont à cette équation. Donc il y a toujours deux éléments remplissant la condition voulue, et leurs

TîT

inclinaisons sur l'axe des y sont ao et a^ H > c'est-à-dire qu'ils

sont perpendiculaires l'un à l'autre.

Convenons, avec Lamé, d'appeler éléments isostaiiques ces deux éléments rectangulaires qui ne supportent que des pressions ou des tensions normales, que nous appellerons les tensions ou pressions principales.

Soient A et B leurs grandeurs considérées comme positives si ce sont des pressions, de sorte que A et B peuvent être de mêmes signes ou de signes contraires.

Je dis à présent que ces deux éléments supportent, l'un une force élastique plus grande, l'autre une force élastique plus petite que tout autre élément passant par le point considéré, en d'autres termes que les valeurs absolues de A et B sont l'une supérieure, l'autre inférieure à celle de la force élastique totale sis exercée sur tout autre élément, ou encore si A est en valeur absolue plus grand que B,

En eflfet, prenons les directions des deux éléments isostatiques pour axes de coordonnées, l'axe des x étant perpendiculaire à celui qui supporte la force A.

Les formules (3) et (4), qui sont applicables, quelle que soit la direction des axes, s'appliquent encore : seulement, comme alors

c'est pour a == o et a = — qu'on doit avoir (? =: o, il faut que / =: o.

De plus, on aura /i = A, /ii=B. Par suite, les équations (3)

deviennent

X^ = A CCS a, Yjr = B sin «, d'où

^2 =X2 -H Y2= A«cos»a-+-B«sin»a = A« — (AS — B*)sm*a.

On voit que le maximum du second membre a lieu pour a = o