COMPOSITION ET EQUILIBRE DES FORCES CONCOURANTES

Si toutes les forces sont dans un même plan, on peut encore se donner :

1" En grandeur, direction et sens, toutes les composantes moins deux d'entre elles;

2** Ces dernières en direction.

-\insi, supposons données, en grandeur, direction et sens, les forces 1=1, 2= *?, 3= 3 et, en direction seulement, les lignes d'action 4 et 5.

Pour avoir les grandeurs 4 et 5 de ces deux forces, il suffira, par le point rf, de mener une parallèle à A et, par le point 6, une parallèle à 5; on aura ainsi les grandeurs cherchées 4 et 5 des deux dernières composantes et leurs sens.

Remarque. — On aurait pu aussi, par le point d, mener une parallèle à 5 et par le point b une parallèle à i; on aurait eu des grandeurs 4' et 5' qui auraient fourni la solution aussi bien que 4 et 5. Nous verrons que, dans les applications, il n'est pas, en général, indifférent d'adopter Tune ou l'autre de ces deux solutions.

Si Ton demande simplement de décomposer une force donnée (R = a 6), appliquée en un point d'un corps, en deux autres appliquées au même point, situées dans un même plan qu'elle et suivant des directions données 1 et 2 {/iff' 23 et aS), il suffit de mener par a une parallèle à 1 et par b une parallèle à 2 ou vice versa.

ÉamURBE DES FORGES APPUaUÉES EH UH MÊME POIHT D'UK GOBFS aUEL- COKUJE. — Pour que des forces appliquées en un point d'un corps quelconque soient en équilibre, il faut et il suflit évidemment que leur résultante ou somme géométrique soit nulle.

Ainsi, pour que des forces appliquées en un point d* an corps quelconque soient en équilibre, il faut et il suffit que le polygone de ces forces se ferme ou, ce qui revient au même, qu'elles soient égales [ou proportionnelles) aux côtés d'un polygone fermé, parallèles à ces côtés et du sens que l'on obtient en parcourant le périmètre de ce polygone tout entier dans un sens constant.

Si ces conditions sont remplies, ces forces sont non seulement en équilibre, mais supprimables (§ 1).

28 r* SECTION. — CIIAP. III.

En particulier, pour que trois forces soient dans ce cas, il faut et il suffit qu'elles soient égales (ou proportionnelles) aux trois côtés d'un triangle, parallèles à ces côtés et du sens que l'on obtient en parcourant le périmètre du triangle dans un sens constant. Il faut, par suite, avant tout, que leurs lignes d'action soient dans un même plan.

Remarque L — Si des forces non en équilibre sont appliquées en un point, on peut les équilibrer par une force unique égale et opposée à leur résultante, c'est-à-dire égale (§ 1) à la droite qui ferme leur polygone. La force capable d'équilibrer les cinq forces desjig. 21, 21, PL F/, est représentée par la ligne ba fermant le polygone des forces, et non par la ligne ab.

Bemarque II. — Inversement, une force unique appliquée en un point d'un corps peut, d'une infinité de manières, être équilibrée par plusieurs forces appliquées en ce point. Pour obtenir ces forces, il suffit de construire un contour polygonal arbitraire en partant de Vextrémité de la force donnée pour aboutir à son origine, de façon à former un polygone fermé avec la force donnée et celles qui doivent lui faire équilibre.

On peut se donner arbitrairement ces dernières moins une; alors celle-ci est déterminée.

Si toutes les forces doivent être dans un môme plan, on peut se les donner toutes, moins deux, en grandeur, direction et sens, et les deux autres en direction.

Le problème est le même que celui du § 28, avec cette différence que, dans le cas du § 28, le contour polygonal à construire a même origine et même extrémité que la force donnée, tandis qu'ici ce contour a pour origine l'extrémité de la force donnée, et pour extrémité l'origine de cette force.

La remarque faite là sur la double solution du problème s'applique ici. Sur les Jig. 21 et 21 les forces capables d'équilibrer une force donnée K = ab seraient représentées par les côtés 5, 4j 3, 2, I du polygone des forces, ces côtés estimés dans le même sens que la force donnée aè, c'est-à-dire dans le sens des chiffres décroissants.