COMPOSITION ET EQUILIBRE DES FORGES CONCOURANTES. UQ

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UAUE. — CoDsidérons des forces appliquées en divers points d'un solide invariable, mais dont les lignes d^actîon concourent toutes en un même point de ce corps (ou en un point quelconque de l'espace qu'on supposera invariablement relié au corps). Nous pouvons (§ 22) transporter les points d'application de toutes ces forces au point de concours de leurs lignes d'action et, par suite, appliquer à leur composition, à leur décomposition et à leurs conditions d'équilibre tout ce qui vient d'être dit pour des forces toutes appliquées en un même point d'un corps quelconque.

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rSIBÉ. — Lemme. — Considérons un polygone plan fermé dont les côtés et les angles sont supposés invariables ; sur le milieu de chacun de ses côtés est appliquée une force normale et proportionnelle à ce côté, ces forces étant dirigées, soit toutes vers le dedans du polygone, soit toutes vers le dehors.

Quelle que soit la forme du polygone, ces forces se font équilibre.

Cela est évident pour un triangle ; car les trois forces, étant dirigées suivant les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés du triangle, sont concourantes ; d'ailleurs, à une échelle convenable, la force agissant sur chaque côté peut être représentée par la longueur même de ce côté; par suite, le polygone des trois forces n'est autre que le triangle même sur lequel ces forces sont appliquées, après qu'on l'a fait tourner d'un angle de 90° dans son plan.

Donc (§ 29) elles sont en équilibre.

Le théorème étant établi pour un triangle, il s'ensuit qu'il est vrai pour un polygone quelconque.

Soit, en effet, ABCDE {fig^ 2) un polygone fermé quelconque sur les milieux des côtés duquel agissent des forces dont les lignes

3o d'action

sont perpendiculaires à ces côtés, dont les grandeurs leur sont proportionnelles et que, pour fixer les idées, nous supposerons toutes dirigées vers la partie du plan extérieure au polygone.

• D'un sommet A menons les diagonales AC, AD. Au milieu de la diagonale AC, appliquons deux forces /et/' égales et opposées, proportionnelles à cette diagonale; de même, au milieu de la diagonale AD appliquons deux forces /.,/j, égales et opposées, proportionnelles à AD.

Fig. 2.

Ces forces ainsi ajoutées ne changent pas l'état du corps. Or, on voit que les trois forces

agissant sur les milieux des côtés du triangle ABC, sont proportionnelles à ces côtés et dirigées toutes trois vers le dehors; donc elles se font équilibre; de même, les trois forces/, 3,/' agissant sur les côtés du triangle ACD; de même enfin celles/, 4, 5 agissant sur les trois côtés du triangle ADE.

A présent, soient / la longueur d'un des côtés, du côté AB par exemple, et pi la grandeur de la force 1 appliquée en son milieu. Divisons ce côté en un nombre quelconque n de parties

égales dont chacune aura une longueur - et, au lieu d'appliquer

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ia force pi au milieu de AB, appliquons une force— au milieu de chaque partie.

Uéquilibre subsistera évidemment; car, si a, b^ c^ ... sont les points de division, on pourra regarder chaque partie Ba, a6, . . . comme un côté d'un polygone (seulement ces côtés successifs feront entre eux l'angle de i8o®) et appliquer le lemme précédent au polygone fermé dont les sommets sont

quelque grand que soit n.

Ainsi l'équilibre subsiste, si, pour certains côtés ou pour la totalité, on remplace la force unique pi appliquée en leurs milieux par une pression ou charge normale /> (§ 2o) uniformément répartie sur leurs longueurs.

Si Ton fait cela pour tous les côtés, le lemme précédent peut encore s'énoncer ainsi :

Un polygone plan fermé et rigide d'un nombre quelconque de côtés est en équilibre sous l'influence d'une pression normale et uniforme répartie sur tout son pourtour, et aussi sous rinfluence d'une telle pression p répartie sur une partie seulement de ses côtés et de forces pi proportionnelles aux longueurs / des autres côtés, normales à ces côtés, appliquées en leurs milieux.

Et le théorème, étant établi pour un polygone d'un nombre quelconque de côtés, est vrai pour une courbe fermée qu'on peut regarder comme la limite vers laquelle tend un polygone d'un nombre de côtés de plus en plus grand qui y serait inscrit et aussi pour un contour mi&tiligne formé en partie de courbes, en partie de droites.

Corollaire. — Une pression normale uniforme de p kilogrammes par unité de longueur exercée sur le pourtour d'une ligne plane, rigide, non fermée, de forme quelconque, admet une résultante unique égale au produit pi de la pression p, par la longueur l de la corde quisous-tend la ligne et dirigée suivant la perpendiculaire élevée sur le milieu de la corde.

Soient {fig- 3, p. 82) ACB la ligne donnée et ÂB sa corde. Suivant la perpendiculaire élevée au milieu de AB, appliquons

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deux forces pi et — pi égales et de sens opposés. Si, pour fixer les idées, nous admettons que la pression sur ACB s'exerce du dedans vers le dehors, cette pression et celle — pi se font équilibre sur le contour fermé ACBA.

Donc, les pressions agissant suivant ACB forment un système de

^.ply

forces équilibré par la force pi changée de sens. Donc (§ 21) la force pi est équivalente à ces forces ou est leur résultante.

On voit que la résultante pi est dirigée vers le dedans, parce que les pressions suivant ACB sont supposées dirigées vers le dehors. Ce serait l'inverse si ces dernières changeaient de sens.

1>0LYG0NES FUNICULAIRES. 33