CHAPITRE IV

LE POLYGONE FUNICULAIRE CONSIDÉRÉ COMME MOYEN DE COMPOSITION DES FORCES DANS UN PLAN ET LES PROPRIÉTÉS OUI EN DÉCOULENT.

DÉrmiTIOll DES POLTGOlfCS FUHIGULAIBES . — Représenlant et désignant les forces suivant les notations définies au § 26, soient

CA-.2i,/>/. VU)

les lignes d'action d'un système de cinq forces appliquées à un solide invariable et distribuées d^une manière quelconque dans un plan, et soient (Jig» 24)

les côtés du polygone de ces forces, lequel a le point a pour origine et le point 6 pour extrémité.

D'un point O pris arbitrairement dans le plan, menons des ravons vecteurs aboutissant aux deux extrémités a et 6 de ce polvgone et en ses divers sommets.

Tout sommet sera désigné, comme il a été dit au § 2, par les chifTres des deux côtés qui le déterminent ; de plus, tout rayon aboutissant à un sommet sera désigné comme le sommet lui-même, de sorte que nous dirons : les sommets 3.4, 4-5, et de même les ravons 3.4, 4*^ aboutissant à ces sommets.

34 a' SECTION.— CHAP. IV.

Ceci posé, d'un point quelconque A du plan {fig- 24) menons la ligne Al parallèle au rayon O a jusqu'à sa rencontre avec la ligne d'action 1 ; puis, du point 1 et entre les lignes d'action 1 et 2 menons la ligne 1.2 parallèle au rayon i.a du polygone des forces; entre les lignes d'action 2 et 3, 3 et 4, 4 et 5, menons de môme les lignes 2.3, 3.4, 4.5 respectivement parallèles aux rayons 2.3, 3.4î 4-5 et enfin du point 5 menons la ligne 5B parallèle au rayon extrême O 6.

Le nouveau contour A 1.2. 3. 4. 5B ainsi formé se nomme un po~ lygone funiculaire des forces données.

Le point O se nomme le pôle de ce polygone ; les rayons issus du pôle se nomment des rayons polaires.

Ainsi, un polygone funiculaire d'un système de forces est un polygone dont les sommets sont sur les lignes d'action de ces forces et dont les côtés sont parallèles aux rayons polaires.

Un système de forces données admet, d'après cela, une infinité de polygones funiculaires ; car chaque point O du plan peut être pris pour pôle et, le pôle une fois choisi, on dispose encore arbitrairement du point de départ A du polygone funiculaire correspondant.

Lorsque les forces données sont toutes parallèles, tous les côtés du polygone des forces sont dirigés suivant une seule droite.

La distance du pôle d'un polygone funiculaire à cette droite se nomme alors la distance polaire de ce polygone.

Remarque /. — Pour que la construction soit possible, quel que soit le point de départ A, il faut et il suffit que le côté Al rencontre la ligne d'action 1, que le côté 1.2 rencontre la ligne d'action 2, le côté 2.3 la ligne d'action 3, et ainsi de suite.

Cela aura lieu toutes les fois que le pôle O ne se trouvera sur la direction, supposée prolongée indéfiniment, d'aucun des côtés du polygone des forces.

En général^ il conviendra de le choisir de façon qu'il en soit ainsi. Si, toutefois, cela n'est pas, si le point O est pris sur la direction du côté I par exemple, la construction cesse d'être possible, quand le point de départ A est quelconque; mais elle peut être effectuée si l'on prend ce point sur la ligne d'action 11'; le côté A i coïncidera alors avec cette ligne ; d'ailleurs le rayon 1.2 coïnci-

dant, dans ce cas, avec celui Oa et tous deux avec le côté i, le côté 1.2 du polygone funiculaire coïncide avec le côté Al et tous deux avec la ligne d'action 11'; le point 2 sera donc l'intersection de cette ligne avec celle 22^; et c'est de ce point que partira le côté 2.3, sans autre anomalie dans la suite du tracé. Le point de départ 1 du côté 1.2 pourrait être pris quelconque. Ldi Jig, 22, PL F/ contient sept lignes d'action

répondant au polygone des forces (Jig* 22) dont les côtés sont

On a tracé, sur la figure, en lignes pointillées, le polygone funiculaire répondant au pôle quelconque O et en ligues pleines celui répondant au pôle a origine du polygone des forces.

Les rayons ou diagonales issus de a sont désignés par (12), (23),... et les côtés du polygone funiculaire correspondant sont désignés par (12), (23)...

Suivant l'observation ci-dessus, le point de départ de ce polygone ne peut pas être quelconque. Le tracé n'est possible qu'à la condition de prendre ce point sur la ligne 1 1', de sorte que les deux premiers côtés non marques coïncident avec H' et le troisième côté compris entre les lignes d'action 22' et 33' et habituellement désigné par 2.3 [ici par (1.2)] a pour point de départ l'intersection des lignes d'action 1 1' et 22'.

Des remarques analogues seraient à faire sur la condition de possibilité d'un polygone dont le pôle serait sur la direction d'un quelconque des autres côtés du polygone des forces.

Remarque IL — Observons que si, au lieu de considérer toutes les forces, on en considère quelques-unes seulement pourvu qu'elles soient consécutives, par exemple, celles dont les lignes d'action sont 2, 3, 4 et les grandeurs 2, 3, 4» le contour 1.2.3.4.5 est un polygone funiculaire relatif à ces trois forces ; les côtés extrêmes de ce polygone sont ceux 1.2 et 4.5, les rayons extrêmes, ceux qui aboutissent aux sommets 1.2 et 4 «^ du polygone des forces.

De là résulte cette conséquence importante : Toute propriété générale appartenant aux deux côtés extrêmes des polygones

funiculaires^ appartient aussi à deux côtés quelconquesy puisque deux côtés quelconques peuvent être considérées comme les côtés extrêmes du polygone funiculaire relatif aux forces qu'ils comprennent entre eux,

LEMME FOHDAMEIITAL. — Des forces distribuées d'une manière quelconque dans un plan et appliquées à un système invariable peuvent toujours, sans aucune exception, être réduites à deux forces ayant : \^ pour lignes d'^ action, les deux côtés extrêmes de Vun quelconque des polygones funiculaires de ces forces; '>:' pour grandeurs, les deux rayons polaires extrêmes, ces rayons étant parcourus en allant de l'origine à V extrémité du polygone des forces.

Reprenant les cinq forces définies par les fig. 24 et ^4 de la PL VU, il s'agit de démontrer que ces forces peuvent être réduites à deux ayant pour lignes d'action les côtés 1 Â et o B du polygone funiculaire, respectivement égales et de même sens que les rayons a O et 06.

Pour le démontrer, observons qu'on peut, sans changer l'état du corps sur lequel agissent les forces, faire les opérations suivantes :

i" Transporter les points d'application des forces données aux sommets 1, 2, 3, 4, 5 du polygone funiculaire;

2" Décomposer chacune de ces forces en deux autres suivant les deux côtés du polygone qui y aboutissent.

Pour décomposer la force 1 1' suivant les deux directions 1 A et 1.2, il suffirait (§28) de mener par le point a une parallèle à la première de ces directions et par le point i.a une parallèle à la seconde; mais la construction est toute faite et les composantes sont le rayon aO et le rayon 1.2, ce dernier estimé depuis le pôle O. De même les deux composantes de la force 2 2' suivant les lignes d'action 2.1 et 2.3 sont respectivement les rayons 2. i et 2.3, le premier allant du sommet 2.1 au pôle; le second, au contraire, du pôle au sommet 2.3 et ainsi de suite, jusqu'à la force 5o' dont les composantes suivant 5.4 et 5B sont respectivement les rayons 5.4 et 06, le premier allant du sommet 5-4 au pôle, le second du pôle au sommet b.

Remplaçons les cinq forces données parleurs composantes ainsi oblenues, de sorte que nous n'aurons plus que des forces dirigt'es suivant les divers côtés du polygone funiculaire ; mais les deux forces dirigées suivant chacun des côtés intermédiaires du polygone funiculaire sont égales et opposées. Ainsi, les deux forces dirigées suivant le côté 2.3 sont représentées l'une, celle appliquée au sommet 2, par le rayon 2.3 estimé du pôle vers le sommet, l'autre, cello appliquée au sommet 3, par le même rayon estimé en sens contraire. Donc (§ 22) ces forces peuvent être supprimées. Il en est de même de toutes celles dirigées suivant les côtés intermédiaires du polygone funiculaire. Il ne reste donc que les deux forces ayant pour lignes d'action les côtés extrêmes 1 A et 3B et qui sont bien représentées par les rayons a O et 06, de sorte que leur polygone des forces est le contour aOb.

EXTEH8I0M DU LEMKE FOIDAlliafTAL A DES SYSTÈMES MATtBIELS WEL- COIfllUES. — Des forces distribuées d'une manière quelconque dans un plan et agissant sur un corps quelconque peuvent toujours être remplacées par: i^ deux forces appliquées en deux points arbitrairement choisis à F intérieur du corps dans le plan contenant les forces, dirigées suivant les côtés extrêmes de l'un des polygones funiculaires de ces forces, représentées par les rayons polaires correspondants supposés parcourus en cheminant de l'origine à Vextrémité du polygone des forces; a"" un certain nombre de paires de forces appliquées en divers points du corps, deux à deux égales, dirigées suivant les droites qui joignent leurs points d* application et de sens opposés.

En effet, soient (Jig. a, p. 38) A et B deux points du corps pris arbitrairement dans le plan contenant toutes les forces et soit C le point d'application de l'une de ces forces F.

I® Si le point C n'est pas sur la ligne AB, nous pouvons, quel que soit le corps, décomposer la force F en deux autres / et f ayant même point d'application C que la force F et dirigées suivant CA et CB, puis au point A appliquer deux forces/' et — /', l'une égale et de même sens que/, l'autre égale et de sens opposé ; nous

pouvons de même appliquer au point B deux forces/,' et — /', l'une égale et de même sens que/, l'autre égale et de sens opposé. Nous aurons ainsi remplacé la force F par un système équivalent (§20) formé : 1° de deux forces/' et/' appliquées aux deux points A et B^ 2° de deux paires de forces / — /' et/, , — /' deux à deux égales, dirigées suivant les droites qui joignent leurs points d'application et de sens opposés.

2® Si une force F^ se trouve appliquée en un point D du corps placé sur la ligne géométrique AB et que sur la ligne d'action de

Fig. a.

Fi il se trouve un point IV du corps, on pourra, en ce points appliquer deux forces égales et opposées F',, — F, ayant F| pour valeur commune ;'en opérant alors sur la force F', comme nous l'avons fait sur la force F, on arrivera toujours à ce résultat d'avoir remplacé la force F| par deux forces appliquées en A et B et par des paires de forces deux à deux égales, dirigées suivant les mêmes lignes et de sens opposés ; on aura seulement ici une paire de forces de plus que dans le cas précédent, à savoir les forces Fi et — F,. i° Si enfin sur la ligne d'action de F| il ne se trouvait pas un second point D' du corps, placé à distance finie du premier, ce qui pourrait arriver, par exemple, si la force F< agissait tangentiellement à la surface d'un corps, on pourrait toujours décomposer cette force en deux autres appliquées au même point qu'elle et placées dans des directions qui rencontrent des points du corps. On procéderait alors sur chacune des composantes comme dans le cas 2**.

POLYGONES FUNICULAIRES. Sq

En opérant ainsi sur chacune des forces appliquées au corps, quel qu'il soil (solide ou fluide), on aura remplacé ces forces par un système équivalent formé : i** par des paires de forces comme celles annoncées dans le théorème qu'il s'agit de démontrer; a® par deux groupes de forces, les unes appliquées en A et qu'on peut remplacer par leur résultante que nous appellerons r, les autres appliquées en B et qu'on peut de même remplacer par leur résultante r'.

Il reste donc seulement à montrer que ces deux forces r et / sont dirigées suivant les côtés extrêmes de l'un des polygones

Fig. a'.

funiculaires des forces données et qu'elles sont représentées par les rayons polaires correspondants.

Observons d'abord que, si nous concevons, pour un instant, que tous les points du corps viennent à être invariablement liés entre eux, ce qu'on exprime en disant qu'on solidifie le corps, alors les paires de forces dont il vient d'être parlé deviennent supprimables (§21) et les deux forces r et z*' forment à elles seules un système équivalent aux forces données.

Soient (^g'. a', p. 89) a et èl'origine et l'extrémité du polygone de ces forces; menons aO égal, parallèle et de même sens que la force r : si nous construisons le polygone funiculaire des forces données ayant le point O pour pôle et la ligne d*action de la force r pour premier côté, ces forces, supposées appliquées au corps solidifié peuvent, en vertu du lemme du paragraphe précédent, être remplacées par deux forces

r et r",

40 a* SECTION. — CHAP. IV.

dirigées suivant les côtés extrêmes de ce polygone et représentées

par les rayons extrêmes aO et 06, dont le premier est j\

Mais, puisque, dans ces conditions, c'est-à-dire le corps supposé

solidifié, les forces données' peuvent aussi être remplacées par

celles

r et r,

il faut que ces deux dernières soient équivalentes à celles /• et 7^, ce qui exige que celles /•' et r" soient équivalentes sur un corps solide, c'est-à-dire que leurs lignes d'action coïncident et que leurs grandeurs et sens soient les mêmes, ce qui établit la proposition énoncée.

GONDITIOHS fiRAPHiaUES D'ÉaUEilBRE DE FOBGES SITUÉES DAKS UN PLAN. — Théorème. — Pour que des forces distribuées d'une manière quelconque dans un plan et appliquées à un système invariable soient en équilibre, il faut et il suffit : \'' que le polygone de ces forces se ferme; i^ qu'un de leurs polygones funiculaires {quon pourra choisir arbitrairement) se ferme également et alors tous leurs polygones funiculaires se fermeront.

En effet, les forces données peuvent être (§ 33) réduites à deux résultantes ayant {fig- 2i et 24, PL VII) les lignes lA et 5B pour lignes d'action et les rayons aO et Ob pour grandeurs et sens.

Or, pour que deux forces appliquées à un système invariable se fassent équilibre, il faut et il suffît (§ 22) qu'elles aient même ligne d'action, et soient égales et de sens opposés.

Ainsi, il faut d'abord que les deux côtés extrêmes 1 A et 5B du polygone funiculaire coïncident, ce qui exige que chacune de ces deux lignes passe à la fois par les points 1 et 5, c'est-à-dire que le polygone funiculaire se ferme.

Par suite, les deux rayons a O et O 6, parallèles à ces lignes, auront aussi même direction géométrique et, comme les deux résultantes représentées respectivement par ces deux rayons doivent être égales et de sens opposés, il faut que les points a ci b coïncident, c'està-dire que le polygone des forces se ferme également.

Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes. En effet, si le polygone

funiculaire se ferme, les deux résultantes ont même ligne d'action et si, en outre, le polygone des forces se ferme, elles sont égales et de sens opposés.

Corollaire L — Si ces conditions sont remplies pour un seul polygone funiculaire, réquilibre existe et, par suite, si l'on réduit le système à deux forces dirigées suivant les deux côtés extrêmes d'un autre pohgone funiculaire, ces deux résultantes sont aussi égales et directement opposées.

Ainsi : si le polygone d'un système de forces se ferme et qu'un seul de ses polygones funiculaires se ferme f il en est de même de tous les autres.

Corollaire IL — Si les forces considérées sont toutes appliquées en un même point, il faut et il suffit (§ 29), pour qu'elles soient en équilibre, que le polygone des forces se ferme. Supposons qu'il en soit ainsi. Alors, l'équilibre existant, il résulte du théorème cidessus que, si l'on constrait un quelconque des polygones funiculaires des forces données, il se fermera.

De là, un théorème de Géométrie très utile et qu'il serait facile d'établir aussi directement.

Soient {fig. 13, PL III) trois forces appliquées en un point D dont les lignes d'action sont 6, o, 4 et qui sont représentées par le polygone fermé (triangle) ayant les côtés 6, 5, 4j de sorte qu'elles se font équilibre.

Par suite, si nous construisons le polygone funiculaire de ces forces relatif à un pôle quelconque d^ ri se fermera. Partons, par exemple, d'un point B pris sur la ligne d'action 4, construisons entre les lignes d'action 4 et o le côté BA ou 1 parallèle au rayon 4.5 ou i; entre les lignes d'action 5 et 6 le côté AC ou 2 parallèle au rayon 5.6 ou 2, entre celles 6 et 4, la ligne 3 partant de G et parallèle au rayon 6.4 ou 3.

Le polygone funiculaire devant se fermer, ce dernier côté reviendra au point de départ B.

Les deux y?^. 13 et i3 sont formées chacune par six lignes joignant quatre points d'un plan; chacune comprend quatre triangles; elles sont d'ailleurs telles :

4a a" SECTION. — CIIAP. IV.

1° Qu'à chaque ligne de l'un répond, dans l'autre, une ligne parallèle; de telles lignes portent, sur les deux figures, le même numéro et sont dites correspondantes ;

2° Que trois lignes de l'une formant un triangle ont pour correspondanles, dans l'autre, trois lignes issues d'un même point.

Le résultat auquel nous venons d'arriver peut donc s'énoncer ainsi : Si cinq des six lignes joignant quatre points d'un plan (par exemple les lignes 6, 5, 4, 1, 2) sont parallèles à cinq des six lignes joignant quatre autres points {celles &^ 5, 4? ï> 2); 5i\ de plus y les lignes parallèles se correspondent de façon qu'à chacun des deux triangles formés par les cinq lignes de l'une des figures répondent, dans Vautre, des lignes issues d'un même point, la sixième ligne de l'une des figures sera parallèle à la sixième de l'autre.

Il serait facile de généraliser la proposition en prenant plusieurs forces appliquées en un même point {fig- 15 et i5, PL III).

GONDITIOHS D'mSTEHGE ET BEGHEBGHE aBAPHiaUE DE Lk BÉSULTAHTE DE F0BGE8 SITUÉES DAHSTJll PLAI. — Théorème. — Pour que des forces situées dans un plan et appliquées à un système invariable admettent une résultante, il faut et il suffit que le polygone de ces forcesnesefermepas.Alors leur résultanteestégaleen grandeur, direction et sens à leur somme géométrique (§3) et sa ligne d'action passe par le point d'intersection des deux côtés extrêmes d'un quelconque de leurs polygones funiculaires.

La condition indiquée est nécessaire; car, si un système de forces admet une résultante R, une force R' égale et directement opposée à R maintiendra ces forces en équilibre; donc le polygone des forces données et de la force R' doit être fermé (§ 35), ce qui exige que le polygone des forces données ne le soit pas (à moins de supposer la force R' nulle ; en ce cas, les forces données se feraient équilibre par elles-mêmes et il n'y aurait pas à en chercher la résultante).

Le polygone des forces données n'étant pas fermé, considérons un polygone funiculaire dont le pôle O soit pris {^g- 24 et 24,

PL y II) en dehors de la ligne ba qui le ferme, en sorte que les rayons extrêmes Oa, 06 n'auront pas même direction. Donc, les côtés extrêmes iA et 5B du polygone funiculaire, lesquels sont parallèles à ces rayons, se rencontrent et, comme ce sont les lignes d'action des deux résultantes auxquelles les forces données sont réductibles (§ 33), ces deux dernières forces elles-mêmes se rencontrent. Soit 6 leur point d'intersection; nous pouvons y transporter leurs points d'application; par suite, leur résultante passera par ce point et sera égale, d'après la règle du parallélogramme des forces, à leur somme géométrique. Mais, comme ces deux forces ont pour polygone le contour aOi, leur somme géométrique ab coïncide avec celle des forces données.

Remarque I, — De là, le procédé graphique suivant pour trouver la résultante des forces appliquées à un système invariable, quelle que soit leur distribution dans un plan : construisez Tun quelconque de leurs polygones funiculaires (celui qu'on trouvera le plus commode au point de vue graphique).

Le point d'intersection des côtés extrêmes de ce polygone donne un point de leur résultante. Celle-ci est d'ailleurs représentée, sur le polygone des forces, par la droite ab qui va de l'origine à l'extrémité de ce polygone .

Remarque. — Il convient en général de prendre le pôle du polygone funiculaire que l'on construira en dehors de la ligne ab\ autrement ses côtés extrêmes seraient parallèles et ne fourniraient pas un point delà résultante, sauf pourtant si le pôle coïncide avec l'une des extrémités a ou b. Cette exception s'explique ainsi : en général, si le pôle O est pris sur a6, on réduit (§ 33) les forces données à deux résultantes égales à aO et 06, parallèles entre elles, puisqu'elles coïncident avec les côtés extrêmes du polygone funiculaire, lesquels sont, dans ce cas, parallèles. On n'aurait donc pas directement leur résultante; mais, si le point O coïncide avec a par exemple, l'une de ces deux forces, celle aO, est nulle, par suite, l'autre 06 = a6 donne directement la résultante. Ainsi, on doit prendre le pôle O, soit en dehors de la ligne a6, soit en l'un des points a ou 6. En le prenant en a, par exemple, le polygone funiculaire tracé fournit le même résultat que si l'on faisait la composition des forces données en composant d'abord les deux premières 1 et 2 à l'aide du parallélogramme des forces; puis leur

44 a* SECTIO>'. — CHAP. IV.

résultante partielle, qu'on peut appeler (12) avec la force 3; la nouvelle résultante partielle, qu'on peut appeler (123) avec la force 4, et ainsi de suite.

Surlesy?^. 22 et 22, PL VI, on a indiqué l'opération concurremment avec celle qui consisterait à chercher la résultante à l'aide d'un polygone funiculaire de pôle quelconque O [voir aussi, à ce sujet, le § 41 cî-3près].

PBOPRIÉTÉ HÉCANiaUE FOHDAIKENTALS DES P0LT601IES FUNIGULAIBES. —

Le point de rencontre de deux côtés quelconques d'un polygone funiculaire est un point de la résultante partielle des forces comprises entre ces côtés. Cette résultante est d^ ailleurs représentée en grandeur, direction et sens par la somme géométrique de ces mêmes forces.

En effet, la règle de composition d'un système de forces établie au paragraphe précédent s'applique à une portion quelconque de ces forces, pourvu qu'elles soient consécutives.

Ainsi, si, au lieu de considérer les cinq forces représentées Jig, 24 et a/| de la PL VI T^ nous en prenons, par exemple, trois consécutives, celles dont les lignes d'action sont

et qui sont représentées par les côtés

du polygone des forces, les côtés extrêmes du polygone funiculaire relatif à ces forces sont les côtés 1.2 et 4.5-, donc, en vertu de la règle établie au paragraphe précédent, si ces côtés se rencontrent et qu'on les prolonge jusqu'à leur point d'intersection, on aura un point de la résultante des trois forces comprises entre ces côtés et cette résultante est la somme géométrique de ces trois forces.

Si l'on veut, à l'aide d'un même polygone funiculaire, trouver toutes les résultantes partielles, il convient de prendre le pôle en dehors des diagonales qui, sur le polygone des forces, représentent ces résultantes, à moins toutefois qu'on le prenne coïncidant avec un sommet. La raison en est la même que celle donnée à la fin du § 36.

COUPLES. — Si Ton appliquait la règle du § 36 qui fournit la résultante d'un système de forces quand elle existe, c'est-à-dire quand le polygone des forces n'est pas fermé, au cas où ce polygone est fermé, on arriverait, comme on le voit aisément, à ce résultat illusoire : un système de forces dont le polygone des forces est fermé admet une résultante nulle dont le point d'application est à rinfinl.

Mais, si, au lieu de cette règle qui est naturellement en défaut dansée cas, puisque (§ 36) c'est le cas où la résultante n'existe pas, on applique le lemme du § 33 qui ne soufire jamais d'exception, on voit que les deux forces auxquelles le système peut se réduire sont alors égales, parallèles et de sens opposés. L'ensemble de deux pareilles forces se nomme un couple ; la distance entre leurs lignes d'action se nomme le bras de levier^ du couple.

Il est facile de démontrer directement qu'un couple est irréductible, c'est-à-dire n'admet pas une résultante unique.

En effet désignons, comme on le fait d'habitude, par F et — F les deux forces du couple. SI elles admettent une résultante R, celle-ci doit être située dans le plan du couple (plan des deu\ forces formant le couple); car il n'y a pas de raison pour qu'elle occupe, en dehors de ce plan, une position plutôt que la position symétrique.

Si cette résultante R existait, une force R' qui lui serait égale et opposée maintiendrait le couple en équilibre (§21). Il s'agit donc simplement de démontrer qu'on ne peut pas trouver dans le plan du couple une force R', telle que les trois forces

F, — F et R' se fassent équilibre.

En elfet, la première condition pour qu'elles se fassent équilibre (§ 35), c'est que leur somme géométrique soit nulle ou que le polygone de ces trois forces se ferme. Or, les deux forces F et — F portées bout à bout donnent déjà un polygone fermé; le polygone des trois forces ne peut donc se fermer que si la force R' est nulle. Mais dire que la force R' qui équilibre le couple est nulle, c'est dire que les deux forces F et — F se font, par elles-mêmes, équilibre,

46 a* SECTION. — CHAP. IV.

ce qui est Impossible, puisque (§ 22) deux forces ne peuvent se faire équilibre sur un système invariable que si elles ont même ligne d'aclion.

GOHDITIOH aBAPHiaUE POUR ftUE DES FORCES SITUÉES DAHS UN PLAN SE RÉ- DUISENT A UN COUPLE. — Pour que des forces appliquées à un solide invariable et distribuées d^une manière quelconque dans un plan se réduisent à un couple j il Jaut et il suffit que le polygone de ces forces se ferme, Vun des polygones funiculaires ne se fermant pas, et alors aucun polygone funiculaire ne se ferme.

En effet, si le polygone des forces ne se ferme pas, le système admet une résultante. Si le polygone des forces se ferme et qu'un seul polygone funiculaire se ferme également, le système est en équilibre.

On voit d'ailleurs directement {fig. 24 et 24, PL VII) que, si le polygone des forces se ferme, les deux rayons aO et 06 qui représentent (§33) les deux résultantes des forces données coïncident; les lignes d'action 1 A et SB de ces deux résultantes leur étant parallèles sont donc parallèles entre elles, et les deux résultantes ellesmêmes représentées par « O et O 6 sont égales et de sens opposés. Ainsi ces deux résultantes forment bien un couple.

Réciproquement, si les deux résultantes forment un couple : 1° de ce que leurs lignes d'action 1 A et 5B sont parallèles, il s'ensuit que les rayons extrêmes a O et 06 coïncident en direction; 2** de ce qu'elles sont égales et de sens opposés, il résulte que aO est égal et opposé à 06, c'est-à-dire que les deux points a et 6 coïncident.

RÉSUMÉ. — Des forces distribuées d'une manière quelconque dans un plan, appliquées à un système invariable étant définies par leurs lignes d'action et leur polygone des forces, il peut se présenter deux cas :

I® Le polygone des forces n'est pas fermé ;

2° Il est fermé.

Dans le premier cas, le système admet toujours une résultante que Ton sait trouver (§ 36) par la construction d'un polygone funiculaire.

Dans le second, pour savoir à quoi le système est réductible, il faut aussi construire un polygone funiculaire. Les côtés extrêmes de ce polygone, quel qu'il soit, ne peuvent (le polygone des forces étant fermé) qu'être ou parallèles ou coïncidants.

S'il arrive qu'ils coïncident, les forces données sont en équilibre (§35).

S'ils sont parallèles, le système se réduit à un couple dont le polygone funiculaire construit fournit les deux forces et le bras de levier (§39 et 33).

Observons que, si l'on construisait un autre polygone, on trouverait un couple avec d'autres éléments. Cela prouve que, s'il n'existe pas une force unique équivalente à un couple, il existe, en revanche, une infinité de couples équivalents entre eux.

Etant donnés deux couples, il est facile de vérifier graphiquement s'ils sont équivalents. Pour qu'ils le soient, il faut et il suffit (§ 21) que les forces de l'un d'eux et celles de l'autre changées de sens se fassent équilibre. Nous savons vérifier si quatre forces se font équilibre. Ici le polygone des quatre forces se ferme et il suffit de vérifier si un de leurs polygones funiculaires se ferme aussi.

D'une manière générale, on vérifie de même si deux systèmes de forces quelconques situées dans un plan et appliquées à un solide invariable sont équivalents, en vérifiant s'il y a équilibre entre les forces de l'un des systèmes et celles de l'autre changées de sens.

EXEMPLES. 1° Forces quelconques. — Les Jig. 14 et i4, PL III, contiennent les divers cas qui peuvent se présenter dans la composition des forces :

I** Les quatre forces

1, â, 3, 4 représentées par

admettent comme polygone funiculaire le polygone Aol.â.3.46o

qui, parrintersectionS de ses côtés extrêmes, donne la résultante

5R=ab.

2° Les cinq forces