partie Aol.2.3.4Bo relative aux quatre premières forces; pour le

terminer, il faut prolonger 4Bo jusqu'en 5, ce qui donne le côté A.o

parallèle au rayon 4-5 (ou 06), puis, par le point 5, tracer une

parallèle au rayon 5.i (ou Oa . Ce dernier côté coïncide avec le

premier.

3° Les cinq forces

la dernière représentée par 6a, par suite, parallèle à RR'.

Le polygone des forces est fermé; le polygone funiculaire est

A1.2.3.4.5iB,.

Ses côtés extrêmes Aq 1 et 5< B< sont parallèles et les forces se réduisent à un couple dont les deux forces ont pour lignes d'action les côtés extrêmes 1 Ao, 5|B| et sont égales k aO et Oa d'après le lemme du § 33.

Dans les y?^. 22 et 22 [PL VI) qui comprennent sept forces ayant pour lignes d'action

il', 22', 33', 41', 55', 66', 77',

et représentées parles côtés

du polygone des forces, on a montré comment on pourrait opérer, sans l'usage du polygone funiculaire, par compositions successives.

Les lignes d'action H' et 22' se rencontrent en E, leur résultante passe par ce point et est représentée, sur lepolygone desforces, par la diagonale (12): sa ligne d'action (12) est donc parallèle à

celle diagonale. Si oa la prolonge jusqu'à son inlersection avec 33' en z et qu'on la compose avec celte dernière force, leur résiillante est représentée, sur le polygone des forces, par la diagonale ( i 23) el a pour ligne d'action (123); de même la résultante des quatre premières forces est représentée par la diagonale ( i 2 3 4 ) du polygone des forces et sa ligne d'action est (1.2.3.4), et ainsi de suite. La résultante R des sept forces est représentée parât.

On voit que ce procédé, qui aurait l'inconvénient d'être en défaut si les forces données étaient parallèles et même si une résultante partielle ne rencontrait pas la force avec laquelle on veut la composer ou la rencontrait en dehors des limites de l'épure, n'est eo réalité qu'un cas particulier de la méthode du polygone funiculaire.

Le polygone formé par les lignes successives

n'est en effet, comme on le voit, autre que le polygone funiculaire relatif au pôle a.

Nous avons, sur la même épure et à titre de vérification, tracé le polygone funiculaire dont le pôle est O. C'est le polygone V1.2.3.4.D.6.7B.

On voit que l'intersection de ses côtés extrêmes Al et 7B donne bien un point 8 de la résultante. Et ses divers côtés, parleurs intersections, donnent non seulement les résultantes partielles (12), (123), . . . , mais aussi celles de forces consécutives telles que 2, 3, i. De plus elles donnent la faculté de choisir le pôle de façon que les rayons vecteurs et, par suite, les côtés du polygone funiculaire qui leur sont parallèles ne se coupent jamais sous des angles trop aigus; elle est applicable, que les forces soient parallèles ou non; enfin elle constitue une méthode, puisqu'elle fournit les conditions d'équilibre, celles nécessaires à l'existence d'une résultante ou d'un couple résultant.

T Forces parallèles. — Quand les forces sont parallèles, les côtés du polygone des forces sont sur une même ligne droite. La fig. 31 [PI, VIII) contient les lignes d'action de quatre forces

parallèles

5o a* SECTION. — CHAP. IV.

le polygone de ces forces {fig* 3i) a son origine en a et son ex-

Irémilé en b.

Les côtés

Al, \.% 2.3, 3.4, 4 B

du poI}'gonc funiculaire ayant son pôle en O sont respectivement parallèles aux rayons aboutissant aux points

L'intersection 5 des côtés extrêmes lA et 4B donne un point de la résultante 5R = ah.

Soit 5R' une force égale et opposée à R, de sorte que oR' est représentée, sur le polygone des forces, par. 6a = 5. Elle fera équilibre aux quatre forces données, puisqu'elle est égale et opposée à leur résultante et Ton vérifie, en effet, que le polygone des cinq forces 1, 2^ 3, 4, 5, ainsi que leur polygone funiculaire est fermé.

PROBLÈMES USUELS BELATIFS A LA GOMFOSITIOH DES FORGES. — Problème L — Etant données plusieurs forces parallèles, trouver deux forces de même direction qu'elles, passant par des points donnés et leur faisant équilibre.

* Soient {fig. 93, PL A Al)

les lignes d'action des forces données, et (Jig* gS)

les côtés de leur polygone.

Soient 7 et 8 les lignes d'action des forces inconnues et 7 et 8 leurs grandeurs cherchées. Supposons le problème résolu; portons 6(0=7 eta)a=:8 à la suite des forces connues, sur le polygone des forces ; il devra se fermer; on reviendra donc en a et le point 0) ou 7.8 est seul inconnu.

Construisons le polygone funiculaire relatif au pôle O. A cet effet, partant d'un point 8' de la ligne d'action 8, nous pourrons construire le contour 8M'.2'.3M'.5'.6'.7' dont les côtés sont respectivement parallèles aux ra>ons vecteurs issus de O et allant aux

POLYGONES FUNICULAIRES. 5l

sommets connus 8.1 ou a; i.a, 2.3, 3.4^ 4-^9 S-^» 6*7 ou b. Et, comme le polvgone doit se fermer, il suffît de joindre les points T et 8', puis de mener de O une parallèle à cette ligne; on aura le point 7.8 ou a>.

Ainsi, la règle est celle-ci : numérotez les forces données 1, 2, 3, 4, 5, 6; donnez les deux numéros suivants 7, 8 aux forces inconnues; puis, construisez un polygone funiculaire de pôle quelconque O des forces données; arrêtez les deux côtés extrêmes de ce polygone en leurs points d'intersection 7' et 8' avec les lignes d'action données; menez la corde 7'. 8' de ce polygone et, par le pôle, menez un rayon parallèle à cette corde. Il divisera la ligne ab qui ferme le polygone des forces en deux segments qui donnent les forces cherchées.

Rien ne serait changé à cette marche si les forces données n'étaient pas toutes de même sens ou si les lignes 7 et 8 ne comprenaient pas, entre elles, toutes les forces.

Probxehe II. — Réduire un système de forces parallèles à deux forces de mêmes directions qu^ elles, ayant des lignes d^ action données.

Si R et R' sont les deux résultantes cherchées, les forces — R et — R' égales et opposées à ces dernières maintiendront (§22) les forces données en équilibre.

La marche à suivre est donc la même que ci-dessus. Seulement les deux forces cherchées, au lieu d'être 7 = 6(0 {fig» aS) et 8 = (i)a, seront ces forces changées de sens.

Problème III. — Étant données des forces quelconques, troui^er deux forces les équilibrant et agissant s uii^ant des lignes d'action données, parallèles à leur résultante.

On procédera exactement comme dans le problème I. Les côtés I, 2, 3, 4î 5, 6 du polygone des forces, au lieu d'être en ligne droite, formeront un contour polygonal : on mènera la droite ba qui ferme ce contour. On construira le polygone funiculaire 8'.!'. 2'. 3'. 4'. S'. 6'. 7' des forces connues en arrêtant les côtés extrêmes en leurs points d'intersection 7' et 8' avec les lignes d'action données; on joindra les extrémités 7' et 8' de ce polygone; et le ravon Oo) parallèle à cette ligne donnera, par son intersection

avec la droite ba qui ferme le polygone des forces, les deux forces cherchées 7 et 8.

Problème IV. — Étant données des forces quelconques y les ramener à deux forces agissant suivant des lignes d'action données parallèles à leur résultante.

Même problème que le précédent, sauf que les forces obtenues seront changées de sens.

Problème V. — Trouver la résultante de deux forces parallèles.

On peut évidemment appliquer la méthode générale du polygone funiculaire. Elle est indiquée sur les ^^. 26 et 26, PL VU, où lesforcesdonnéesont, pour lignes d'action, \ et2 et, pour grandeurs, I ^ ao) et a = (o6. La résultante passe par l'intersection 3 des côtés extrêmes Al et 2B du polygone funiculaire relatif au pôle O. On ferait de même si les forces 1 et 2 étaient de sens contraires. Mais il est plus simple d'employer la marche suivante.

Soient (Jig' 28, PL VII) 1 et 2 les lignes d'action des forces données, i et 2 leurs grandeurs. Sur la ligne d'action de chaque force portons la grandeur de Vautre force, de sorte que, sur la ligne indéfinie 1, à partir d'un point quelconque, on porte «2^2= 2 et, sur celle 2 aussi, à partir d'un point quelconque, on porte a^ 6| = i . On joint l'origine de chacune de ces deux lignes à l'extrémité de l'autre, ce qui donne les deux droites a^ b^ et a^b^. Leur point d'intersection G appartient à la résultante.

En effet, par le point 62, menons b^b'.^ parallèle ka^b\^ de sorte que 6162 =2':= 2. On peut donc considérer a^b^b'.^ comme le polygone des deux forces données. Construisons un polygone funiculaire de ces forces en prenant le point 62 pour pôle, en sorte que les trois rayons sont b^a^, b^b^, b^b'^, Preuons le point a^ pour point de départ de ce polygone funiculaire. Alors, son premier côté parallèle au rayon a\ 62 sera ce rayon lui-même ; son deuxième côté parallèle au rayon 6261 sera également ce rayon même ; le troisième et dernier côté s'obtient en menant par b^ une parallèle au rayon 62^2; c'est la ligne b^a^» Ainsi, le polygone funiculaire cherché est celui ai62^i^f L'intersection de ses deux côtés extrêmes a{ &2 et b\ a2 donne un point de la résultante. Il est donc

POLTGONRS FUNICULAIRES. 53

ainsi établi que le point C appartient à la résultante. La ligne d'action 3 de cette résultante est d'ailleurs parallèle aux forces données. Elle est égale à la somme géométrique de ces forces, c'està-dire à leur somme arithmétique, si elles sont de même sens comme dans la Jig, 28, et à leur différence arithmétique si elles sont de sens contraires comme dans la Jîg. 2o.

On voit que, dans le premier cas, la ligne d'action de la résultante est entre les lignes d'action des composantes; dans le second, elle est en dehors de la zone du plan bordée par ces lignes et placée du côté de la plus grande des deux forces données, celle dont la ligne d'action est 2' et la grandeur 'i et a même sens que cette force.

Dans les deux cas, les triangles a^b^C et ^(2/^2^ étant semblables, leurs bases sont entre elles comme leurs hauteurs, de sorte que, si />, ou p2 sont les distances de la résultante ou du point C aux deux composantes 1 et 2, on a

c'est-à-dire que la ligne d'action de la résultante est telle que ses distances aux lignes d'action des deux composantes sont en raison inverse de ces dernières.

Si l'on désigne par F| et F2 les deux composantes i et 2, on a donc

^ixpi=^tx Pi- Remarque. — Un couple peut être considéré comme une force infiniment petite dont le point d'application est infiniment éloigné, mais de telle sorte que le produit de cette force par la distance de son point d'application à l'une quelconque des deux forces du couple reste fini et égal au produit de la force du couple par son bras de levier. En effet, de l'équation ci-dessus on tire

Pi~ Pi~ Pi— Pi' doit

(F,-FO/>i=F,(/>i-/>,).

Supposons que, F2 restant fixe, F< grandisse de façon à devenir égale à F2 et qu'ainsi, à la limite, les deux forces forment un couple. Le second membre reste fixe, puisque c'est le produit de la force Fj du couple par son bras de levier p2 — />|. Do/c, le

5\ a® SECTION. — eu A p. IV.

premier membre reste aussi fixe. Mais, comme le facteur F2 — F| décroît indéfiniment, celui /?, croît indéfiniment.

Le produit de la force d'un couple par son bras de levier se nomme le moment du couple.

Problème VI. — Décomposer une force donnée en deux autres de même direction qu ''elle et ayant des lignes d^ action données.

Ce problème est évidemment un cas particulier du problème II. \Iais il peut se résoudre plus simplement, comme l'inverse du précédent. SoltSlaligned'actiondelaforce àdécomposer(/?o^.28,P/. F7/) en deux autres dont les lignes d'action sont 1 et 2 et soit a^ h\^ la grandeur de la force donnée 3 que nous portons sur l'une des lignes d'action données, par exemple celle 2. Nous joignons les extrémités a^ et V.^ de cette ligne à un point quelconque h^ de la ligne d'action donnée \ , et, parle point C où l'un de ces deux rayons, celui «1 62? coupe la ligne d'action 3, nous menons une parallèle à l'autre; le point è| où elle coupe 2 détermine les deux composantes «lé, = 1 et 6162 = 2' dirigées respectivement suivant les lignes d'action 1 et 2; car, en composant ces deux forces, on obtient, en vertu du problème précédent, une résultante qui a bien 3 pour ligne d'action et a^h^^Z pour grandeur.

Dans le cas où la ligne d'action 3 est entre les lignes d'action données 1 el^ijig. 28), on trouve deux composantes i et 2 toutes deux de même sens que la force donnée; dans le cas contraire, [fig- 25), les deux composantes obtenues sont de sens contraires.

Problème VII. — Décomposer une force donnée en deux autres de même direction qu 'elle et dont l'une soit donnée en grandeur ^ direction et sens.

Soit toujours (/î^. 28) 3 la ligne d'action de la force à décomposer et 3 sa grandeur.

Soit 2 la ligne d'action de la composante donnée et 2 sa grandeur. Sur celte ligne 2 portons bout à bout a< b'^ = 3 et b[^bi = 2' et égale à la force donnée 2 changée de sensj de sorte que si, comme sur la fig, 28^ les deux forces données 3 et 2 sont de même sens, le point 6, est compris entre a^ et b[, ; c'est l'inverse (fig- 2o) si les forces 3 et 2 sont de sens contraires. On joint les points ai

POLYGONES FL'MCl LAIRES. 55

et bi à un point quelconque C de la ligne d'action 3 de la force à décomposer.

Parle point b'^ on mène une parallèle au rayon 6|C jusqu'à sa rencontre avec celui ^i C en 62 ; on aura un point de la ligne d'action 1 de la composante inconnue, laquelle est d'ailleurs, en grandeur et sens, représentée par a, è, =: i .

PROBLÈME VIII. — Equilibrer une force donnée par deux autres de même direction qu'elle et ayant des lignes d'action données.

Il suffit (§ 21 ) de résoudre le problème VI et de changer le sens des forces obtenues dans ce problème.

Problème IX. — Équilibrer une force donnée par deux autres de même direction qu'elle et dont l'une soit donnée.

Il suffit de résoudre le problème VII après avoir changé le sens de la force donnée et de changer ensuite le sens de la force obtenue.

FR0FBIÉTÉ8 fiÉOMÉTRiaUESDESPOLYaomsrUinGnLAIBES . — Théorème I . —■ De quelque façon qu'on déplace le pôle du polygone funiculaire d' un système de forces données j le lieu des points de rencontre de deux quelconques de leurs côtés est une droite parallèle à la somme géométrique des forces comprises entre ces côtés.

Ce théorème est une conséquence évidente de ce que (§37) le point de rencontre de deux côtés d'un polygone funiculaire appartient à la ligne d'action de la résultante des forces comprises entre ces côtés.

Théorème II. — Sideux systèmes de forces {F) et{¥')sont équivalentsetque l'on construise deux polygones funiculaires y l'unV relatij aux forces (F), l'autre P' relatif aux forces (F'), ces deux polygones ayant même pôle et même point de départ, leurs côtés extrêmes coïncideront.

Il est sous-entendu, dans cet énoncé, qu'en portant les force»

56 2* SECTION. — CIIAP. IV.

(F) et les forces (F') bouta bout pour construire les polygones de ces deux systèmes de forces, on part du même point, en sorte que ces deux polygones ont, par hypoljièse, même origine. Soit a cette origine commune ; désignons par b et 6' les extrémités des polygones des deux systèmes de forces.

Soient O le pôle et A. le point de départ commun aux deux polygones funiculaires P et P'. Le premier coté du polygone P coïncidera nécessairement avec le premier côté du polygone P', puisque, par hypothèse, ces deux côtés passent l'un et l'autre par le point A et sont l'un et l'autre parallèles au rayon Oa issu du pôle commun et allant à l'origine commune des deux polygones des forces. Cette coïncidence existerait en vertu des hypothèses faites, même si les deux systèmes de forces ( F) et (F') n'étaient pas équivalents.

Il s'agit donc simplement de montrer que, dans le cas où ces systèmes sont équivalents, les derniers côtés des deux polygones coïncident aussi.

Or les forces (F) sont (§ 33) réductibles à deux forces/ et/' dirigées suivant les côtés extrêmes du polygone P et représentées par les rayons extrêmes aO et 06 issus du pôle de ce polygone; de même les forces (F') sont réductibles à deux forces /et /" dirigées suivant les côtés extrêmes du polygone P' et représentées par les rayons Oa et 06', de sorte que la force / dirigée suivant le premier côté est la même dans les deux systèmes. Or les deux deux systèmes de forces (F) et (F') étant équivalents, il en est de même des deux systèmes formés l'un par les deux résultantes

l'autre par les deux résultantes

Les forces /'et/" sont donc équivalentes, c'est-à-dire égales, de même sens et ayant même ligne d'action, ce qui établit bien la proposition énoncée et montre d'ailleurs que les extrémités b et b' des deux polygones des forces coïncident aussi, ce qui résulte, en effet, des conditions d'équivalence précédemment établies.

CoROLLAiiiE. — Le lieu des pôles des polygones funiculaires d^un système de forces, assujettis à ce que leurs côtés extrêmes

passent chacun par unpoint fixe, ne change pas si Von remplacé ces forces par des forces équivalentes quelconques.

En effet, soit O un point du lieu des pôles des polygones funiculairei d'un système de forces (F), ces polygones étant assujettis à se terminer en deux points fixes A et B. Si (F') est un système de forces équivalent à celui (F), le point O appartient aussi au lieu des pôles des polygones funiculaires des forces (F'), assujettis à se terminer en A et B. En effet, si l'on construit un polygone funiculaire de ces dernières forces, ayant le point O pour pôle et le point A pour point de départ, son dernier côté passera par le point B; car ce dernier côté coïncide avec celui du polygone relatif au système (F) de même pôle O et ayant le point A comme point de départ, et ce dernier, par hypothèse, passe par le point B.

Ainsi, tout point O du lieu relatif aux forces (F) appartient au lieu relatif aux forces (F').

On verrait de même que tout point du lieu relatif aux forces (F') appartient à celui relatif aux forces (F). Les deux lieux sont donc identiques.

Théorème III. — Le lieu des pôles des polygones funiculaires, dont deux côtés sont assujettis à passer chacun par un point fixe, est une droite parallèle à celle qui joint les deux points fixes.

Supposons d'abord que ce soient les côtés extrêmes du polygone funiculaire d'un système de forces qui doivent passer par deux points A et B (yî^. 4> p- 58), et supposons, en premier lieu, que ces forces admettent une résultante R. Cette résultante est représentée, sur le polygone des forces, par la ligne a6, et sa ligne d'action R peut être obtenue par la construction d'un polygone funiculaire quelconque. Décomposons la force R en deux autres F< etF2, de même direction qu'elle et passant parles points donnés AetB.

Soient respectivement aw et wô les grandeurs de ces deux forces; on sait (§ 42, Prob. V) que le point w divise la ligne ab en raison inverse des distances connues des points A et B à la ligne d'action de la résultante et est compris entre les points a et 6 ou sur le prolongement de la ligne aè, suivant que la ligne R elle-même coupe la droite AB entre les points A et B ou en dehors de AB, de sorte que le point w est facile à déterminer.

y SECTION. — en A P. IV.

Les deux forces F< et Fo forment un système équivalent à celui proposé; il suffit donc, en vertu du corollaire du théorème précédent, de chercher le lieu des pôles O des polygones funiculaires de ces deux forces, dont les côtés extrêmes passent par les points A et B. Or il est aisé de voir que ce lieu est la parallèle à AB menée par le point a>. Soit, en effet, O un point pris sur cette parallèle. Construisons le polygone funiculaire relalif aux deux forces F< et F2 ayant le point O pour pôle, en faisant passer le premier côté par le point A. Ce premier côté sera donc une droite A'A parallèle au rayon aO, le second côté sera une parallèle au rayon Ow, c'est-à-dire la droite AB, et le dernier côté sera une droite BB' parallèle à 06.

Les côtés extrêmes A' A et B'B passent bien par les points A

et B, et comme, en vertu du théorème II, ces deux côtés coïncident avec les côtés extrêmes de celui des polygones funiculaires des forces données qui aurait le point O pour pôle et partirait du point A, la proposition est établie. D'ailleurs, si Oco n'était pas parallèle à AB, le dernier côté ne pourrait pas passer parle point B lorsque le premier passe par le point A; la droite menée du point (0 parallèlement à AB jouit donc de la propriété demandée à l'exclusion de tous les autres points du plan.

Supposons à présent (y?^. 4 ^w) que les forces données se réduisent à un couple; ce couple se trouvera par la construction d'un polygone funiculaire quelconque des forces données. Décomposons chacune des deux forces de ce couple en deux autres de même direction qu'elle et passant aux points A et B. Nous aurons donc, au point A, deux forces dont les lignes d'action coïncident et qu'on ajoutera entre elles; de même au point B, ce qui fournira îi

POLYGONES FUMCt'LAIRES. Sq

la place du couple d'abord trouvé un nouveau couple dont les deux forces F, et F2 passent par les points A et B.

Du point a, origine du polygone des forces données (lequel est ici fermé), menons aoj égal à F| et wa égal à Fj.

Les deux forces F| et F^ représentées par ato et wa forment UD système équivalent aux forces données : il suffit donc (Th. II, Corollaire) de trouver le Heu des pôles O des polygones funiculaires relatifs à ces deux forces et dont les côtés extrêmes passent par les points donnés A et B. Or, on voit, comme dans le cas précédent, que ce lieu est une parallèle à AB menée par le point (i). Les côtés extrêmes A'A et BB' sont ici parallèles, pour les forces données comme sur celles du couple résultant par lequel on les a remplacées.

bis.

Si les côtés qui doivent passer par deux points fixes n'étaient pas les côtés extrêmes d'un polygone funiculaire, on regarderait ces côtés comme les côtés extrêmes des polygones funiculaires relatifs aux forces comprises entre eux et l'on procéderait sur la résultante partielle (ou le couple résultant) de ces forces, comme on vient de le faire sur la résultante ou le couple résultant de toutes les forces données.

Remarque. — Quand les forces données admettent une résultante R (Jig- 1, p. 58), suivant que cette résultante coupe ou non la ligne AB entre les points A et B, le point tù se trouve ou non entre les points a et 6, et toujours les segments atô et coft sont en raison inverse de ceux Al et IB quo la résullantr détermine sur AB.

Ce 2* SECTION. — CIIAP. IV.

Théorème IV. — Les côtés correspondants de deux polygones funiculaires quelconques d^un système de forces se coupent en des points placés tous sur une même droite parallèle à celle qui joint les pôles de ces deux polygones.

Considérons {fig- 14, PL 111) quatre forces, dont les lignes d'action sont les lignes munies de flèches

1, 2, 3, i, et dont les grandeurs sont représentées {fig. i4) ^^^ les côtés

du polygone des forces.

Soit Aol.2.3.4Bo un polygone funiculaire de ces forces relatif au pôle quelconque O.

Concevons qu'on trace le polygone funiculaire de ces mêmes forces relativement à un autre pôle quelconque O'.

Désignons par 1', 2', 3', i! les sommets de ce second polygone (non tracé) placés sur les lignes droites 1, 2, 3, 4. Le premier côté de ce second polygone coupe le côté correspondant du polygone relatif au pôle O en un certain point. Désignons par Aq ce point.

De même le dernier côté du second polygone coupe le côté analogue du premier polygone en un point. Désignons parB^ ce point, de sorte que le second polygone sera désigné par A0l'.2'.3'.4'Bo.

Il s'agit de démontrer :

i^Que deux autres côtés correspondants quelconques des deux polygones, par exemple 4.3 et 4'. 3', se coupent en un point C placé aussi sur la droite AoBq;

2° Que cette droite qui contient ainsi les points d'intersection de tous les côtés correspondants est parallèle à celle 00' qui joint les deux pôles.

Ce dernier point est évident, en vertu du théorème précédent.

Pour établir le premier, considérons les polygones funiculaires

Aol'.2'.3'G, Aoi.2.3C,

de pôles O et O', relatifs aux trois forces i , 2, 3.

En vertu du théorème précédent, le lieu des pôles O pour lesquels les côtés extrêmes de ces polygones passent par les points

POLYGONES FUNlCi'LAIRES. 6l

Afl el C est une droite parallèle à AqC. Donc 00' est parallèle à AçC, et, comme 00' est aussi parallèle à AqB, le point C est sur cette dernière ligne.

Des deux théorèmes précédents résultent immédiatement les deux suivants :

THéORÈME V. — Lorsque deux côtés d* un polygone funiculaire pivotent autour de deux points fixes, tous les autres côtés ph'oient autour de points fixes, tous situés sur la droite qui joint les premiers et le lieu des pôles est une parallèle à cette même droite.

Théorème VI. — Lorsque le pôle d'un polygone funiculaire décrit une droite et qu'un seul côté de ce polygone pivote autour d'un point fixe, tous les autres côtés pivotent autour de points fixes placés sur une parallèle menée, par le premier point fixe ^ à la droite que décrit le pôle.

Exemple. — Sur les fig. 17 et 17, PL IV, sont tracés les polygones funiculaires des sept forces dont les lignes d'action sont

11', 22', 33', 4i', 53', 66', 77', et les grandeurs

relativement aux pôles O et O'.

Le polygone relatif au pôle O est tracé en lignes pleines, Tautre en traits discontinus.

Les pivots des sept côtés sont

situés sur la droite ZZ| parallèle à celle 5:r< qui joint les deuxpôlc^. La figure permet aussi de vérifier que le polygone funiculaire relatif au pôle O donne, comme cela doit être, la même résultante si l'on intervertit l'ordre des forces que l'on compose; si, au lieu de suivre Tordre 1, 2, 3, 4? 5, . . . du polygone des forces, on adopte celui i , 2, 3, 5, 4) . • • •

§ 43 bis.

PROPRIÉTÉS PABTIGULIÉBE8 AUX POLTfiOHES FUinGULAIBES DES FORGES PA> BMiT.ft.Rg, — Considérons {fig* 93, PL XXI) un système de forces

()2 2* SECTION. — eu A P. IV.

parallèles dont les lignes d'action sont

1, 2, 3, 4, 5, 6, le polygone des forces ab {Jig- gS) ayant pour côtés

Pour simplifier le langage nous supposerons ces forces verticales.

Construisons un polygone funiculaire quelconque de pôle O, et coupons ses côtés extrêmes par deux verticales arbitraires, mais fixes, 77' et 88' qui rencontrent ces côtés en 7' et 8'. Menons la corde 7'. 8' et par le pôle, le rayon Oco parallèle à cette corde. Nous savons (Prob. 1, § 42) que biù=^ et a)a=8 sont les grandeurs de deux forces qui, appliquées suivant les verticales 77' et 88', feraient équilibre aux forces données.

Ces deux forces 7 et 8 sont évidemment indépendantes du polygone funiculaire qui a servi à les obtenir.

De là, résultent des propriétés très importantes, particulières aux polygones funiculaires de forces parallèles.

Théorème VII. — Si l'on construit un polygone funiculaire quelconque d'un système de forces parallèles (verticales pour fixer les idées)^ qu'on prolonge ses deux côtés jusqu'à leurs rencontres en T et 8' avec deux verticales fixes, mais choisies arbitrairement, et qu'on mène la corde 7'. 8' qui joint ces deux points, le produit du segment ab qu'une verticale quelconque détermine entre le polygone et la corde, par la distance polaire d, est le même pour tous les polygones funiculaires des forces considérées.

Considérons en effet une verticale quelconque déterminant, entre le polygone et sa corde, une ordonnée ab.

Supposons que ce soit le côté 2'.!' du polygone funiculaire qui se trouve coupé par cette verticale.

Prolongeons le côté 2M' jusqu'à son intersection en I avec la corde. D'après la propriété fondamentale des polygones funiculaires (§ 33), le point I où ce côté coupe la corde 7'. 8' appartient à la résultante R des forces situées entre les verticales 8 et ab. ici ce sont les deux forces ayant pour lignes d'action 88' et H' et pour grandeurs o>a=:8 et aC = i.

POLYGONES FLNICL'LAIRES. 63

La grandeur el la position de cette résultante sont indépendantes du polygone funiculaire choisi pour les déterminer. Un autre polygone donnerait un autre point I de la verticale R, mais la distance de ce nouveau point à la verticale ab serait toujours égale à li. Quant à la grandeur de R représentée sur le polygone des forces par la différence 8 — i = wC, elle ne dépend pas non plus du pol)gODe funiculaire employé.

Or, les deux triangles, Iba et OC eu sont semblables, puisque le côté 0(0 est parallèle à la corde 7'.8 , comme Tindlquela solution du problème I, § 42, le côté l'.2' est parallèle au rayon i.a ou OC, et les deux autres côtés sont verticaux. Par suite, les bases abelCw de ces deux triangles sont entre elles comme leurs hauteurs, d'où, en appelant la distance polaire ^,

ab U Cu) d ou

ab X <i = Gu) X II ou

z X d = Cui X liy

en désignant, comme nous le ferons habituellement, par z les ordonnées verticales telles que ab déterminées entre le périmètre d'un polygone funiculaire et une de ses cordes.

Le second membre étant indépendant du polygone funiculaire considéré, il doit en être de même du premier.

On peut encore énoncer la proposition sous la forme suivante :

Théorehe VII 6/5. — Qu'on construise deux polj' go nés funiculaires quelconques, d'un même système de forces verticales, de dislances polaires rfo ^' df qu'on trace deux verticales fixes qui coupent les deux côtés extrêmes du premier de ces polygones respectivement en A© et B© (Jig- 18 et 19, PL F), les deux côtés extrêmes du second respectivement en A.eth\ qu'on mène les cordes AqBo et AB; les ordonnées z^ et z déterminées par une troisième verticale quelconque entre chaque polygone et sa corde sont en raison inverse des distances polaires :

(a) z xd = ZoX do.

Corollaire I. — Ayant tracé un premier polygone funiculaire d^un système de forces parallèles, de distance polaire

quelconque rf,,? coupons-le par une droite entièrement arbitraire Ao Bo ijig. 18, PL V) ; puis^ à partir d'une autre droite ellemême arbitraire kR^ menons [Jig. 19) des ordonnées verticales z proportionnelles aux ordonnces correspondantes Zq du premier polygone comptées depuis ÂqBo et étant à celles-ci dans un rapport arbitrairement choisi dold; nous aurons un nouveau polygone funiculaire des forces données, de distance polaire d.

En effet, soient Ao et B^ les points d'intersection des côtés extrêmes du polygone funiculaire avec la droite AqB^ et soient A et B les points d'intersection du second polygone tracé avec la ligne AB. Par la construction môme, les points A© et A sont sur une même verticale, ainsi que les points Bq et B. Or, si l'on voulait construire un polygone funiculaire passant par les points A etB et de dislance polaire rf, il suffirait, d'après l'équation (a) ci-dessus, de prendre les ordonnées z de façon qu'elles soient à celles correspondantes Zq dans le rapport d^ \ d.

Corollaire II. — Si, en particulier, on prend les ordonnées z égales à celles 5©, le nouveau polygone funiculaire aura même distance polaire que l^ ancien.

NOMBRE DE GOHDITIONS NÉCESSAIRES POUR TRACER UN POLTfiONE FUNICU- LAIRE. — Pour définir un polygone funiculaire d'un système de forces, il suffit de connaître : i^son pôle; 2"le point de départ, c'està-dire un point par lequel doit passer le premier côté du polygone.

Pour définir un point dans un plan, il faut connaître deux lignes sur lesquelles il doit se trouver ou, ce qui revient* au même, ses deux coordonnées; cela fait deux conditions.

Assujettir un point à se trouver sur une droite donnée ou inversement assujettir une droite à passer par un point donné, c'est lui imposer une seule condition.

Ainsi, donner le pôle d'un polygone funiculaire, c'est donner deux conditions, tandis qu'assujettir son premier côté (ou généralement un de ses côtés) à passer par un point, c'est donner une seule condition. De là résulte qu'un polygone funiculaire relatif à un système de forces est entièrement défini par trois conditions.

Si on se les donne, le pôle et le point de départ sont définis (il peut y avoir plusieurs solutions, mais non une infinité). Si Ton ne s'en donne que deux, le pôle peut décrire une ligne droite ou courbe, dans le plan, et à chaque point de cette ligne répond un ou un nombre fini de polygones. Si Ton n'impose qu'une seule condition, tous les points du plan ou tout au moins des points couvrant une aire et ne formant plus une simple ligne peuvent être pris pour pôles, et à chacun d'eux répond, en général, un ou un nombre fini de polygones.

Si Ton ne donne aucune condition, non seulement tous les points du plan peuvent être pris pour pôles, mais à chacun d'eux répond une infinité de polygones, puisque le point de départ peut être pris arbitrairement.

nOBLÈHES BELATirS AU TRACÉ DBS POLTaOHES FUHIGULAIBES. —

Problème I. — Trouver te lieu des pôles^ des polygones funiculaires d'un système de forces, dont les deux côtés extrêmes sont assujettis à passer par des points donnés.

Supposons (Jig' 14, PL III) que les quatre lignes munies de flèches 1,2, 3, 4 soient les lignes d'action de quatre forces représentées sur le polygone des forces {fig- i4) par les côtés 1,2,3,4.

On demande de trouver le lieu des pôles des polygones funiculaires de ces forces dont les côtés extrêmes passent par deux points donnés A et B.

Nous savons par le théorème III du § 43 que le lieu cherché est une droite, et ce théorème combiné avec le problème III du § 42 nous indique la marche suivante :

Déterminer la résultante R des forces données, ce qui exige le tracé d'un polygone funiculaire quelconque (non assujetti aux conditions du problème actuel).

Soit 5.1 .2.3.4.5 ce polygone dont le pôle est O.

Soit 5R la ligne d'action de la résultante représentée sur le polygone des forces par la ligne ab et formée par l'intersection d(»s côtés extrêmes du polygone tracé.

Par les points donnés A et B, menons Al et Bj3 parallèles à R

ce a" Section. — chap. iv.

jusqu'à leur rencontre en a, ^ avec ces deux côtés. Par le pôle O menons une parallèle à la droite a^ qui ferme le polygone ; le poînl (0 où cette parallèle coupe aè détermine les deux forces ao) = F, et a)6 = F2 qui, appliquées en A et B, seraient équivalentes à celles données.

Donc le lieu est la parallèle à AB menée par le point o).

Si les forces se réduisaient à un couple, la marche analogue serait facile à trouver; mais nous verrons plus tard un moyen immédiat de remplacer un couple par un autre dont les forces passent par deux points donnés A et B et, cette opération faite, la démonstration du théorème TII du § 43 indique immédiatement la position de la droite qui forme le lieu cherché.

Problème II. — Trouver le lieu des pôles des polygones funiculaires d^un système de forces dont deux côtés quelconques passent par deux points donnés.

Supposons que les lignes d'action des forces données portent les numéros

et les côtés correspondants du polygone des forces, ceux

Le polygone funiculaire d'un système de n forces a /i + i côtés; supposons qu'on demande que ce soit le i''"**' et le y'""*'' qui passent chacun par un point donné. Ce sont les côtés extrêmes de la partie du polygone funiculaire qui est relative aux forces dont les lignes d'action sont

I, iH-1, ..., y — 1.

11 suffit donc de laisser de côté toutes les autres forces et de procéder, sur ces dernières, comme dans le problème précédent.

Ainsi, si, dans Texemple précédent, on demande que le premier côté passe par un point A et Tavant-dernier 3.4 par un point C, on laissera de côté la force 4. On déterminera, à l'aide d'un polygone funiculaire quelconque, la résultante des trois premières forces représentées sur le polygone des forces par ac et dont la ligne d'action passe par rinlersection des côtés 4.3 et 5.1; on pro-

cédera, sur cette résultante partielle, comme nous l'avons fait dans le problème précédent.

Ici, le point C ayant été pris sur la droite AB du problème précédent, on devra, comme vérification, trouver le même lieu, en vertu du tbéorème IV, du § 43.

Problème III. — Déterminer le polygone funiculaire d'un système de forces dont les côtés extrêmes sont assujettis à passer par deux points donnés k.^ B et le i*'"* côté par un point C.

\^ Cherchez la droite lieu des pôles des polygones dont les côtés exlrêmes sont assujettis à passer parles points AetB( Problème I).

2** Cherchez de même la droite lieu des pôles des polygones dont le premier côté est assujetti à passer par le point A et le i*'°® parle point C (Problème II).

Le point d'intersection de ces deux droites donnera le pôle du polygone cherché. Comme vérification, on pourrait chercher le lieu des pôles des polygones dont le dernier côté est assujetti à passer par le point B et le T'''™*' par le point C. On devrait trouver la même solution.

Au pôle trouvé répond un polygone unique, puisque le point de départ est donné.

Problème III bis, — Même problèmeque le précédent pour des forces para lié les .

Quand il s'agit de forces parallèles, la solution générale qui précède peut être notablement simplifiée.

Soit (Jig, 19, PL V) un système de forces parallèles dont les lignes d'action sont

représentées sur le polygone des forces {fig- i8) par les longueurs

On demande de tracer le polygone funiculaire de ces forces dont les côtés extrêmes passent par deux points A et B et dont le côté compris entre les forces 1 et 2 passe par le point G.

A cet efiel, traçons un polygone funiculaire quelconque des forces

68 a' SECTION. — CHAP. IV.

données^ celui dont le pôle arbitrairement choisi est Oq. Soit

Ao 1 0 ^0 3o 4o ^0 ^0 ce polygone.

Désignons par Âo et Bg les points où les verticales des points donnés A et B coupent ses côtés extrêmes.

Menons la verticale du point C qui coupe la droite donnée AB en c et détermine dans le polygone funiculaire de pôle Oq une ordonnée Co^'o-

Amplifions les ordonnées des sommets de ce polygone dans le rapport Ce : CoCo.

On forme ainsi un polygone Ao 1 ^ 2J, 3^ 4|, o'^ Bo ; on voit que, pour faire cette opération, il suffit de prolonger le côté 2olo du premier polygone jusqu'à sa rencontre en s avec la corde BA et de joindre 5CJ,, le point CJ, étant tel que CqC^ = cC. On obtient ainsi les sommets l'^ et 2'^; en procédant de même sur 2o3o, sî le point de rencontre n'est pas trop éloigné, on aura le sommet 3'^ et ainsi de suite.

Le nouveau polygone obtenu est encore un polygone funiculaire des forces données (§ 43 bis, corollaire II).

Portons, à partir de AB, sur les lignes d'action des forces données, des ordonnées égales à celles correspondantes de ce dernier polygone; nous formerons un polygone Al. 2. 3. 4. 5 B qui passe évidemment par les trois points A, B, C.

D'ailleurs c'est encore un polygone funiculaire des forces données (§ 13 6/5, corollaire I): donc c'est le polygone cherché.

Problème IV. — Déterminer le polygone funiculaire d\in système de forces parallèles dont les côtés extrêmes sont assujettis àpasser par deux points donnés et dont la distance polaire d soit donnée.

Traçons nn polygone funiculaire de distance polaire d et d'ailleurs arbitraire. Soit (mêmes figures que dans le problème précédent) AoIo2'„3'„4'^5'^Bo ce polygone.

Soient Ao et B© les points où les verticales des points A et B coupent ses côtés extrêmes. Menons la corde AoB© et à partir de AB portons, sur les lignes d'action des forces données, des ordon-

POLYGONES FUMCILAIRES. 69

nées égales à celles du polygone tracé, comptées depuis AoBq. On formera un polygone A 1.2.3. 4.5 B qui passe par les points A et B. r.*esl d^ailleurs un polygone funiculaire des forces données, ayant même distance polaire que celui d'où il est déduit (§ 43 bis, corollaire 1). C'est donc le polygone cherché.

Si Ton porte les mêmes ordonnées au-dessus de la ligne AB, on aura une seconde solution A l'2' 3' 4' 5' B.

Le problème comporte en effet deux solutions. Si Ton cherche les pôles O et O' relatifs à chacun des deux polygones obtenus, ils se trouveront naturellement sur une parallèle à la ligne AB en vertu du théorème V du § 43 et à égale distance d du polygone des forces.

§ 45 bis.

DES COUBBES rUHIGULAIBES (*). — Toutes les propositions établies relativement aux polygones funiculaires d'un nombre fini de forces subsistent, quelque nombreuses et voisines que soient ces forces. Elles sont donc encore vraies lorsque les forces se succèdent d'une manière continue. Les polygones funiculaires deviennent alors des courbes funiculaires et les polygones des forces deviennent des courbes des forces, sauf dans le cas de forces parallèles où les forces continuent toujours à occuper une portion de ligne droite quand elles sont portées bout à bout.

Les côtés des polygones funiculaires et des forces deviennent respectivement les tangentes aux- courbes funiculaires et des forces. Et, comme les côtés d'un polygone funiculaire sont parallèles aux rayons polaires correspondants, que d'autre part les côtés du polygone des forces sont parallèles aux lignes d'action des forces, il s'ensuit que, dans le cas de forces continues, les tangentes à une courbe funiculaire sont parallèles aux rayons polaires correspondants, les tangentes à la courbe des forces sont parallèles aux lignes d'action des forces; enfin les éléments infiniment petits pris sur la courbe des forces, lesquels tiennent lieu des côtés du polygone des forces, représentent les grandeurs des forces agissant aux points correspondants de la courbe funiculaire.

(*) Voir aussi Noies III el III bis.

70 2* SECTION. — GIIAP. IV.

Ainsi, soit (^fig* 20, PL F) AB une courbe quelconque qui soit regardée comme la courbe funiculaire, relative au pôle O (//^. 2(»), d'un système de forces dont la courbe des forces est ah. Si Ton mène un rayon polaire quelconque 0/7, puis qu'on mène une tangente à la courbe funiculaire parallèle à ce rayon, le point de contact P sera le point de la courbe funiculaire correspondant au point p ; de même, si Ton mène un rayon O^r, on obtient un point correspondant Q. En vertu de la propriété mécanique fondamentale (§ 37) des polygones funiculaires, applicable aux courbes funiculaires, le point S où se coupent les tangentes en P et Q est un point de la résultante de toutes les forces en nombre illimité agissant enlre P et Q et cette résultante elle-même est représentée par la corde pq, La résultante de toutes les forces passe par le point de rencontre des tangentes extrêmes AT et BT' parallèles aux rayons polaires extrêmes Oa et 06 et elle est représentée en grandeur, direction et sens par la droite ah qui va de l'origine à l'extrémité de la courbe des forces.

Si O/? et O/?' sont deux rayons infiniment voisins auxquels correspondent les points P et P', la résultante des forces agissant sur l'élément PP' passe par le point s où se coupent les tangentes en ses extrémités, est parallèle à l'élément correspondant /?/?' et est représentée en grandeur, direction et sens par ce dernier.

Toutes ces considérations subsistent si les forces sont parallèles, c'est-à-dire si la courbe ah est remplacée par une portion de droite a\ 6|.

Supposons qu'on circonscrive à la courbe funiculaire un polygone quelconque ATST'B dont les côtés ont pour points de contact les extrémités A et B et les points intermédiaires en nombre quelconque P, Q, .... La résultante 1 des forces agissant entre A et P passe par le point Tet est représentée sur la courbe des forces par la corde «r/? = i ; la résultante 2 de celles qui agissent entre P et Q passe par le sommet S du polygone circonscrit et est égale à /îçr = 2 ; de même, la résultante 3 de celles qui agissent entre les points de contact Q et B passe par le sommet T' et est égale à y6= 3.

Ainsi, tout polygone circonscrit à une courhe funiculaire est un polygone funiculaire d'un nombre fini de forces, ci savoir : les résultantes partielles des forces qui agissent entre

les points de contact successifs Je la courbe et du polygone. Supposons inversement que, étant données des forces se succédant d'une manière continue, on marque les lignes d^action d^un certain nombre d'entre elles, à savoir : la ligne d'action AA, parallèle à la tangente en a à la courbe de ces forces, les lignes d'action PPi, QQi, ..., BB| respectivement parallèles aux tangentes en />, y, . . . , 6 et que, par un moyen quelconque, on sache trouver les résultantes partielles 1, 2, 3, ... des forces en nombre illimité agissant respectivement entre AA| et PP< , entre PP| et QQi , ... ; ces forces sont représentées par les cordes i, !i, 3, ... constituant les côtes de leur polygone des forces. Si l'on construit le polygone funiculaire de ces forces ayant le point O pour pôle et le point A pourpoint de départ, on retrouvera le polygone ATST'B, c'està-dire un polygone circonscrit à la courbe funiculaire de pôle O, les points de contact étant sur les lignes AA|, PP|, QQi, .... Ainsi :

Théorème. — Étant données des forces se succédant d'une manière continue, si Von peut les séparer en groupes, chaque groupe étant limité par les lignes d'action de deux des forces données et, de plus, tel qu'on sache trouver la résultante des forces qui le composent, à savoir : le groupe des forces dont les lignes d'action sont comprises entre celles A^V, et PP, ayant i, \ pour résultante; le groupe des forces dont les lignes d'action sont comprises entre celles PPj et QQi ayant 2, 2 pour résultante et ainsi de suite, tout polygone funiculaire de pôle quelconque O de ces résultantes est circonscrit à la courbe funiculaire de même pôle et ayant même point de départ des forces données. De plus, les points de contact sont sur les lignes de séparation des groupes AA,, PP,, ....

Remarque L — Si les forces données sont toutes verticales, les lignes de séparation AA,, PP,, . . . des groupes doivent aussi être verticales ; les points de contact de la courbe et du polygone circonscrit seront sur ces verticales, tandis que les sommets du polygone circonscrit seront sur les verticales 1,2, 3, ... représentant les lignes d'action des résultantes partielles.

Remarque IL — Ainsi que nous l'avons dit en commençant, toutes les propriétés des polygones funiculaires appartiennent

7î a* SECTION. — CIIAP. IV. — POLYGONES FUNICULAIRES.

aussi aux courbes funiculaires. Il suffit, dans les énoncés, de remplacer les mots côtés des polygones funiculaires et des forces par les mots tangentes aux courbes funiculaires et aux courbes des forces.

Parmi ces théorèmes nous citerons celui-ci, qui est un cas particulier du précédent et qui résulte aussi du théorème II (§ 43) :

Théorème. — On ne change pas les tangentes extrêmes dUine courbe funiculaire d'un système de forces, en remplaçant ces forces par d^ autres équivalentes, quelles qu^ elles soient.

En d'autres termes, étant données des forces continues, sî Ton construit une courbe funiculaire de ces forces avec un pôle et un point de départ donnés, puis qu'on construise avec ce même pôle et ce même point de départ la courbe ou le polygone funiculaire d'un système de forces, en nombre illimité ou non, équivalentes aux forces données, les tangentes extrêmes de cette seconde courbe ou les côtés extrêmes du polygone coïncideront avec les tangentes extrêmes de la première courbe.

On voit en quoi cette proposition diffère de la précédente. Si l'on remplace {fig- 20 et 20, PL V) les forces continues données par le système équivalent formé par les forces 1, 2, 3, non seulement on ne change pas les tangentes extrêmes de la courbe funiculaire, mais on ne change pas non plus les tangentes aux points P, Q, . . . , placés sur les lignes de séparation des groupes. Mais cela tient à ce que les groupes sont séparés par des lignes d'action des forces données elles-mêmes. Si l'on prenait d'autres systèmes de forces équivalentes aux forces données, cette seconde propriété ne subsisterait pas; mais celle relative aux tangentes extrêmes subsisterait toujours. Le polygone funiculaire obtenu ne serait plus circonscrit à la courbe funiculaire; mais ses côtés extrêmes coïncideraient toujours avec les tangentes extrêmes de cette courbe.