CHAPITRE V

CONDITIONS d'équilibre DES CORPS NATURELS LIBRES OU NON. RECUERCHE GRAPHIQUE DES RÉACTIONS DES APPUIS.

COnmOHS D'taUIUBBE GOMMUHES a tous les G0BF8. — Si un corps, quel qu'il soil, solide ou non, est en équilibre ou en repos sous l'action de certaines forces, il resteraû/o/'/ibri en repos si Ton vient à en relier les divers points entre eux de façon que leurs distances mutuelles deviennent rigoureusement invariables; d^ou résulte que les conditions nécessaires et suffisantes à l'équilibre de forces agissant sur des systèmes invariables restent nécessaires lorsque ces mêmes forces viennent à agir sur un corps quelconque.

Ainsi, />o«r qu^un corps, quel qu'il soit, soit en équilibre sous l'action de forces toutes situées dans un plan, il est nécessaire que le polygone de ces forces soit fermé, ainsi quUin de leurs polygones funiculaires choisi arbitrairement.

On peut encore énoncer cette proposition autrement : pour que des forces agissant sur un corps quelconque soient en équilibre, il est nécessaire qu^ elles soient deux à deux égales, dirigées suivant les mêmes lignes, et de sens opposés^ ou équivalentes (§20) à de telles forces.

Nous établirons ici cette proposition pour le cas qui nous occupera plus spécialement, de forces toutes situées dans un plan. La démonstration, dans le cas le plus général, s'en déduirait aisément.

Nous savons (§ 3i) que des forces situées dans un plan et agissant sur un corps quelconque peuvent toujours être remplacées : i° par des forces deux à deux égales, dirigées suivant les mêmes droites, et de sens opposés; a"* par deux forces dirigées suivant les côtés extrêmes d'un de leurs polygones funiculaires.

7i '2* SECTION. — cil A p. V.

Pour que le polygone des forces et le polygone funiculaire se ferment, il faut que ces dernières soient elles-mêmes égales, dirigées suivant la même ligne et de sens opposés.

GOHDITIONS D'ÉaUILIBBE DES SOLIDES ÉLASTiaUES UBBES. — La forme naturelle d'un solide élastique est celle qu'il affecte lorsqu'aucune force, pas même celle de la pesanteur, n'agit sur lui et lorsque, de plus, tous ses points se trouvent à une même température convenue.

Si des forces, quelles qu'elles soient, viennent à être appliquées à un tel corps supposé en repos, les points d'application de ces forces et, par suite, tous les points du corps se déplacent, et le corps se déforme; mais il peut se faire qu'après avoir subi une déformation plus ou moins grande il revienne au repos et y persiste tant que durera l'action des forces. On dit alors (§18) que celles-ci sont en équilibre.

Pour que des forces puissent être en équilibre sur un corps quelconque, solide ou non, il est nécessaire, ainsi que nous venons de l'établir, qu'elles soient deux à deux égales, dirigées suivant les mêmes lignes et de sens contraires.

Mais je dis que, quand il s'agit d'un corps solide, quel que soit son degré d'élasticité, cette condition est non seulement nécessaire, mais suffisante, pourvu : i ** que les forces agissantes ne soient pas assez grandes pour briser le corps; 2" qu^ elles ne soient pas appliquées brusquement.

L'expérience prouve, en effet, que si, en deux points A et B d'un corps solide naturel, on applique deux forces égales, dirigées suivant la ligne AB et de sens contraires, le corps se déforme, la ligne AB se déplace et change de grandeur; mais si, pendant son déplacement, les forces restent constamment dirigées suivant cette ligne mobile, si de plus elles ne sont pas appliquées brusquement, mais qu'elles soient très lentement croissantes à partir de zéro jusqu'à la valeur qu'on veut leur assigner, alors, à chacune de leurs valeurs et, en particulier, à leurs valeurs définitives, répondra une forme d'équilibre.

Il en est de même si, au lieu d'une paire de telles forces, on en

CONDITIONS d'Équilibre des coups. 75

applique un nombre quelconque, pourvu qu'elles satisfassent à la condition que nous venons d'indiquer.

Ainsi, supposant (sauf à revenir plus loin sur cette question capitale) que les forces sont dans les limites voulues pour ne pas rompre le corps et qu'elles ne sont pas appliquées brusquement (*), la condition d'être deux à deux égales, dirigées suivant les mêmes lignes et de sens opposés, est ici non seulement nécessaire, mais aussi suffisante.

D'ailleurs, si les forces sont dans un même plan, nous savons qu'il faut et qu'il suffit, pour qu'elle soit remplie, que le polygone des forces et un de leurs polygones funiculaires se ferment.

iMais il ne faut pas perdre de vue que ce n'est pas sur le corps pris dans son état naturel, mais sur le corps supposé arrivé à son étal définitif de repos qu'elle doit être vérifiée; par conséquent, pour pouvoir faire cette vérification en toute rigueur, il faudrait commencer par résoudre ce problème, un des plus ardus de la Physique mathématique :

Quels sont les déplacements que des forces données font éprouver aux divers points d'un corps élastique donné?

Lorsque les déplacements sont considérables, comme il arrive dans les corps formés de caoutchouc et, plus pratiquement, dans les ressorts, il faut, en effet, les déterminer et le problème de Statique se trouve indissolublement lie à celiil que soulève la théorie mathématique de l'élasticité ou, à un point de vue moins rigoureux, mais plus pratique, celle de la Résistance des matériaux. Mais, pour les corps employés dans les constructions, la forme définitive différant très peu de la forme naturelle seule connue d'avance, on se contente de faire la vérification sur cette dernière forme et alors elle ne souffre aucune difficulté et se fait toujours par les seules règles développées au Chapitre précédent.

COlDinONS D'ÉamUBBE DES SOUDES ÉLASTIttUES HOH UBBES. BÉAGTIONS

(') Si elles sont appliquées brusquement, elles font naître des mouvements vibratoires qui, théoriquement, peuvent se prolonger indéfiniment, mais qui pratiquement sont rapidement éteints par les résistances extérieures.

76 a* SECTION. — CIIAP. V.

DES APPUIS. — Lorsque des obstacles matériels empêchent un corps de se mouvoir avec une égale facilité dans toutes les directions, on dit qu'il n'est pas libre.

La présence d'un obstacle matériel équivaut toujours à une ou plusieurs forces appliquées au corps.

Ainsi, si un corps repose sur un plan par un point, il exerce sur le plan une certaine pression et subit de son côté (§ 22) une contrepression égale et de sens opposé qu'on nomme la réaction de l'appui.

Les obstacles matériels, quels qu'ils soient, n'agissant sur un corps que par les contrepressions ou réactions qu'ils exercent sur lui, on peut toujours les concevoir supprimés, à la condition d'appliquer au corps des forces exactement égales à celles que ces obstacles feraient naître. Ainsi, un corps non libre peut toujours être traité comme s'il était libre, pourvu qu'aux forces qui lui sont appliquées on en adjoigne d'autres égales aux réactions des appuis.

Les premières, qui sont les données du problème, se nomment les forces directement appliquées.

Les dernières, au contraire, ne sont pas connues apriori; ce sont des inconnues auxiliaires qu'on introduit dans les problèmes. Mais leur détermination offre un grand intérêt, surtout dans l'art de l'ingénieur, puisque, au sens près, elles représentent les pressions exercées par le corps sur ses appuis et il est nécessaire de connaître ces pressions, afin de donner aux appuis la solidité nécessaire pour y résister et au corps lui-même les dimensions nécessaires pour qu'il puisse supporter les contrepressions qu'il éprouve de la part des appuis.

Il résulte de là que le problème de la statique de corps non libres comporte deux questions très distinctes :

1° La recherche des conditions d'équilibre, c'est-à-dire les relations qui doivent exister entre les forces directement appliquées^ qui sont les données du problème pour que l'équilibre du corps soit assuré ;

2® Ces conditions étant supposées remplies, la détermination des réactions des appuis.