CONDITIONS D EQUILIBRE DES CORPS

FORGES EXTâUEUBES, IHTtiBŒÏÏBES; BÉSISTAHGE D'UN G0BF8. — Les actions qu'un corps éprouve de la part d'autres corps se nomment des forces extérieures ; celles que les diverses parties du corps exercent les unes sur les autres se nomment les forces intérieures.

Les forces directement appliquées à un corps, ainsi que les réactions des corps avec lesquels il est en contact forment l'ensemble des forces extérieures. Les' forces extérieures font naître en chaque point pris à l'intérieur du corps des forces élastiques (§ 23), pressions ou tensions qui forment l'ensemble des forces intérieures.

Ces forces, il est également nécessaire de les déterminer.

Quand elles sont connues, comme on sait expérimentalement la pression ou la tension maxima par unité de surface à laquelle chaque matière peut pratiquement résister {voir à ce sujet Note I), on saura si le corps donné pourra ou non résister aux forces qu'il aura à supporter. C'est donc là un troisième problème qui se pose à la suite de ceux énoncés au paragraphe précédent ou concurremment avec eux.

DISTIHGTION fttlÉRALE EHTBE LES PROBLÈMES OUI DÉFERRENT UNIOÏÏE- MENT DE LA STATIOUE ET CEUX OUI DÉPENDENT, EN PARTIE, DE L'ÉLASTICITÉ.

— Sur les trois problèmes qui viennent d'être posés, à savoir :

I* Recherche des conditions d'équilibre, 2'* Détermination des réactions des appuis, 3 • Détermination des forces intérieures,

le premier peut toujours ( grâce à l'approximation admise au § 47) être résolu par les seules règles de la Statique; le troisième ne le peut jamais (*); le deuxième, quelquefois.

En effet, quels que soient les obstacles matériels qui s'opposent au mouvement d'un corps, celui-ci ayant été rendu libre par l'adjonction des réactions des appuis, pour qu'il y ait équilibre, il faut

(*) Sauf dans le cas idéal de simples lignes ou surfaces matérielles, supposées parfattemenl flexibles.

jS 2* SECTION. — ClIAP. V.

et il suffit (§ 47) que le polygone de toutes les forces (y compris les réactions des appuis) qui le sollicitent se ferme, ainsi qu'un de leurs polygones funiculaires. Ces conditions faciles à vérifier résolvent ainsi toujours le problème i".

La nécessité de satisfaire à ces conditions, dans lesquelles interviennent à la fois les forces données (directement appliquées) el les réactions inconnues, permet toujours de déterminer tout ou partie de ces dernières. Lorsqu'elle les détermine entièrement, le problème 2" ne dépend que de la Statique.

Mais on conçoit qu'en général cela ne doive pas arriver. Supposons, par exemple, une règle en métal de faibles dimensions transversales posée sur un plan horizontal, ses deux extrémités venant toucher, mais sans les presser, deux plans verticaux parfaitement fixes.

Admettons qu'on chauffe la règle ; elle tendra à se dilater, et, comme les parois verticales s'y opposeront, la règle exercera sur elles des pressions très rapidement croissantes et en éprouvera des réactions égales et opposées.

La Statique fournit immédiatement la condition d'équilibre de la règle; elle nous enseigne, en eflTet, que, les réactions produites par les deux parois étant les seules forces agissantes, elles doivent être égales, dirigées l'une et l'autre suivant l'axe de la règle el de sens opposés; mais, quelle que soit leur grandeur commune, l'équilibre se trouvera ainsi assuré, et par conséquent la Statique ne pourra rien nous apprendre sur cette grandeur. C'est qu'en effet elle dépend essentiellement du degré de dilatabilité de la règle par la chaleur et de sa nature élastique, de sorte que, dans cet exemple pourtant bien simple, la théorie de la chaleur combinée avec celle de l'élasticité est nécessaire pour déterminer l'intensité commune des deux forces inconnues.

Mais il n'en sera pas toujours ainsi ; il est des cas où la Statique des systèmes invariables suffit pour fournir les réactions; ces cas, on peut les spécifier en quelque sorte a priori par la considération suivante : les conditions d'équilibre des systèmes invariables, suffisantes aussi, comme nous l'avons établi, pour les solides naturels, n'exignnl que des opérations purement graphiques, relatives au polygone des forces et à leurs polygones funiculaires.

Si ce sont les méthodes analytiques qu'on préfère employer, ce seront, comme nous le verrons, des opérations tout à fait équiva-

CONDITIONS d'Équilibre des corps. 79

lentes sur les projections et les moments des forces qu'on aura à faire. Dans l'un et l'autre cas, ces opérations ont ce caractère remarquable d'être absolument indépendantes de la /orme des corps; donc, ne pourront être fournies par la Statique pure que les réactions d^appuis tels, qu'ils n'influent en rien sur cette forme, c'est-à-dire d'appuis n^ empêchant pas la libre déformation des corps, qu'elle résulte soit de l'élasticité^ soit de la dilatation par la chaleur ou de toute autre cause physique. Dès que les appuis sont assez nombreux pour entraver cette libre déformation, la détermination des réactions qu'ils fjnt naître doit être forcément du ressort de l'élasticité et de celle de la chaleur (si la température intervient).

Ce principe se vérifiera en toutes circonstances, sans aucune exception, dans les problèmes les plus simples, comme les plus complexes; c'est pourquoi il était bon de l'énoncer dès à présent sous sa forme la plus générale; il peut servir de guide et de raoven de prévision dans toutes les questio \s et permet de marquer à l'avance, le degré de difficulté de chacune d'elles.

Au point de vue purement pratique, il permet de faire immédiatement ressortir un des nombreux avantages que présentent les constructions tellement disposées que la Statique seule permette de déterminer les forces inconnues qui s'v développent : en eflet, les corps qui y entrent pouvant librement se dilater ou se contracter sans éprouver de contrainte de la part de leurs appuis, réciproquement ils ne tendront pas à renverser ces appuis, quelque grandes et quelque inégales que soient les variations de température qu'ils subiront dans leur ensemble ou dans certaines de leurs parties. Nous leur reconnaîtrons, par la suite, bien d'autres avantages.

BtnnnoN des gobfs gohsidébés dahs ce ghapitbe et les suiTAns. —

Nous ne considérerons dans ce qui va suivre que des corps soumis à des forces toutes situées dans un même plan et symétriques par rapport à ce plan, de sorte que la figure déterminée parleur intersection avec le plan n'ait aucune tendance à en sortir.

Lorsque nous parlerons d'un point du corps, il sera sous-entendu qu'il s'agira d'un point de cette figure plane, la seule, comme nous

8ô 2* SECTION. — CHAP. V.

le verrons et comme il est aisé de le concevoir, qu'il soit nécessaire d'envisager, tant qu'on ne s'occupe pas des déformations élastiques ou calorifiques du corps.

GOHDITION ftRAPHiaUE D'ÉaUOJBBE D'UN GOBFS ASSUJETTI A TOUBIER AUTOUR D'UH POINT PUE. — Théorème. — Pour qu^un corps solide assujetti à tourner autour dUin point fixe soit en équilibre, il faut et il suffit que la résultante des forces qui le sollicitent passe par le point fixe.

Cette résultante représente alors, en grandeur, direction et sens, la pression que le corps exerce sur son appui.

Un point fixe est un point tel que, si Ton vient à y appliquer une force R, quelle qu'elle soit, le point oppose une résistance ou réaction R' exactement égale et contraire à R, en sorte qu'il reste au repos exactement dans les mêmes conditions que si, libre, il était soumis aux deux forces égales et opposées R et R'. Et ceci est censé avoir lieu, quels que soient les grandeur, direction et sens de la force R.

Donc, pour rendre libre un corps qui a un point fixe, il suffit d'adjoindre aux forces qui lui sont directement appliquées une force R' représentant la réaction, quelle qu'elle soit, du point.

Relativement à cette réaction, on n'en sait, a priori, qu'une seule chose, c'est qu'elle passe par le point fixe.

Le corps devant être en équilibre sous l'action : i** des forces directement appliquées; 2" de la réaction du point fixe, cette dernière force doit (§ 2i ) être égale et opposée à la résultante R des premières. Donc il est nécessaire que cette résultante R passe elle-même par le point fixe.

Cette condition est d'ailleurs suffisante; car, si elle est remplie, le point fixe opposera à la résultante R une réaction R' égale et contraire, ainsi qu'il résulte de la définition même de la fixité d'un point.

Il ressort aussi de là que la résultante R des forces directement appliquées représente la pression exercée sur le point fixe, puisqu'elle est égale et contraire à la réaction R' que ce point exerce sur le corps.

CONDITIONS d'Équilibre des corps. 8i

Vénfication graphique. — La condition qui précède est facile à vérifier graphiquement lorsque toutes les forces données sont dans un même plan. Il suffit de tracer un polygone funiculaire de ces forces relatif à un pôle quelconque, en en faisant passer le premier côté par le point fixe, le dernier côté devra y passer également, puisque Tintersectiou de ces deux côtés doit donner un point de la résultante ('). Ainsi :

Pour qu'un système invariable mobile autour d'un point fixe et soumis à des forces distribuées d'une manière quelconque dans un plan soit en équilibre, il faut et il suffit que, si le premier côté d'un polygone funiculaire quelconque de ces forces passe par le point fixe, le dernier côté y passe également.

Si cette condition est remplie, la pression sur le point fixe est égale à la résultante des forces données, c'est-à-dire à leur somme géométrique que le polygone des forces fournit immédiatement.

Remarque, — Pour que les raisonnements qui précèdent soient applicables, il n\;st pas nécessaire que le point fixe ofi're, comme nous Pavons supposé, une résistance illimitée : il suffit qu'il puisse résister à la pression R qu'il a à subir.

ÉaUILIBBE D'UN CORPS S'APPUTAn PAR UN POINT SUR UNE UftNE rnOï. — Théorème. — Pour qu'un corps reposant, par un point, sur une ligne fixe, sans frottement, soit en équilibre, il faut et il

(') Si ce point d'intersection ne coïncidait pas avec le point fixe, le premier côté du polygone funiculaire comprendrait deux points de la résultante, à savoir : le point d'intersection et le point fixe. Il serait donc la résultante elle-même; cela est évidemment impossible si le pôle est pris en dehors de la droite ab qui va de Torigine à l'extrémité du polygone des forces. S'il est pris sur cette droite, les deux côtés extrêmes sont coïncidants ou parallèles : dans le premier cas, la proposition est satisfaite; le second ne peut pas se produire; car la résultante de deux forces parallèles ne rencontre aucune d'elles. Or elle doit rencontrer le premier côté parce qu'elle doit passer par le point fixe et que ce premier côté passe lui-même par ce point.

8a a* SECTION. — chap. v.

sujjit que la résultante des forces qui lui sont directement appliquées : I® passe par ce point, 2® soit normale à la ligne ^ 3° tende à appuyer le corps sur cette ligne et non à l'en détacher. Si ces conditions sont remplies, la résultante des forces données représente la pression exercée sur V appui fixe.

Une courbe matérielle fixe supposée parfaitement lisse (nous la supposons telle, ce qu'on exprime en disant qu'on fait abstraction du frottement) est une ligne tellement constituée qu'elle ne fasse pas obstacle à ce qu'un corps glisse sur elle, mais seulement à ce qu'il la traverse.

Supposons ijig' 27, PL VII) un corps appuyé sur la ligne fixe xy par un point A. Si la résultante R des forces sollicitant le corps satisfait aux trois conditions énoncées dans le théorème cidessus, la courbé fera naître une réaction R' exactement égale et contraire à R, et le corps restera en repos. Ces conditions sont donc suffisantes.

Elles sont aussi nécessaires. Pour le montrer, observons d'abord que si, à la force R, on en ajoutait une autre dirigée suivant la tangente à la courbe, celle-ci, étant supposée parfaitement lisse, ne s'opposerait pas au i^ouvement que celte nouvelle force tendrait à faire naître. C'est ce qu'on exprime en disant que la réaction R', qu'une ligne fixe (abstraction faite du frottement) produit sur un corps qui s'y appuie, ne peut être que normale à cette courbe.

Ceci étant, le corps considéré comme libre est en équilibre sous l'influence des forces qui lui sont directement appliquées et de la réaction R' de la courbe. Il faut, pour cela (§ 21), que les premières admettent une résultante R égale et opposée à R' et, comme cette dernière ne peut être que normale à la courbe, il en est de même de la première. Cette force R doit d'ailleurs tendre à appuyer le corps sur la courbe et non à l'en détacher. Ces conditions sont donc aussi nécessaires.

Si elles sont remplies, la force R mesure la pression exercée sur la courbe.

Vérification graphique. — On vérifie immédiatement, sur le polygone des forces, si la résultante des forces données est parallèle à la normale à la courbe au point de contact A, et si elle a un sens tel qu'elle tende à appuyer le corps sur la courbe.

CONDITIONS d'Équilibre des corps. 83

II faut ensuite que cette résultante passe par le point A, ce qui exige, comme au paragraphe précédent, que si le premier côté d^uQ polygone funiculaire quelconque des forces données passe en ce point, le dernier y passe également.

ÉaUIUBBE D'm CORPS BEPOSAHT PAB DEUX DE SES PeiHTS SUB DES U6HE8 nXBS; PBESSIOH SUR CES U6NE8. — Soit {fi g. 30, PI. VI H) un corps reposant par deux de ses points A et B sur deux lignes fixes; il pourra être considéré comme libre, pourvu qu'aux forces qui le sollicitent on adjoigne les réactions des appuis, c'est-à-dire (§ 33) deux forces inconnues dirigées suivant les normales AN et BN' aux courbes.

1° Si les deux normales se rencontrent, les deux réactions, quelles qu'elles soient, dirigées suivant ces lignes, admettent une résultante R' passant par leur point d'intersection O. De plus, ces réactions étant nécessairement dirigées dans -les sens AN et BN', leur résultante tombe dans l'angle opposé par le sommet à celui AOB.

Le corps devant être en équilibre sous l'action de celte résultante et des forces directement appliquées, ïl/aut que ces dernières admettent elles-mêmes une résultante R égale et opposée à R', c'est-à-dire passant par le point O et tombant dans l'angle AOB. Celte condition est d'ailleurs suffisante; car, si l'on décompose la force R, supposée passant en O et comprise dans l'angle AOB, en deux autres suivant AN et BN', les courbes fixes résisteront à ces deux forces qui représenteront les pressions exercées sur elles, de sorte que ces pressions et, par suite, les réactions des appuis sont bien déterminées.

2° Si les lignes AN et BN' sont parallèles, les deux réactions N et N', étant parallèles et de même sens, admettent une résultante R', de même direction et de même sens qu'elles et tombant entre les points de contact A et B. Donc les forces directement appliquées doivent admettre une résultante R parallèle aux deux lignes AN et BN', tombant (§ 42) entre ces deux lignes et tendant à appuyer le corps sur ces lignes.

Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes : car, dès qu'elles sont

84 a* SECTION. — CHAP. V.

remplies, en quelque point que tombe la résullante R entre les points A et B, on peut trouver deux forces toutes deux parallèles à R, passant par les deux points  et B et la maintenant en équilibre. Ce seront les réactions des appuis qui se trouvent ainsi déterminées.

Vérification graphique. -- Au point de vue graphique, dans le cas a**, on voit, sur le polygone des forces, si la résultante a la direction et le sens voulus ; en la construisant à l'aide d'un polygone funiculaire, on verra si elle tombe ou non entre les points A et B. Si elle y tombe, la détermination des réactions est ramenée au problème VIII résolu au § 42.

Dans le cas i°, on voit d'abord, sur le polygone des forces, si la résultante transportée parallèlement à elle-même tombe dans l'angle AOB. Mais il faut qu'elle passe effectivement au point O : c'est ce qu'on vérifiera comme il est dit au § 52.

Remarque. — La condition principale que doit remplir la résultante est de passer par le point O. Cette condition est la même que si le corps, au lieu d'être assujetti à s'appuyer sur les deux courbes fixes en A et B, était assujetti à tourner autour du point O; dans une rotation infiniment petite autour de O il glisserait en effet sur les deux courbes, les points A et B décrivant des arcs de cercle Aa et Bè tangents à ces courbes. On s'explique bien par là pourquoi la condition pour qu'il soit en équilibre, c'està-dire pour qu'il ne puisse pas glisser, même infiniment peu, sur lel5 courbes, se trouve être la même que celle nécessaire pour qu'il ne puisse pas tourner infiniment peu autour du point O.

ÉaunJBBE D'UN CORPS ATAHT UN POINT FIXE ET S'APPUTANT PAB UN AUTBE POINT SUR UNE UGNE FIXE. CAS D'OrDÉTERKEVATION DES RÉACTIONS DES APPUIS. — Lorsqu'un corps est assujetti à tourner {fig* 35, PL IX) autour d'un point fixe G, c'est-à-dire autour d'un axe fixe perpendiculaire au plan de la figure et projeté en G et que, de plus, il doive s'appuyer sur une courbe fixe xy^ ces conditions suffisent, en général, pour déterminer entièrement sa position, c'est-à-dire pour assurer son immobilité, quelles que soient les forces qui le

co?;ditions d'équilibre des corps. 85

sollicitent, pourvu qu'elles tendent à Tappuyer sur la courbe et non à l'en éloigner.

Nous devons donc nous attendre (§ oO) à n'avoir en général pas d'autre condition d'équilibre entre les forces directement appliquées que celle que nous venons d'indiquer.

D'ailleurs, les sujétions auxquelles le corps est soumis, tout en déterminant sa position, ne l'assujettissent pas à une forme déterminée ou n'entravent pas sa libre déformation. Nous devons, par suite, nous attendre à ce que la Statique suffise encore ici, comme dans les exemples précédents, à la détermination des réactions des appuis.

Ily a toutefois un cas d'exception. Supposons que le corps soit assujetti à tourner autour du point fixe C et à s'appuyer non plus sur une courbe xy choisie arbitrairement, mais sur un arc de cercle matériel od y décrit du point fixe C comme centre. Appelons .V le point de contact considéré comme appartenant à la courbe fixe et a ce même point considéré comme appartenant au corps C.

Cette fois, les conditions imposées, quoique en même nombre que dans le cas général, ne déterminent plus la position du corps ; celui-ci pourra librement tourner autour du point G, comme si la condition de s'appuyer sur la courbe a^ y n'existait pas. Cela tient à ce que le point a, par cela même que le point C est fixe, décrit de lui-même Tare de cercle od y : la condition qu'on lui impose de le décrire est donc une condition géométriquement superflue ou surabondante.

Ainsi, la fixité du corps n'est pas assurée et tout se passe comme s'il n'y avait d'autre condition que la fixité d'un seul point C; nous devons donc nous attendre cette fois à trouver les mêmes conditions d'équilibre entre les forces, que dans le cas où le corps n'avait que cette condition à remplir. Mais, si la sujétion pour le point a de décrire l'arc de cercle x'y constitue une condition géométriquement superflue, la présence matérielle de cette courbe, par cela même qu'elle est inutile, empêchera la libre dilatation du corps suivant la direction CA'. Donc nous devons nous attendre, d'après la règle du § 50, à ce que la Statique ne suffise plus à déterminer les réactions des appuis, la réaction en A' dépendant essentiellement du coeiïicient de dilatation du corps, soit parla chaleur, soit par le fait de l'élasticité. Ainsi, en résumé, d'après le principe

86 a*» SECTION. — CHAP. V.

général énoncé au § 50, on peut prévoir qu'on doit arriver aux résultats suivants : i** dans le cas général, pas de condition d'équilibre entre les forces (sauf celle évidente qu'elles tendent à appuyer le corps sur la courbe fixe et non à l'en éloigner); de plus, possibilité de déterminer les réactions des appuis à l'aide de la Statique seule; 2° dans le cas exceptionnel où la normale au point d'appui passe par le point fixe, condition, pour la résultante des forces, de passer par ce point, comme si la courbe fixe n'existait pas, et, en outre, impossibilité de déterminer, par la Statique, les réactions des appuis.

Ces prévisions se vérifient de tous points.

Considérons d'abord le cas général où le point de contact avec la courbe xy est un point quelconque A et supposons, en premier lieu, que les forces qui sollicitent le corps admettent une résultante R.

Soit I son point d'intersection avec la normale AN à la courbe d'appui. On peut toujours décomposer cette force en deux : l'une dirigée suivant IC, l'autre suivant lA; la première donnera la pression sur le point fixe C, la seconde celle sur la courbe; cette dernière, pour l'équilibre, devra être dirigée de I vers A, ce qui exige que R soit dans l'angle CIA.

Si les forces agissantes se réduisaient à un couple, on procéderait de même pour chacune des deux forces du couple et l'on aurait encore les réactions des appuis.

Il n'en est plus de même si le point d'appui, au lieu d'être en A, est en A', de telle façon que la normale A'N' à la courbe d'appui x^y passe par le point fixe. Alors, F étant le point d'intersection de cette normale avec la force R, il est, en général, impossible de décomposer cette force suivant F G et FA', ces deux lignes coïncidant; cela n'est possible. que si la force R passe par le point C. Cette condition doit donc être remplie et, si elle l'est, on pourra décomposer cette force en deux autres, l'une suivant CA', l'autre suivant une autre ligne CZ de direction arbitraire, passant au point C. L'équilibre sera assuré, quelle que soit la direction choisie. La composante suivant CA' sera la pression exercée sur x'y en A' et la composante suivant CZ, la pression exercée sur le point fixe. On voit donc que l'une des deux forces peut être choisie arbitrairement, et alors l'autre s'ensuit. On peut supposer que,

CONDITIONS d'Équilibre des corps. 87

sur ar'y, il ne s'exerce aucune pression et que la pression tout entière soit supportée par le point iixe, ou qu'une partie quelconque de la pression soit supportée par la courbe cx^y •

La Statique devait laisser indéterminée la réaction de la courbe, parce qu'elle Test eflectivement.

Supposons, en effet, qu'actuellement elle soit nulle; si la température du corps vient à s'accroître, la ligne Ca n'étant pas libre de s'allonger exerce une pression sur la courbe ; si la température s'abaisse à nouveau, cette pression diminue et peut s'annuler.

Ainsi, supposons qu'avant d'amener la ligne Ca en place, lorsque le corps avait sa forme naturelle, cette ligne ait eu une longueur légèrement supérieure à celle qu'elle a sur la figure, c'est-à-dire dans sa position définitive. Il aura alors fallu, pour amener le corps en position, le/orcer, exercer un effort assez grand pour le comprimer, afin de réduire la longueur première de Ca à celle CA'. Suivant la différence entre la longueur naturelle de Ca et sa longueur finale CA', l'effort de mise en place aura été plus ou moins grand et la réaction de x!y sera elle-même plus ou moins grande. On voit donc que cette réaction dépend de données absolument étrangères à la Statique et que les théories de la chaleur et de l'élasticité peuvent seules mettre en œuvre. Tant qu'on ne fixe pas ces données, tant qu'on ne précise pas et la température du corps et les conditions dans lesquelles a été effectuée sa pose, les réactions sont réellement indéterminées.

Le fait que la Statique ne peut pas toujours déterminer les réactions des appuis n'est donc pas un paradoxe, comme on le pensait encore dans le premier quart de ce siècle. S'il y a paradoxe, il réside plutôt dans le fait contraire, dans le fait que la Statique puisse parfois fournir les réactions, c'est-à-dire qu'on puisse parfois les trouver sans connaître ni la forme du corps qui les subit, ni sa nature, ni sa température.

Mais les observations du § 50 expliquent cette circonstance et montrent en même temps qu'elle ne peut avoir qu'un caractère exceptionnel.

TiBinCATIOH ftRAFHIflLinB. — Revenons maintenant au cas général où il n y a pas indétermination, et voyons comment, étant données les forces directement appliquées, quel qu'en soit le nombre, nous pourrons en déduire les réactions des appuis.

88 a* SECTION. — CHAP. V.

Soient (fig. 32, PL VIII) 1, â, 3, 4 les lignes d'action des forces appliquées à un corps, ces forces étant représentées par les côtés 1, 2, 3, 4 du polygone des forces {fig- 32).

Adjoignons à ces forces la réaction de la surface xy suivant AN. Nous désignerons par 5 sa grandeur inconnue et par 5 sa ligne d'action AN. Grâce à l'adjonction de cette force, la surface peut être supprimée et le corps considéré comme uniquement assujetti à tourner autour du point fixe G. Or nous savons (§S2) que, pour qu'un tel corps soit en équilibre, il faut et il suffit que, si l'on construit un polygone funiculaire des forces qui le sollicitent (y compris ici celle 5, 5 ) dont le premier côté passe par le point G, le dernier devra y passer également. Prenons un pôle G; nous pouvons, du polygone funiculaire cherché, en partant du point G, construire les côtés Ç.l, 1.2, 2.3, 3.4, 4.5, respectivement parallèles aux rayons aboutissant aux points connus a, 1.2, 2.3, 3.4, 4»5, ou 6. Le dernier côté du polygone funiculaire devant passer par le point G se trouve donc déterminé; c'est la ligne 5G. Le rayon polaire correspondant Oz fournit par son intersection z avec une ligne bn parallèle à la ligne d'action 5, c'est-à-dire à la normale à la surface, la ligne bz = 5, qui représente la réaction de la surface. Si, à présent, on veut trouver la réaction du point fixe que nous désignons par 6, 6, comme celte force doit équilibrer cinq forces connues, ce sera la droite za qui ferme le polygone de ces forces.

ÉaUIUBBE D'UI CORPS BEPOSART PAB TROIS POINTS SUR DES LlftBBS FIXES; CAS D'EXGEPTIOH. — Gonsidérons à présent un corps reposant par trois de ses points sur des lignes fixes ; soient AN, BN', GN" les normales à ces lignes {fig. 30, PL VIII),

Nous pouvons supprimer la ligne G à la condition d'appliquer au corps, outre les forces qui agissent directement sur lui, une réaction dirigée suivant la normale GN'.

Le corps ne sera plus assujetti alors qu'à s'appuyer sur les deux lignes A et B; mais cela revient à dire (§ 54, Rem,) qu'il est assujetti à tourner autour du point d'intersection O des normales à ces lignes, comme si ce point était fixe; donc, en rétablissant la surface G, on se trouve, dans le cas du paragraphe précédent, d'un

CONDITIONS d'Équilibre des corps. 8g

corps assujetti à tourner autour d'un point fixe O et à s'appuyer sur une ligne fixe C.

Parla construction du paragraphe précédent on obtiendra la pression sur la ligne G et la réaction sur le point O; celle-ci devra être décomposée suivant OA et OB; les composantes ainsi obtenues fourniront les pressions sur les lignes A et B. Ces forces doivent tendre à presser le corps sur ses appuis.

Si les normales aux trois courbes aux points d'appui du corps concourent en un même point, on se trouvera, et pour des raisons analogues, dans le cas d'exception discuté au paragraphe précédent. Ainsi, l'équilibre est assuré, quelles que soient les forces agissantes (à la condition qu'elles feront porter le corps sur ses appuis), et les réactions des appuis sont déterminées, sauf quand les normales aux courbes aux trois points d'appuis sont concourantes ; alors les forces agissantes doivent admettre une résultante passant au point de concours et les réactions des appuis ne peuvent être déterminées par la Statique.

Dans le problème actuel il peut arriver que deux des normales soient parallèles; alors le cas d'exception se présentera, si la troisième normale est parallèle aux deux premières. Les forces doivent, dans ce cas, satisfaire à la condition d'admettre une résultante parallèle à cette même direction et tombant (§S4) entre les appuis extrêmes. La répartition des réactions sur les trois supports est indéterminée. On peut prendre l'une des réactions arbitraires (pourvu qu'elle soit moindre que la résultante des forces données) et déterminer les deux autres de façon à faire équilibre à cette résultante et à la réaction choisie.

Ce cas est, par exemple, celui d'une poutre droite reposant sur trois appuis de niveau. La poutre ne peut, par suite do ces sujétions, prendre qu'un seul mouvement, à savoir : un glissement suivant l'horizontale des appuis ; mais deux appuis suffisent à lui imposer cette obligation; donc le troisième est géométriquement superflu et matériellement il entrave la libre déformation de la pièce, puisqu'il oblige trois de ses points à rester toujours en ligne droite. Il est donc bien conforme à la règle du § 50 que la Statique laisse, dans ce cas, les réactions des appuis indéterminées.

go 2' SECTION. — CHAP. V.

DÉGOMPOSmOH GRAPmailE D'UN STSTËME DE FORGES SUIYAUT TROIS U6HES aUELCOHailES SITUEES DANS LE FLAH DE CES FORCES; CAS D'EXGEF- TIOH. — Les problèmes de recherche des réactions qui font l'objet des deux paragraphes précédents équivalent à celui-ci, qu'il est utile de traiter directement à cause des nombreuses applications dont il est susceptible : Trouver trois forces ayant des lignes d* action données et faisant équilibre à un système de forces données ou, ce qui revient au même, au sens près des forces, (§ 21 ), décomposer la résultante d'un système de forces données en trois forces suivant des lignes d'action données.

I® Supposons d'abord (Jig» 33, PL IJT) qu'on demande de décomposer une force unique F en trois autres suivant des lig^nes d'action données XX', YY', ZZ'.

On prolongera la ligne d'action de F jusqu'à sa rencontre en I avec Tune de celles qui sont données, celle ZZ' par exemple ; on prolongera les deux autres lignes données XX', YY' jusqu'à leur rencontre en m. On décomposera la force F en deux autres dirigées suivant IZ' et Im ; puis cette dernière en deux autres suivant XX' et YY',

Cela revient, si /est {Jig. 33) la grandeur de F, à mener par l'une des extrémités de/ une ligne 3, parallèle à ZZ' et par l'autre une ligne x parallèle à Im, puis, par les extrémités de x^ à mener des parallèles i et 2 à XX' et YY'.

Si les trois lignes XX', YY' ZZ' étaient concourantes, le problème ne serait évidemment possible que si la force F passait en leur point de concours, et alors il serait possible d'une infinité de manières ; l'une des composantes pourrait être prise au hasard ; les deux autres seraient alors déterminées.

De même, si les trois lignes données étaient parallèles, le problème ne serait possible que si la force F avait même direction qu'elles, et alors il serait de même indéterminé.

Dans tous les autres cas, il est possible et déterminé.

2® Si, au lieu d'une force, on s'en donne un nombre quelconque dontla résultante doive êtredécomposéesuivanttrois lignes données,

CONDITIONS d'Équilibre des corps. gi

on peut chercher cette résultante à Taîde du polygone funiculaire et lui appliquer la méthode précédente.

Ainsi soient {fig. 29, PL VIII)

les lignes d*action de quatre forces représentées sur le polygone des forces {fig* 29) par les côtés

On demande de décomposer la résultante suivant les trois lignes

d'action