XX', Y Y', ZZ

que nous désignerons par les chiffres

Traçons le polygone funiculaire des quatre forces données relatif à un pôle O, en partant d'un point 7 pris sur l'une de ces trois lignes, et formons le contour 7.1.2.3.4.5 en prolongeant le dernier côté jusqu'à son intersection 5 avec la ligne désignée par ce chiffre.

La résultante F des quatre forces données passe par le point de concours S des deux côtés extrêmes de ce polygone, est parallèle à ah et représentée par cette dernière ligne ; son intersection avec 121 est en I.

Soit m le point de rencontre des deux autres lignes XX', YY'.

Nous aurons, d'après la règle ci-dessus, à décomposer F suivant ZZ' et Im et cette dernière composante suivant XX' et YY', ce qui revient par le point h à mener une parallèle à Im; par le point a une parallèle 7 à ZZ', ce qui détermine le point j^; puis, parles extrémités de è/, des parallèles 5 et 6 aux lignes 5 et 6 qui se coupent en X, Les trois lignes ay^ yx^ xb sont les composantes cherchées suivant ZZ', YY', XX'.

Mais on peut employer un autre procédé plus commode et, en général, plus exact au point de vue graphique.

Proposons-nous de trouver les trois forces dirigées suivant 5, 6, 7 et faisant équilibre aux forces données. Ces forces seront égales et opposées à celles que l'on cherche.

Supposons le problème résolu et soient 5, 6, 7 les grandeur des forces cherchées.

Partant d'un point 7 de la ligne ZZ', concevons qu'on trace le polygone funiculaire relatif au pôle O de toutes les forces tant connues qu'inconnues.

Soit 7.1.2.3.4.5.6,7 ce polygone, qui est fermé ainsi que le polygone des forces, puisque le système est, par hypothèse, en équilibre.

Sur le polygone des forces on connaît le contour formé par les lignes 1,2, 3, 4? ainsi que la position des lignes indéfinies 5 et 7, dont la première passe par l'extrémité b du polygone des forces données et est parallèle à 5 ou XX', et dont la seconde passe par l'origine a du même polygone et est parallèle à 7 ou ZZ'. Ce qu'il faut déterminer, c'est la position du côté 6 ou xy qui est parallèle à 6. Cette ligne déterminera les grandeurs 5, 6, 7 des trois forces inconnues.

Du polygone funiculaire on connaît la portion 7.1.2.3.4.5 dont les côtés sont parallèles aux rayons 7.1, 1.2, 2.3, 3.4, 4-5.

Prolongeons, sur le polygone des forces, les lignes 5 et 7 jusqu'à leur rencontre en u et joignons Ou.

Sur le polygone funiculaire prolongeons deux des lignes données, par exemple celles XX' et YY', jusqu'à leur rencontre en m ; par ce point menons mn parallèle à ZZ', et prolongeons 6.7 jusqu'à sa rencontre avec mn en n; enfin joignons 5/i.

Considérons les six lignes qui joignent les quatre points

du polygone funiculaire et les six lignes qui joignent les quatre

points

du polygone des forces; par construction, les-cinq lignes 5/71, /Ti/i, /7i6, 5.6, 6/1

sont respectivement parallèles à celles

xu.yu, xy, Ox, O7,

et l'on voit qu'aux deux triangles que forment les premières correspondent, dans les secondes, des lignes concourantes. Donc, en

CONDITIONS d'Équilibre des corps. 93

vertu du corollaire II du § 35, les lignes 5n et Oi^ sont parallèles.

De là, la construction suivante :

Donnez aux lignes d^action des forces données les numéros consécutifs

el aux côtés qui les représentent sur le polygone des forces les numéros correspondants

Donnez les trois numéros suivants :

aux lignes d*action des trois forces inconnues.

Partant d'un point quelconque 7 de la dernière de ces lignes, construisez le polygone funiculaire relatif à un pôle quelconque O des forces données. Soit 7.1.2.3.4.5 ce polygone. Prolongez les lignes données 5 et 6 jusqu'à leur rencontre en m, et menez mn parallèle à 7.

D'un autre côté, par l'origine du polygone des forces, menez une parallèle à 7 ; parson extrémité une parallèle à 5, et conduisez le rayon issu du pôle et aboutissant au point d'intersection u de ces deux lignes.

De l'extrémité 5 du polygone funiculaire menez une parallèle à ce rayon ; cette parallèle coupera mn en un point /i. Joignez w7, que vous prolongerez jusqu'à sa rencontre avec YY' en 6, et joignez 6.5; puis, sur le polygone des forces, menez Ox parallèle à 0.6 et Oy parallèle à 6.7 ; joignez xy. Les trois forces cherchées auront pour grandeurs et pour sens bx^ xy elya.

Remarque. — Si les trois lignes données XX', YY', ZZ' concourent au même point m, la ligne ZZ' coïncide avec m/i, le point 7 avec n. Le problème est alors généralement impossible ; car la ligne 5/1, coïncidant dans ce cas avec 5.7 qui ferme le polygone funiculaire, ne sera pas, en général, parallèle à O/i. Si elle l'est, les deux points 7 el n qui déterminent la ligne 6.7 coïncidant, cette ligne est indéterminée. Ainsi, dans ce cas, le problème est ou impossible ou indéterminé. C'est ce qu'il était aisé de prévoir; car, si

94 a* SECTION. — CHAP. V.

la résultante des forces données ne passe pas par le point de concours des trois lignes XX', YY', ZZ', on ne saurait Téquilibrerpar trois forces dirigées suivant ces lignes, et, si elle y passe, on le peut d'une infinité de manières.

Les fig, 34 et 34 {^PL IX) résolvent le même problème dans le cas où les forces données 1 , S, 3, 4 sont parallèles entre elles, en sorte que leur polygone des forces, dont l'origine est a et l'extrémité 6, se réduit à une ligne droite. Les lignes données sont XX\ YY', ZZ' ou 5, 6, 7. La solution est la même qu'au paragraphe précédent, -«t les notations aussi, en sorte qu'on s'expliquera la figure en reprenant l'énoncé de la règle qui vient d'être établie.

C0BP8 ATAHT DEUX P0IHT8 FIXES, OU BEPOSAHT SUE ttUATEE COUBBES PAR aUATBE POmS. nmÉTEBlUNATIOH DES RÉAGTIOHS DES APPUIS. — Lorsqu'un corps, comme ceux, que nous considérons (§ 51), a {fig» 39, PL IX) deux points fixes O et O' situés dans le plan contenant toutes les forces, sa position est non seulement déterminée, mais il ne peut pas se dilater librement, puisque la distance 00' de deux de ses points est assujettie à rester invariable, quels que soient les forces ou les eflets calorifiques qui tendraient à les modifier.

Donc, l'équilibre doit avoir lieu, quelles que soient les forces agissantes; de plus (§50) les réactions ne doivent pas pouvoir être déterminées par la Statique. C'est ce qu'en effet on vérifie immédiatement. Soit R la résultante des forces directement appliquées. Nous pouvons prendre, sur sa ligne d'action, un point quelconque I et décomposer la force R en deux suivant les lignes 10 et 10'. Ces deux forces représentent les pressions exercées sur les deux points fixes O et O'; le point I étant arbitraire, on voit que ces pressions sont indéterminées.

La même chose aurait lieu si le corps,aulieu d'avoir deux points fixes O et O', était assujetti à s'appuyer sur quatre courbes A, B, G, D. Il devrait alors y avoir équilibre entre les réactions de ces courbes et la force R. Soient AO, BO les normales aux courbes A et B en leurs points d'appui.

Assujettir le corps à s'appuyer en A et B sur ces deux courbes