CONDITIONS D*ÉQUILIBRB DES CORPS
équivaut (§ 54) à l'assujettir à tourner autour du point d'intersection O des normales AO et BO.
De même Tassujettir^à s'appuyer sur les lignes G et D équivaut à l'assujettir à tourner autour du point O', intersection des normales CO' et DO' à ces lignes. Donc le problème est le même que si le corps avait deux points fixes O et O'.
En prenant un point I sur la résultante R des forces directement appliquées au corps et décomposant cette force en deux suivant 10 et IC, puis décomposant celle suivant lO en deux autres suivant OA et OB, puis celle suivant 10' en deux autres suivant O'C et OTD, on aura les pressions sur les quatre courbes; et, comme le point I est pris au hasard, ces pressions sont indéterminées ( * ).
P(nJ88ÉE D'UN ABC SDEPLEMEIIT APPUTÉ. — Il est important de bien préciser le mode d'indétermination dont il est parlé au paragraphe précédent.
Supposons (^fig- 4, p. 96) un corps quelconque, par exemple un arc de pont dont les deux extrémités A et B sont fixes.
Soit R la résultante des forces, quelles qu'elles soient, qui lui sont directement appliquées (d'ordinaire, les charges sont verticales et la corde AB est horizontale).
Prenons un point I sur cette force, menons lA et IB et dési gnons par r et r', non pas les composantes de R suivant lA et IB, mais des forces égales et opposées à ces composantes, c'esl-à-dirc égales aux réactions des appuis A et B. Soit, sur un polygone des forces {Jig* 4) «6 = R; menons par a et 6 des parallèles à Al
(') II est bon toutefois d'observer que rindétermination est ici un peu moins grande que si les points O et O' étaient efitectivement fixes. Car alors le point I peut occuper une position quelconque sur la ligne indéfinie suivant laquelle agit la force R, tandis qu'ici il ne peut occuper qu'une portion de cette ligne telle, que la ligne lO tombe dans l'angle AOB et celle 10' dans l'angle G O'D. Autrement, parmi les composantes définitives de R suivant les quatre normales OA, OB, O'C, O'D, il y en a qui ne tendraient pas à faire porter le corps sur ses appuis, et les réactions correspondantes, c'est-à-dire égales et opposées, ne pourraient plus exister, la réaction de chaque surface A ne pouvant être dirigée que dans le sens AO.
et BI, nous formons le triangle a 06, et, puisque les trois forces R, r, r' doivent s'équilibrer, c'est-à-dire que le triangle de ces forces doit être fermé, on aura 60 = r'et Oa=r en grandeur et sens.
Menons, par le point O, la ligne Oco parallèle à la droite AB. Nous pouvons décomposer la force èO = /•' en deux, représentées en grandeur et sens par biù et wO, Tune parallèle à la résultante R que nous appelons r'^ (c'est la composante verticale de la réaction, si la résultante R des forces agissantes est verticale), l'autre f suivant la corde AB.
De même O a = /• se décompose en O co ou/ égale et opposée à f suivant la corde B A, l'autre eu a parallèle àR et que nous appelons r© -
On voit donc que l'arc supposé libre est en équilibre sous l'action : i® des trois forces parallèles
2® des deux, forces
ces dernières égales, dirigées suivant la même ligne AB et de sens opposés.
L'arc étant en équilibre, les forces qui le sollicilent satisfont (§ 46) aux conditions d'équilibre relatives aux systèmes invariables; mais les deux dernières y satisfont par elles-mêmes; il faut donc qu'il en soit de même des trois premières. Ainsi,
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lorsqu'un corps a deux points fixes et qu'on décompose chacune des réactions en deux : l'une parallèle à la résultante des forces directement appliquées, l'autre suivant la droite qui joint les deux points fixes, les composantes parallèles à la résultante des forces directement appliquées sont déterminées; les composantes suivant la droite qui joint les deux points fixes sont égales et de sens opposés; mais leur valeur commune ne peut pas être déterminée par la Statique.
Dans les arcs de ponts, les premières sont généralement verticales et se nomment les réactions verticales ; les secondes sont généralement horizontales et leur valeur commune se nomme la poussée de l'arc, parce qu'en effet l'arc exerçant, sur ses appuis (culées), des pressions égales et opposées aux réactions r et z-', les composantes verticales de ces pressions sont égales et opposées à /'o et r'^ et, par suite, connues ; elles tendent à appuyer les culées sur leurs fondations; tandis que leurs composantes horizontales égales et opposées à /et/' tendent à les renverser en les faisant tourner autour de leurs bases.
Si, comme dans la figure, l'arc est supporté, c'est-à-dire présente sa concavité vers le bas, ce renversement tendra à se faire vers le dehors. Si, au contraire, l'arc présente sa concavité vers le haut (ponts suspendus)^ ce renversement tend à se faire vers le dedans ou vers l'axe du pont.
SUR L1HDÉTCBMIHATI0NAPPABE1ITE DE LA POUSSÉE D'm ABC. — Dans ce qui précède, nous avons appliqué uniquement les conditions d'équilibre communes à tous les corps (ce qui est permis rigoureusement); mais nous les avons appliquées en supposant l'arc indéformable, c'est-à-dire en opérant sur sa forme naturelle (§ 47) et non sur sa forme finale. Dans ces conditions, je dis que la valeur de la poussée est réellement indéterminée; elle est réellement ce que Pon veut, sa valeur dépendant essentiellement de Idi pose de l'arc.
En effet, supposons le point A fixe et le point B reposant librement sur une ligne horizontale a^; l'arc étant supposé rigoureusement invariable, la fixité du point B se trouvera ainsi parfaitement assurée; on satisfera donc à la condition voulue d'avoir les deux 1. 7
points  et B fixes; et, comme la ligne a^ ne peut faire naître qu'une réaction verticale, on aurait, si Ton (si'is^il la pose de Varc de celte façon, /' = o, par suite /= o. Il n'y aurait donc aucune poussée.
Supposons à présent que, le point A étant toujours fixe, on fasse reposer l'extrémité B non plus sur une ligne horizontale, mais sur une ligne inclinée yBô. La fixité des deux extrémités A et B de l'arc sera ainsi assurée aussi bien que dans le mode précédent^ mais cette fois la réaction /•' de la ligne yS normale à cette ligne, étant inclinée, aura une composante /'et, par suite, il naîtra en A une réaction égale et opposée/ (puisqu'on a/ = /'). On a donc ainsi une poussée et, en choisissant convenablement l'inclinaison de la ligne d'appui yBS, on peut faire en sorte que cette poussée ait la valeur que l'on veut.
C'est donc avec raison, si l'on admet la rigoureuse invariabilité du corps, que la Statique fournit, pour la poussée, une valeur indéterminée.
Supposons à présent le corps déformable.
Admettons que l'extrémité A soit fixe et que l'extrémité B puisse librement glisser sur la ligne horizontale a^. Sous l'influence des charges verticales qu'il porte, l'arc va se déformer, son sommet va s'abaisser, le point B va s'('loigner plus ou moins de A et l'équilibre ne s'établira que quand ce point sera venu quelque part en p.
Pour le ramener en B, c'est-à-dire à la place qu'il doit occuper d'après les conditions du problème, concevons qu'on y applique en p une force graduellement croissante, dirigée de j3 vers B. A mesure que cette force grandira, le point j3 se rapprochera de B et, pour une valeur suffisante et parfaitement déterminée de cette force, il viendra coïncider avec ce dernier.
Or, la présence de la culée ou la fixité de l'obstacle contre lequel s'appuie en réalité l'arc a précisément pour effet de faire naître cette force déterminée qui maintient l'extrémité de l'arc en B, et ce sera là la vraie valeur de la poussée.
Voilà pourquoi cette force est déterminée pour les corps naturels, et c'est d'après les considérations qui précèdent que nous la déterminerons plus loin en faisant intervenir le mode de structure de l'arc et l'élasticité de la matière qui le compose.
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BECHERCHE GBAFHianE DE LA PABTIE DÉTERMUÉE DES BÉACTIOM DES DEDZFOms nXES. — Les composantes (^Jlg* 4? P* 9^) ''o et r\ des réactions r et r' devant faire équilibre à la résultante R des forces agissantes, leur recherche revient au problème I ou au problème III (lu § iâ suivant que les charges que supporte Tare sont des forces parallèles ou non.
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