CHAPITRE YI

RECHERCHE DES FORCES ELASTIQUES. LE POLYGONE DES PRESSIONS ET LE POLYGONE DE VARIGNON.

SUR IX DËPLAGEIIEIIT DES POIHTS D'APPLICATION DES FORGES SUR LEUR DIRECTION. — Tant qu'on ne s'occupe, comme nous l'avons fait jusqu'ici, que des conditions d'équilibre entre les forces extérieures (§ i9) agissant sur un corps solide élastique, on peut, grâce à l'approximation admise au § 47, procéder comme si ce corps était invariable, par conséquent, faire sur les f*orces toutes les opérations permises en pareil cas, notamment celle qui consiste à déplacer leurs points d'application sur leurs propres directions.

Il en est autrement lorsqu'on veut étudier les forces élastiques que des forces données font naître à l'intérieur d'un corps. Le déplacement du point d'application d'une force quelconque sur sa direction modifierait complètement les pressions ou tensions existant à l'intérieur du corps.

Ainsi, supposons une tige AB (Jïg. 5) en équilibre sous l'action

Fig. 5.

de deux forces /et/' égales, dirigées suivant la droite AC qui joint leurs points d'application et de sens contraires.

Cette partie AG de la tige sera plus ou moins tendue par ces forces, tandis que leur action sur la partie CB sera nulle ou insensible. Il en serait tout autrement si l'on transportait la force/' sur sa ligne d'action en/''. Alors toute la ligne AB serait tendue.

Il résulte évidemment de là qu'on ne peut pas, dans les recherches dont il s'agit, composer entre elles des forces ap-

RECHERCHE DBS FORCES ÉLASTIQUES. lOI

pliquées en deux points différents d'un corps, puisqu'une telle composition ne peut se faire sans déplacer les points d'applicalion des forces.

8UB L'EMPLOI DE LA STATiatJE PUBE DAHS L'ATUSE BE8 rOBGES UTÉ- RHUBES. — Concevons que, dans un corps en équilibre {Jig* 6), sous Taclion de forces quelconques, on fasse une section (généra-

Kig. 6.

lement plane) qui divise ce corps en deux parties (A) et (B). On peut (§ 23) enlever Tune des parties, par exemple celle (B), sans troubler l'équilibre de (A), pourvu qu'aux forces appliquées à celle-ci on adjoigne des forces convenables réparties sur toute l'étendue de la surface de séparation ; ces forces se nomment \q^ forces élastiques (tensions ou pressions) exercées par la partie (B) sur la partie (A).

Suivant quelles lois ces forces, qui se succèdent d'une manière continue, sont-elles réparties sur la surface de séparation ; en d'autres termes, quelle est, en chaque point de cette surface, la valeur de la pression ou tension par unité de surface? On conçoit que la réponse à cette question doive dépendre non seulement des forces extérieures agissantes, mais aussi de la forme et de la nature du corps et que, pour cette raison, la Statique seule soit impuissante à la résoudre. Elle est essentiellement du ressort de la théorie de l'élasticité.

Mais la Statique nous enseigne que, si la partie (A) du corps est en équilibre, elle le sera, à plus forte raison, si l'on vient à la rendre invariable.

Il est donc nécessaire que les forces qui la sollicitent [y compris

les forces élastiques qu'elle subit de la part delà partie (B)] satisfassent aux conditions d'équilibre relatives aux systèmes invariables, résultat que Ton peut énoncer ainsi : si l'on compose entre elles les forces extérieures qui agissent sur une portion quelconque (A) d'un corps comme si ces forces agissaient sur un système invariable, on obtiendra (dans l'hypothèse où nous nous plaçons toujours, de forces toutes dans un plan) une résultante ou un couple résultant. Cette résultante ou ce couple sont des (ovces purement fictives qui ne pourront à aucun degré remplacer celles d'où elles proviennent.

Si, de même, on compose les forces élastiques que la partie (A) du corps éprouve de la part de celle (B), on obtient, dans l'hypothèse où tout est symétrique par rapport au plan contenant toutes les forces extérieures, une force ou un couple (*). Cette force ou ce couple est également fictif et ne saurait tenir lieu des forces élastiques elles-mêmes .

Mais la Statique apprend : i° que si les forces extérieures, composées comme il vient d'être dit, fournissent une résultante, les forces élastiques en fournissent nécessairement aussi une égale et opposée à la précédente; que de même, si les forces extérieures se composent en un couple, il en est nécessairement de même des forces élastiques et que, de plus, ce second couple est égal et opposé au premier.

Dans ce qui précède, nous avons considéré les forces élastiques exercées par (B) sur (A); celles exercées par (A) sur (B) leur sont égales et opposées.

Donc, on peut encore dire que, si dans un corps en équilibre on fait une section quelconque qui le divise en deux parties ( A ) e^(B), la résultante des forces extérieures ayant leurs points d'application dans V une de ces parties est égale en grandeur y direction et sens à la résultante des forces élastiq ues que cette partie exerce sur Vautre,

(•) Les forces élastiques ne sont pas toutes dans le plan de symétrie; mais à chaque force élastique située d'un côté de ce plan répond une force symétrique, et ces deux forces, composées comme si elles agissaient sur un solide invariable, donnent une résultante partielle située dans le plan de symétrie. Il ne reste donc qu'à composer ces résultantes partielles qui sont dans le même plan que les forces extérieures.

RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. lo3

Dans le cas particulier où les forces extérieures ayant leurs points d'application dans Vune des parties se réduisent à un couple, les forces élastiques que cette partie exerce sur Vautre se réduisent au même couple,

GERBE BEPBE88I0I; EFFORT TRAHCIAHT; PRfflSIOSHORMAIX. — Ce

théorème est vrai, que la section faite dans le corps soit plane on courbe, pourvu qu'elle soit symétrique par rapport au plan contenant les forces extérieures.

Supposons-la plane et soit {fig* 7> P- '^4) X'X sa trace sur le plan de symétrie.

La résultante R de toutes les forces extérieures agissant sur la partie (A) du corps située d'un côté de la section se nomme la force élastique totale exercée par cette partie sur celle (B). Pour trouver cette force fictive, on a opéré sur les forces extérieures comme si elles agissaient sur des systèmes invariables, c'est-à-dire qu'on a déplacé leurs points d'application sur leurs propres directions. De même, le point d'application de la force fictive R ellemême peut être pris en tout point de sa direction, pourvu que ce point soit supposé invariablement lié à la partie (A) du corps regardée comme invariable. Appliquons-la au point C où elle coupe la ligne X'X, ce point étant ainsi regardé comme appartenant à la portion de gauche (A) du corps. Sa composante T suivant X'X se nommela force élastique tangentielleou effort tranchant. SaLComposante N, suivant la normale à la section, se nomme IdL pression ou tension normale exercée par (A) sur (B). Ici ce serait une pression. En effet, R étant la résultante des forces extérieures qui agissent sur la partie (A) du corps, la résultante R' de celles qui agissent sur la partie (B) est nécessairement égale et opposée àR, puisque le corps tout entier est en équilibre, sous l'action des deux forces R et R'. Cette force R' peut être considérée comme appliquée au même point géométrique C que la force R, mais ce point étant celte fois regardé comme appartenant à la partie (B).

Les composantes normale et tangentlelle de R' seraient des forces N' et T' respectivement égales et opposées à N et T.

Les deux forces égales et opposées T et T', agissant, la première sur la partie (A), la seconde sur la partie (B) du corps, tendent à

faipe glisser ces deux parties le long de la section, ou à les séparer par cisaillement. De là le nom à'' effort tranchant donné à ces forces.

Les deux forces égales et opposées N elN', agissant, la première sur (A), la seconde sur (B), tendent : 1** dans le cas de la figure, à presser les deux parties du corps Tune contre l'autre ou à faire naître des pressions; a° dans le cas où elles seraient dirigées en sens opposés, c'est-à-dire où celle qui agit sur l'une des deux parties du corps serait dirigée vers cette partie même, elles tendraient à séparer les deux parties (A) et (B), et alors N serait une tension.

Fig. 7.

Le point C où la résultante R coupe la ligne X'X se nomme le centre de pression ou centre des forces élastiques.

Cas où le centre de pression passe à l'infini. — Le centre de pression C n'est pas nécessairement à Tintérieur du corps; il peut même passer à Tinfini sur la ligne X'X dans deux cas :

1** Lorsque la résultante R des forces qui agissent sur la partie (A) du corps se trouve être parallèle à la section X'X.

Ce cas se présente toujours dans les poutres droites horizontales, soumises à des forces toutes verticales, lorsque les sections que Ton considère sont elles-mêmes verticales;

2" Lorsque les forces extérieures agissant sur (A) n'admettent pas de résultante et se réduisent à un couple.

BECIIBRCilE DES FORGES ÉLASTIQUES. lo5

On sait, en effet, qu'un couple peut être regardé comme une force infiniment petite dont le point d'application est infiniment éloigné.

On peut comprendre dans un seul énoncé ces deux cas où le centre de pression passe à l'infini . Soit, en effet, F. l'une des forces extérieures agissant sur (Â). Prolongeons-la jusqu'à sa rencontre en c avec la section X'X et décomposons-la en deux : l'une Ft dirigée suivant X'X, l'autre F;, normale à cette ligne.

Toutes les composantes langenlielles F^ donnent une résultante égale à l'effort tranchant T; toutes les composantes normales F,, qui peuvent être placées les unes d'un côté du plan X^X, les autres (le l'autre, donnent ou une résultante N ou un couple résultant. Dans le premier cas, le centre de pression C est à distance finie; il est au point d'intersection de la résultante N et de la trace X'X (le la section sur le plan de symétrie; dans le second, il passe à l'infini. Ainsi, pour qu'il passe à l'infini, il faut et il suffit (jue les forces F„ forment un couple^ ou, ce qui revient au même, il faut et il suffit que la somme algébrique des projections des forces extérieures F sur la normale à la section soit nulle, ce qui comprend bien, en effet, les deux cas mentionnés plus haut.

Remarque, — Le théorème du paragraphe précédent, qui permet (le déduire la résultante (ou le couple résultant) des forces élastiques agissant dans une section, de la seule composition des forces extérieures, est précieux; mais on peut concevoir aussi qu'on fasse directement la composition des forces élastiques elles-mêmes.

 cet effet, considérons un élément infiniment petit ab de la ligne X'X et la bande du plan de la section projetée suivant ab. Les forces élastiques appliquées aux divers points de cette bande sont deux à deux symétriques par rapport à ab\ or, en composant deux forces symétriques, on en obtient une située dans le plan de la figure et appliquée en ab. En composant, entre elles, toutes les forces ainsi appliquées en ab et provenant de la bande dont ab est la trace, on obtient une force unique/ que nous pouvons décomposer en ses composantes tangentielle et normale ft el/n-

L'effort tranchant T est la résultante de toutes les forces /, c'est-à-dire leur somme algébrique, puisqu'elles sont toutes dirigées suivant la ligne XX'. La pression normale N est la résultante de toutes les forces normales/,,. Ainsi :

106 a* SECTION. — CHAP. VI.

Théorème I. — U effort tranchant dans une section plane peut être défini indifféremment la somme des projections sur cette section des forces extérieures qui agissent dhin côté convenu de la section ou la somme des forces élastiques qui se produisent dans la section [et qui s'exercent par la partie du corps située du côté convenu dont il vient d^être parlé sur la partie située de l'autre côté). De même, la pression normale peut être définie indifféremment la somme des projections sur la normale à la section, soit des forces extérieures^ soit des forces élastiques dont ilvient d'être parlé.

Observons que le centre de pression C est déterminé dès qu on connaît la pression normale N; ce point est donc indépendant des forces élastiques tangentielles.

Théorème II. — Le centre de pression dans une section quelconque est indépendant des forces élastiques tangentielles ou de Veffort tranchant qui se produit dans cette section. Il est le point oii la résultante des forces élastiques normales coupe la ligne XX^

Corollaire. — Le centre de pression d'une section est à dis tance finie toutes les fois que les forces élastiques normales admettent une résultante. Pour qu'il passe à V infini, il faut et il suffit que ces forces se réduisent à un couple .

Remarque, — Il est un cas où le centre de pression d'une section XX' ne peut être en dehors du corps : c'est lorsque, au lieu d'un corps unique, on a réellement deux corps (A) et (B) simplement juxtaposes le long du plan XX' sans adhérence entre eux. Alors il est clair que les corps ne peuvent rester en équilibre que s'ils sont pressés l'un contre l'autre; toutes les composantes normales/,, de l'action de l'un des corps sur Tautre sont donc des forces parallèles de même sens; le point d'application de leur résultante ne peut, par suite, se trouver qu'entre les points d'application de ces forces, c'est-à-dire dans la partie de la ligne X'X placée à l'intérieur du corps. C'est ce qui arrive pour les voûtes en maçonnerie formées de pierres (appelées voussoirs) juxtaposées. Il est vrai qu'on interpose entre elles du mortier destiné à

établir leur adhérence; mais, par mesure de sécurité, on dispose généralement les voûtes de façon que leur stabilité soit assurée sans la présence du mortier; on admet alors qu'elle est assurée, à plus forte raison, lorsque le mortier existe.

DE L'OEPLOI DES FORGES FIGTITES IRTRODUITES AU PARAGRAPHE PRÉGÉDEH T .

— Ce qui justifie Tintroduction des forces élastiques fictives dont il est parlé dans ce qui précède, c'est la facilité avec laquelle on les déduit, par les seules règles de Statique, de la connaissance (les forces extérieures. En général, le fait de savoir que les forces élastiques en nombre infini qui se produisent dans une section admeltraîent une résultante connue si on les composait comme si elles étaient appliquées à un système invariable ne suffit pas pour les déterminer, mais il constitue une donnée géométrique qu'on est en droit d'utiliser. Supposons que la section ne coupe le corps qu'en deux points, de sorte qu'il n'y ait que deux forces élastiques; si Ton connaît leur résultante (leurs points d'application sont d'ailleurs connus), il suffit d'avoir encore la direction de l'une d'elles pour qu'elles soient déterminées.

Supposons qu'étant en nombre infini on sache, par exemple, que leurs composantes normales sont uniformément réparties dans toute la section. Alors leur valeur, en chaque point, rapportée à

I unité de surface, est égale au quotient ^ de leur résultante par Taire de la section totale.

Plus généralement, supposons que l'on considère des corps comme des poutres ou arcs de ponts, de dimensions transversales très faibles par rapport à leur longueur.

La déformation élastique ou flexion se fait parallèlement au plan de symétrie. Les points situés sur une même perpendiculaire à ce plan subissent sensiblement les mêmes déplacements élastiques et, par suite, les mêmes pressions ou tensions, de sorte qu'il suffit de trouver les forces élastiques aux divers points de la trace DE ifig, 7, p. io4) d'une section sur le plan de symétrie pour les avoir en tous les points de la section. Considérons en particulier les composantes normales et admettons qu'en chaque point de DE

i08 -2" SECTION. — CHAI». VI.

on élève une perpendiculaire égale à la valeur de la pression normale en ce point rapportée à l'unité de longueur de DE. Le lien des extrémités de ces perpendiculaires sera une certaine courbe de qu'on ne connaît pas. Seulement (§ 64) l'aire de cette courbe est représentée par la résultante N. Ainsi, la connaissance de la grandeur de N définit cette aire. Nous verrons plus loin que la connaissance de la position de N définit un autre élément important de la courbe, son centre de gravité, La connaissance de ces deux éléments, quoique très utile, ne suffirait pas sans doute à tracer la courbe. Mais admettons, comme la dimension transversale DE est faible, que l'on puisse approximativement substituer à cette courbe une droite Se qu'on devra choisir de telle façon que les forces élastiques approchées représentées par les ordonnées de la droite fournissent en grandeur, position et sens la même résultante N que les composantes des forces véritables. Si l'on prolonge la droite 5e jusqu'à sa rencontre en S avec la ligne X'X prolongée, cela revient à admettre comme approximation que les forces élastiques varient proportionnellement à leurs distances à un point fixe S de la droite X'X.

Si l'on se borne à cette approximation, qu'on désigne parfois sous le nom de loi du trapèze^ parce que les forces sont représentées par les ordonnées d'un trapèze DE 5e, il est aisé de comprendre, et nous verrons plus loin que la seule connaissance de la résultante N suffit à trouver la position de la droite Se et, par suite, à connaître la répartition approchée des pressions.

Mais on ne doit pas perdre de vue que les considérations de pure Statique qui vont être développées relativement à la recherche de la résultante sont rigoureuses et ne s'appuient en rien sur la loi hypothétique du trapèze.

Nous avons seulement voulu montrer que, utile toujours, la connaissance de la résultante permet, à elle seule, de trouver la répartition des pressions si l'on veut y adjoindre cette hypothèse.

DiFINmOllDES SYSTÈMES DE CORPS ET DES FORGES GOHSIDËRÉS DAHS CE CHAPITRE. — Nous considérons {fig. 8, p. 109) un corps ou plus généralement un système de corps symétriques par rapport à un

plan contenanl toutes les forces extérieures, tels que A^B^pq, PÇPtÇif PtÇiP2Ç^9 P2q2Piq9i PzÇi^n'^ne^ contact les uns avec les autres le long des surfaces pq, p\q%^ • . - symétriques par rapport au plan des forces et d'ailleurs quelconques, soit sur toute retendue de ces surfaces, soit en un nombre limité de points, avec ou sans adhérence ; les sections extrêmes ÂoBq, A„B|2, qui hont représentées planes, mais qui pourraient elles-mêmes être courbes, sont libres ou plus généralement appuyées à des corps lixes par un nombre quelconque de points.

Fig. 8.

En ce qui louche les forces données, nous savons (§ G2) que, si Pon veut étudier les pressions qu'elles déterminent dans les corps, il faut leur maintenir leurs points d'application véritables.

Les points d'application sont nécessairement à l'intérieur ou à la surface des corps sur lesquels agissent les forces; et, comme nous supposons qu'elles n'agissent que dans le plan de symétrie, ils sont à l'intérieur ou sur le périmètre de la figure que le corps trace sur ce plan.

Il peut se présenter trois cas :

1" Il n'existe qu'un nombre fini de forces, par suite, un nombre fini de points d'application ;

2" Les forces se succèdent d'une manière continue, de façon telle, que leurs points d'application forment une ligne;

'6^ Elles se succèdent d'une manière continue, de façon que leurs points d'application couvrent une aire de cette section.

Faisons, dans le système, des sections AqBo, A|B,, ..., se succédant d^une manière continue suivant une loi quelconque. Nous les représentons planes; mais, sauf quand le contraire sera spécifié, les propriétés qui suivent s'étendentaussibienàdessectionscourbes, par exemple, à des sections faîtes suivant les surfaces de séparation /?y, /7i^i, ... des corps; mais, planes ou courbes, elles sont supposées symétriques par rapport au plan des forces.

Soient AB, A'B' deux sections infiniment voisines. S'il s'agît de forces dont les points d^appjication couvrent une aire, nous serons amené à composer fictivement en une seule, dont il n'est pas nécessaire de définir le point d'application, toutes celles qui agissent ainsi sur chaque portion ABA'B' du corps.

Nous l'appellerons une résultante partielle. On voit que les résultantes partielles sont essentiellement relatives au système de sections, planes ou non, qu'on a adoptées. Pour un autre système on aurait des résultantes partielles différentes.

On peut aussi avoir à considérer un nombre fini de sections et les résultantes partielles en nombre fini des forces agissant sur les parties du corps formées par deux sections consécutives.

CAS D'EXCEPTIOH. — Nous écartons dans ce qui va suivre le cas où les centres de pression, dans les deux sections extrêmes AoB^, AflB,,, seraient à l'infini.

Théorème fondamental. — \^ Si un système de corps comme ceux qui viennent d^étre définis est soumis à un nombre fini de forces^ parmi les polygones funiculaires de ces Jorces, il en existe toujours un qui jouit de la propriété que la résultante des forces élastiques exercées dans n^importe quelle section plane ou courbe faite dans le corps a pour ligne d'action Vun des côtés de ce polygone, et pour grandeur le rayon polaire correspondant.

Le côté dont il s'agit est celui qui joint les deux forces dont les points d'application sont limitrophes de la section.

a** Si les forces agissantes se succèdent d'une manière conlinuCy de façon que leurs points d'application forment une ligne, parmi les courbes funiculaires de ces forces, il en existe toujours une qui jouit de cette propriété que la résultante des forces élastiques exercées dans une section plane ou courbe quelconque a pour ligne d'action l^une des tangentes à cette courbe, et pour grandeur le rayon polaire correspondant.

La tangente dont il s'agit est celle menée au point oà la courbe funiculaire est rencontrée par la ligne d'action de la force dont le point d' application est sur la section considérée,

3** Si les forces agissantes sont telles que leurs points d'application occupent une aire dans le plan des forces, en considérant un système particulier de sections planes ou courbes choisies d'ailleurs arbitrairement parmi les courbes funiculaires des résultantes partielles (§ 66) correspondant à ce système de sections y il y en a une qui jouit de la propriété que la résultante des forces élastiques agissant dans l'une quelconque de ces sections a pour ligne d'action la tangente à cette courbe funiculaire au point oà elle est rencontrée par la résultante partielle répondant à cette section, et pour grandeur le rayon polaire correspondant. \^Si l'on prend les résultantes partielles d'un nombre fini de ces sections, il existe un polygone funicutaire de ces forces qui jouit, mais seulement à l'égard des sections en nombre fini dont il s'agit, di^^s propriétés énoncées cidessus {\°)].

1" Soit ifig» 9, p. 112) AoBoAi B| le corps ou les corps considérés. Supposons-les soumis à un nombre fini de forces dont les points d'applicalion sont

les lignes d'action

«ij *t» *8> 3t4, atj,

la,, âct., 3a3, 4a4, Kaj, et les grandeurs (fig. 9, p. 1 13)

En vertu des restrîclions faites au § 67, les réactions qui s'exercenl dans la section extrême AoBq (fig* 9) admettent une résul-

112 îi" SKCTION. — Cil A P. VI.

tante; soient Tq la grandeur de cette résultante et Gq/'o sa ligne d'action.

Par l'origine a (yî^. 9) du polygone des forces, menons aO égale et parallèle à r^ et de sens contraire, de façon que Oa parcouru de O vers a représente la force ro en grandeur, direction et sens.

Construisons le polygone funiculaire des cinq forces données ayant le point O pour pôle et soit

Go 1.2.3.4.5 Cl ce polygone

Coupons le corps ou le système de corps par une section quelconque, plane ou non, AB; les points d'application limitrophes de

Fiç. 9.

cette section sont 0L2 et as. Je dis qu'il en résulte que la ligne d'action de la force élastique totale r exercée sur la section AB par la partie AoBqAB est le côté 2.3 du polygone funiculaire et (|ue cette force r est représentée en grandeur, direction et sens ])ar le rayon polaire correspondant a, 3 ou OC compté depuis le pôle.

En effet, la partie AqBqAB du système doit être en équilibre sous l'action :

1^ Des forces /-q, 1, 2,

2^ De l'action exercée par A|B|AB suivant la surface AB et que nous appellerons — r.

RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. Il3

La force — r devant équilibrer celles Tq, 1, 2, la force -f- r est leur résultante. Or la résultante des forces r^ et l.ai est représenlée sur le polygone des forces par le rayon i.a et a pour ligne (Inaction 1.2 d'après la règle du parallélogramme; en composant de même cette résultante partielle avec la force 2, on obtient une nouvelle résultante représentée, sur le polygone des forces, par OC ou a. 3 et ayant pour ligne d'action le côté 2.3, ce qu'il fallait démontrer.

Remarque, — On voit qu'il est essentiel de spécifier la position des points d'application, autrement on ne saurait pas quelles sont

Fig. 9-

les forces agissant sur la partie AqBoAB du corps. Si, par exemple, le point d'application as se trouvait en a^, la force Sa'j agirait sur cette partie du corps; le théorème énoncé l'indiquerait bien, puisque, dans ce cas, les deux points d'application limitrophes de la section AB seraient non plus a2 et aj, mais a, et a4.

a° Ce qui précède reste vrai, quelque rapprochés que soient les points d'application des forces, par conséquent aussi à la limite lorsque ces points forment une courbe continue. Mais, dans ce cas, les deux points limitrophes cl^ et as placés de part et d'autre de la section AB viennent se confondre au point où la section coupe la courbe lieu des points d'application, ce qui fournit l'énoncé de la seconde partie du théorème.

La troisième partie se déduit immédiatement de la seconde et de la première.

Il4 a" SECTION. — CHAP. VI.

POLTfiOHE on GOUBBE DES PBE88I01I8. — Entre tous les pol;y gones funiculaires des forces directement appliquées à un corps ou ud système de corps comme ceux définis au § 66, celui défini par la partie i® du théorème précédent est le seul qui fournisse tout à la fois la représentation des réactions des appuis, celle des forces élastiques totales qui s'exercent dans chaque section, et celle des actions mutuelles des corps les uns sur les autres. Car, pour avoir les actions mutuelles, il suffit d'appliquer le théorème à des sections P9'» Pi 9* • • Lfiff* ^j P' ^09) faîtes suivant les surfaces de contacl des corps.

Fig. 10.

Ce polygone donne donc, sous la forme la plus simple et la plus saisissante, toutes les indications que la Statique peut fournir sur les forces, tant extérieures qu'intérieures, qui agissent sur le système. On l'appelle le polygone des pressions ou la courbe des pressions dans le cas 2®.

Dans le cas 3**, le polygone ou la courbe des pressions est un polygone ou une courbe funiculaire, non plus des forces directement appliquées, mais de leurs résultantes partielles déterminées par un système de sections. Dans ce cas, il fournit les forces élastiques seulement pour ces sections.

La dénomination de polygone des pressions vient de ce que ce polygone a été d'abord employé à déterminer les pressions dans les voûtes en pierre; mais, sous la forme générale où il est présenté ici, il peut, suivant les cas, fournir des pressions ou des

RKCUERCUE DES FORGES ÉLASTIQUES. Il5

tensions, et, par suite, être appelé polygone (ou courbe) des forces élastiques.

Nous conserverons cependant, en général, le nom consacré, en ajoutant qu'il mériterait d'être appelé aussi \e polygone {ou la courbe) de Méry, du nom de l'Ingénieur en chef des Ponts et Chaussées qui, le premier, en 1842, Ta utilisé dans l'étude des voûtes et est devenu ainsi, après Varignon et Coulomb, l'un des fondateurs de la Statique graphique.

POLTfiOllE on COUBBE UEO DES CSnRES DE PEE88I01I . — Supposons maintenant qu'il s'agisse de sections planes. Quoique les lignes d'action des forces élastiques soient les côtés du polygone des pressions et que, par suite, les traces de ces côtés sur les sections planes forment les centres de pressions, il ne faudrait pas confondre le polygone ou la courbe des pressions avec le lieu des centres de pression.

Reprenons le cas des forces isolées et la section AB {fig- 9, p. 112) comprise entre les points d'application ol^ et as, de sorte que la force élastique qui y agit a pour ligne d'action 2.3, et le centre de pression C est l'intersection de cette ligne avec AB.

Considérons une suite de sections se succédant d'une manière continue suivant une loi quelconque et traçons, en particulier, celles a^b^, «2^27 «3^3, «4^41 «565 qui passent par les points d'application ai, a2, as, a4, as des forces.

Toute section AB comprise entre les points a2, as ou entre les sections a^b^ et a^ 63 subit une pression totale dirigée suivant 2.3. Donc, le lieu des centres de pression C de ces sections est la portion YjYs du côté 2.3 prolongé. Mais, si l'on considère une section très voisine de a^biy comprise entre celle-ci et a^ bt, la ligne d'action delà force élastique qu'elle subit n'est plus dirigée suivant le côté 2.3 du polygone des pressions, mais suivant le côté 1.2. Donc, le lieu des centres de pression des sections comprises entre Oibi et «2^2 est la portion YiY2 de la ligne indéfinie 1.2, comprise entre les sections ai b^ et a2 62.

On voit par là qu'il faut prendre les deux points d'intersection, tels que v, et /, , de chacune des sections a^ b\ passant par les points

Il6 a* SECTION. — GIIAP. VI.

d'application ai des forces, avecles deux côtés voisins du polygone des pressions, et alors le lieu des centres de pression est la ligne

GoYirWîïaTsïW^ïWsïiCi,

qui montre que les centres de pression sont bien, ce qui est évident, sur les directions des côtés du polygone des pressions; mais une section, telle que AB, qui coupe le côté 3.4 de ce polygone n'a pas son centre de pression sur ce côté, mais sur celui 2.3 prolongé. Le centre de pression change brusquement pour deux plans infiniment voisins placés de part et d'autre de l'un des points d'application des forces agissantes.

Pour que ce changement brusque n'ait pas lieu et pour que le polygone des pressions soit en même temps lieu des centres de pression, il faut et il suffit que les deux points y^ et y\ , par exeoiple, se confondent tous deux au point 1 du polygone des pressions, ce qui exige que la section ai bi passant par le point d'application cLi de la force ai 1 coïncide avec la ligne d'action de cette force et qu'il en soit de même des sections ^262? ^^363, ....

Si les forces se succèdent d'une manière continue, de façon que leurs points d'application forment une simple ligne, soient {^ff- 10, p. ii4) pq le lieu des points d'application a des forces et Co C| la courbe des pressions.

Considérons une section quelconque AB qui coupe le lieu des points d'application des forces en a. Soit M le point où la ligne d'action de la force agissant en ce point a rencontre la courbe funiculaire. La force élastique agissant dans la section AB a (§ 68, 2**) pour ligne d'action la tangente à la courbe funiculaire en M et, par suite, le centre de pression est au point de rencontre C de cette tangente avec AB.

On voit donc que le lieu des centres de pression C est une courbe toute différente de la courbe des pressions. Celle-ci d'ailleurs, dans le cas 2° du théorème du § 68, reste la même, quelles que soient les sections considérées, tandis que le lieu des points C change naturellement avec les sections.

Pour que le point C coïncide avec M, il faut et il suffit que la section AB passant au point a où agit la force aM coïncide avec la direction de cette force.

Ainsi :

RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. Ii;

I** 5/ les forces agissantes sont isolées, iljaut et il suffit, pour que le polygone des pressions soit en même temps lieu des centres dépression d'un système de sections, que celles des sections qui passent par les points d'application des forces contiennent leurs lignes d'action, toutes les autres sections pouvant être arbitraires,

2® Si les forces agissantes se succèdent d'une manière continue de façon que le lieu de leurs points d'application soit une ligne, il n'y a qu'un système de sections pour lequel le lieu des centres dépression coïncide avec la courbe des pressions : c'est celui qui est déterminé par les lignes d"* action des forces agissantes,

3** Si les forces agissantes se succèdent d'une manière continue de façon que le lieu de leurs points d'application occupe une aire, il n'y a aussi qu^un système de sections jouissant de la propriété spécifiée : c'est celui déterminé par les lignes d'action des résultantes partielles {celle partie du théorème se démontre comme celle a°).

Ainsi, si, comme il arrive le plus fréquemment, les forces agissantes sont verticales, il n'y a, dans les deux cas de forces continues, que les sections verticales qui possèdent la propriété indiquée, et, dans le cas de forces isolées, les sections, quelles qu'elles soient, pourvu que, parmi elles, se trouvent les sections déterminées par les verticales des forces agissantes.

Dans une voûte en maçonnerie ontcherche généralement la courbe des pressions pour des sections normales à Tintrados. Il n'y a qu^une section pour laquelle le centre de pression soit sur la courbe des pressions : c'est la section à la clef, parce qu'elle est verticale.

Lorsqu'on fait un nombre fini de sections et qu'on cherche le polygone funiculaire des résultantes partielles, pour trouver le polygone lieu des centres de pression dans les sections particulières qu'on a faites, il faut procéder comme il a été dit ci-dessus (§ 68), dans le cas de forces isolées.

TuÂoRÈMB. — Pour qu'un corps ou un système de corps, comme ceux spécifiés dans ce qui précède, soumis à des forces quelcon-

Il8 !»• SECTION. — CHAP. VI.

ques, sauf celles exceptées au § 67, soit en équilibre^ il faut et il suffit :

1° Si les forces sont isolées, que, parmi leurs polygones funiculaires, ilen existe au moins un qui puisse servir de polygone des pressions, c'est-à-dire qui, considéré comme un polygone des pressions, fournisse, pour les réactions des appuis et les actions mutuelles des corpsy des pressions auxquelles les corps puissent résister en vertu de leurs liaisons entre eux et aux appuis;

( Nous dirons que de telles pressions sont compatibles avec les liaisons du système.)

2<*5i les forces sont continues, leurs points d'application formant une ligne, qu'il existe au moins une courbe funiculaire qui, considérée comme courbe de pression, fournisse pour les réactions des appuis et les actions mutuelles des corps des pressions compatibles ai'ec les liaisons.

3** Si les forces sont continues, leurs points d'application formant une aire, si l'on fait un système de sections en nombre fini (ou non) comprenant celles qui contiennent les points de contact des corps entre eux et aux appuis, il existe au moins un polygone (ou une courbe) funiculaire des résultantes partielles correspondantes, qui satisfasse à la condition indiquée i''(ou 2°).

Supposons qu'il s'agisse de forces isolées. La condition est évidemment nécessaire; car, si l'équilibre existe, nous savons (§ 68) qu'il existe un polygone funiculaire qui est un polygone des pressions et fournit, par conséquent, entre les corps, des actions mutuelles qui existent réellement, et, par suite, sont compatibles avec leurs liaisons.

Elle est suffisante.

Supposons, en effet, qu'il existe un polygone funiculaire qui, considéré comme polygone des pressions, fournisse entre tous les corps, y compris les appuis, des actions mutuelles compatibles avec leurs liaisons.

Considérons l'un quelconque des corps et la portion du polygone funiculaire relative aux forces qui le sollicitent. Par hypothèse, les réactions qu'il éprouve de la part des deux corps avec

lesquels il est en contact sont dirigées suivant les côtés extrêmes de cette portion du polygone et égales aux rayons polaires correspondants parcourus en allant de Textrémitéà Torigine du polygone des forces et passant par le pôle. Or, ces forces équilibrent celles qui sont directement appliquées au corps en vertu des propriétés mêmes des polygones funiculaires.

Ainsi, sous Tinfluence de ces réactions auxquelles les liaisons peuvent, par hypothèse, résister, chaque corps, et par suite le système tout entier, se trouve en équilibre.

La même démonstration s'étend aux cas a^ et 3°.

SUB LE TRACÉ DES C0UBBE8 DE PBE88I0H. — Supposons des forces continues dont le lieu des points d'application forme une ligne et admettons, pour abréger le langage, que ces forces soient verticales. Si elles ne l'étaient pas, tout ce qui est dit des lignes ou des sections verticales s'ap-

Fig. a.

ptiquerait à des lignes ou sections faites suivant les lignes d'action des forces données.

Soit {fig, a) AqBqAB un corps ou système de corps soumis à des forces verticales se succédant d'une manière continue suivant une loi quelconque. Soient GoTo la réaction sur l'appui AqBq et GoC la courbe des pressions tracée en traits discontinus.

Menons un nombre fini de sections verticales qui coupent cette courbe au\ points mi, mi, mj, m^, m^ et par ces points circonscrivons à la

<') Ce paragraphe n'est pas indispensable pour comprendre la suite.

a' SECTION. — CHAP. VI.

courbe un polygone. Soient ^i, Sf, Szy s^, Sg ses sommets. D'après une propriété des courbes funiculaires (§ 45 bis)^ le sommet ^i est un poiot de la résultante des forces verticales comprises entre la section extrême Go et la section nti ; de même, le point ^i est un point de la résultante des forces comprises entre les sections mi et m^, et ainsi de suite. Soient Ri, Ri, ... ces résultantes.

D'après la définition même du polygone des pressions, le polygone Co5t*j . , . SgCi est polygone des pressions, relativement aux sections /ni, Wj, mj, m*, mg. Donc, inversement, si, dans le système des corps considérés, on fait un nombre fini de sections verticales, que l'on puisse, par un moyen quelconque, trouver les résultantes partielles des forces agissant entre ces sections et que Ton construise le polygone des pressions relatif à ces résultantes partielles, il sera circonscrit à la courbe des pressions dos

Fig. à.

forces continues, aux points où il est coupé par les sections; le tracé de la courbe inscrite peut ainsi se faire avec une grande exactitude, puisque les points de contact Co, mi, mj, . . . sont connus.

Si les forces sont telles que leurs points d'application couvrent une aire, on sait que la même règle subsiste, c'est-à-dire que \q polygone des pressions relatif aux résultantes partielles Ri, R^, . . . des forces comprises entre un nombre fini de sections verticales est circonscrit à la courbe des pressions relative à des sections verticales se succédant d'une manière continue, et les points de contact sont les points d'intersection des seclions verticales avec le polygone tracé.

Supposons toujours le cas de forces verticales dont les points d'application couvrent une aire. Imaginons un système de sections inclinées se succédant d'une manière continue, par exemple, des sections normales à l'arc k,k{fig.b).

Concevons deux sections infiniment voisines ab, a' b\ et construisons la résultante partielle de toutes les forces agissant entre ces deux sections. Ces forces peuvent se composer du poids de la portion de corps aba' b' et d'un poids comme celui figuré en hachures. En les composant, on obtient une résultante partielle (non représentée sur la figure).

Soiixle point où la ligne d'action verticale de cette résultante coupe la

^<^ctioD ab. Le lieu des points a fournira une courbe. Soit d'ailleurs CoC la courbe des pressions de ces résultantes partielles.

Elle donnera les pressions non pas sur des sections quelconques, comme dans les cas i"* et 7? du théorème du § 68, mais seulement sur les sections considérées, c'est-à-dire sur toute section normale à AqA.

Pour avoir la ligne d'action de la pression sur ab, il suffit par le point a de mener la verticale a m, et la tangente en /n à la courbe des pressions sera la ligne d'action de la pression cherchée. Le rayon polaire correspondant en sera la grandeur.

Ceci posé, parmi les sections considérées, prenons-en un nombre fini; celles qui coupent le lieu des points oc en ai, as, «s ... ; déterminons ces points 2i, 2s, «8, ... par la considération de chaque section a et d'une section infiniment voisine, et la construction de la résultante partielle des forces agissant entre elles, comme nous avons fait pour le point a. Cette construction est facile et le sera surtout si l'on s'aide de la théorie du centre de gravité dont il sera parlé plus loin.

Menons les verticales ai/nj, a^mi, aj/ns, . . ., a^niQ, 27/717, jusqu'à leur rencontre avec la courbe des pressions en /ni, nif, mz, m^, ...; par ces points, circonscrivons un polygone à cette courbe. Les sommets ^i, «s, «3, ... de ce polygone donnent les positions des résultantes partielles des forces agissant entre les sections considérées, et le polygone lui-même est rigoureusement polygone des pressions relativement aux sections particulières ai, as, «3, ....

Donc, réciproquement, ayant choisi un nombre fini de sections parmi celles relativement auxquelles on veut tracer une courbe des pressions, déterminez les points aj, 2s, ... sur ces sections et les résultantes partielles Ri, Rj . . . des forces comprises entre elles (ce qui ne pourra se faire qu'approximatîvement ) ; tracez le polygone des pressions relatif aux forces en nombre fini R], Rj, R3, ... et menez les verticales des points 21, 2s, ... jusqu'à leur rencontre en /Wi, /ns, ... avec ce polygone. Inscrivez une courbe dans ledit polygone, les points de contact étant /ni, /ns, .. ., vous aurez la courbe des pressions cherchée avec une grande approximation.

Remarque, — Dans les voûtes en maçonnerie où cette construction peut être utilisée, nous verrons que la courbe des pressions ne doit pas î^'éloigner beaucoup des milieux des sections ; il en est de même des points 2; par suite, on néglige parfois de déterminer les points a et l'on inscrit la courbe dans le polygone sans que les points de contact aient été déterminés. Mais il faudrait se garder de croire que ces points de contact soient

^ts points où les sections elles-mêmes coupent le polygone des pressions.

Gft n'est que pour des sections verticales qu'il en serait ainsi.

12Si Q,' SECTION. — CHAP. VI.

GOHBinOHS POUR aUE LES PBE88I0H8 PUISSEHT ËTBE DÉTEBlinitES PAB LA STATIftUE. — Pour que des corps comme ceux définis au § 66 soient en équilibre, il faut et il suffit que Ton trouve au moins un polygone funiculaire des forces données qui puisse servir de polygone des pressions (*). Or trois conditions sont nécessaires et suffisantes pour définir un polygone funiculaire. Donc :

i" Si les liaisons sont telles que, en vertu de leur définition même, elles assujettissent le polygone des pressions à trois conditions, celui-ci pourra être tracé et fournira les pressions qui naissent dans le système;

2^ Si les liaisons sont telles que le polygone des pressions soit assujetti à plus de trois conditions, il ne pourra, en général, pas exister, et, par suite, l'équilibre du système sera impossible, à moins qu'entre les forces données il existe certaines relations que la Statique permettra toujours de trouver (§ 50). Si, par exemple, le polygone des pressions est assujetti à passer par n points, n étant supérieur à 3, on tracera le polygone funiculaire des forces données passant par trois des n points. S'il se trouve qu'il passe de lui-même par les n — 3 autres, l'équilibre sera assuré et les pressions déterminées. Dans le cas contraire, l'équilibre esl impossible, puisqu'il est nécessaire, pour l'équilibre, qu'il existe un polygone funiculaire qui soit polygone des pressions;

3" Si les liaisons assujettissent le polygone des pressions à moins de trois conditions, alors il existera une infinité de polygones funiculaires pouvant servir de polygone des pressions. L'équilibre sera, au point de vue statique, également bien assuré par chacun d'eux et, pour trouver quel est le véritable, il faut avoir égard à la nature et à la forme des corps, ce qui exige qu'on ait recours à la

(') Nous parlerons toujours du polygone des pressions, étant entendu que, si les forces sont continues, le polygone est remplacé par une courbe. En parlant de polygones, on comprend tous les cas, puisque, ce qui est vrai pour un polygone d'un nombre quelconque de côtés est vrai pour une courbe, tandis que 1 "inverse n'a pas lieu. De môme, en considérant des forces isolées qui peuvent être aussi voisines que l'on veut, on comprend le cas des forces continues, tandis que ce dernier cas ne comprend pas le premier.

ihéorie de rélasticîté ou, si la température intervient, à celle de la chaleur.

Quelques applications vont éclaircir ces considérations générales.

REKAaaUES SUR LES CHABIltBES. — Nous regarderons une charnière comme un cylindre de dimensions infiniment petites ou même comme un cylindre circulaire de dimensions finies traversant deux ou plusieurs corps. Le point où Taxe du cylindre perce le plan de symétrie contenant les forces se nomme le centre ou point d'articulation,

11 peut se faire qu'on applique des forces à la fois sur les corps et sur Taxe de la charnière ou qu'on en applique seulement sur la charnière ou seulement sur les corps.

Soit {Jig, I ij p. 124) (A.) un des corps en nombre quelconque traversés par la charnière dont le centre ou point d'articulation est G. On peut la supprimer et regarder le corps (A) comme libre, pourvu qu'aux forces qui le sollicitent on adjoigne une force R égale à la réaction qu'il éprouve de la part de la charnière. Cette réaction est normale à la surface cylindrique de la charnière au point où celle-ci presse le corps ; mais ce dernier point n'est pas connu a priori; il dépend des forces qui agissent sur le corps et sur la charnière. Ainsi, si deux forces F et F|, égales et opposées et de direction quelconque, passaient par le point C, la charnière ferait naître sur le corps (A) une réaction R égale et opposée à F et sur (B) une réaction Ri égale et opposée à F|. Si les forces F et ¥x changeaient de sens ou de direction, il en serait de même de celles R et R<, et les points de contact de la charnière et des corps, c'est-à-dire les points où se produisent les pressions, seraient tous deux sur le nouveau diamètre déterminé par la ligne d'action commune des deux forces.

Ce point n'est pas toujours aussi facile à déterminer que dans cet exemple; mais, quel qu'il soit, si l'on fait abstraction du frottement, la réaction entre les deux surfaces en contact est dirigée suivant leur normale commune et, comme l'une de ces surfaces est cylindrique, toutes ses normales passent par son centre C. Ainsi,

124 '*' SECTION. — CIIAP. VI.

pour rendre libre un des corps en nombre quelconque traversés par une charnière C, il suffit de lui appliquer une force Kpa^ssant par le point C ou centre d^ articulation. La grandeur et la direction de cette force sont d^ ailleurs a priori indéterminées et dépendent des conditions d'équilibre entre les forces agissant tant sur la charnière que sur les corps qu'elle relie.

Toute direction donnée à ces forces est compatible avec le mode de liaison du système, c'est-à-dire que la charnière peut résister à des forces passant par son centre, quelles que soient

Fig. II.

les directions de ces forces et, par suite, aussi exercer sur les corps qu'elle relie des réactions de directions quelconques. La liaison entre chaque corps et la charnière est faite précisément pour que le corps puisse, de son côté, résister à de telles réactions.

GOramOHS D'ÉaUIUBBE DES POLTfiOHES ABnCULÉS LORSaUE DES FORCES ASISSENT A LA FOIS SUR LES COTÉS ET LES SOIÉMETS DU POLTOOHE. -

Considérons un système de corps ayant tous un même plan de symétrie dans lequel agissent les forces qui le sollicitent, articulés entre eux de manière à former un polygone articulé, c'est-à-dire de manière que chaque corps ne porte que deux charnières (la ligne de jonction de leurs centres forme un côté du polygone articulé) et que chaque charnière ne traverse que deux corps.

Théorème. — Quelles que soient les forces appliquées, soit aux différents corps, soit aux charnières, que les corps extrêmes s^ appuient à des articulations fixes ou soient encastrés {c'est-à-dire fixés en tous les peints d^une section plane les terminant), pour que le système soit en équilibre, il faut et il

RECHERCHE DBS FORCES ELASTIQUES. laS

suffit que Von puisse trouver un polygone funiculaire de toutes les forces agissantes (sans distinction entre celles appliquées aux corps ou celles appliquées aux charnières) qui passe par tous les points d'articulation. Ce polygone, qui sera le polygone des pressions, fournira alors non seulement les réactions des appuis et les actions entre les corps et les charnières, mais la résultante des forces élastiques agissant dans une section quelconque faite dans F un des corps.

En effet (§ 68), pour que le système soit en équilibre, il faut et il suffit qu'on y puisse tracer un polygone des pressions, c'est-à-dire un polygone tel que la résultante des forces exercées dans une section quelconque, plane ou courbe du système, soit dirigée suivant un côté de ce polygone et soit représentée par le rayon polaire correspondant.

SoitC une charnière {fig» 12, p. 126).

Faisons une section mixtiligne abAcd suivant Vabout ou extrémité de l'un des deux corps traversés par la charnière C. Si A est le point de contact entre la charnière et le corps, il n'agit dans cette section qu'une seule force, celle exercée par la charnière et qui passe nécessairement par son centre C. 11 faut donc que le côté 1.2 du polygone des pressions avec lequel cette force coïncide passe aussi par le point C.

Ainsi, le polygone des pressions doit passer par le centre de la charnière G et, comme nous pouvons faire le même raisonnement pour chaque charnière, il doit passer par tous les points d'articulation.

Mais nous savons que le polygone des pressions est un des polygones funiculaires des forces agissant sur le système. Donc, il est nécessaire qu'on puisse trouver un polygone funiculaire de ces forces passant par tous les points d'articulation.

Cette condition est d'ailleurs suffisante en vertu du théorème du § 71 ; car un polygone funiculaire passant par les centres d'articulation étant considéré comme un polygone des pressions ne fournit entre les charnières et les corps que des actions mutuelles

passant par ces centres et par conséquent (§ 73) compatibles avec

les liaisons du système.

Remarque. — Supposons [fig, 12) qu'aucune force n'agisse

a' SECTION. — CHAP. VI

sur la charnière et que les deux forces limitrophes de la charnière soient F| et F,; alors la pression que supporte la section abkcd doit coïncider avec le côté 1.2 du polygone des pressions joignant les forces F< et F, (§ 68).

Si Ton fait la section a'b'K'cd'j la pression au point de contact Al' du second corps traversé par la charnière doit coïncider avec le même côté, puisque les points d^application des forces F< et Fj sont aussi limitrophes de cette seconde section. Ainsi, dans ce cas, le polygone des pressions ne présente pas de sommet au point d'articulation.

Les forces exercées en A et A' par la charnière sur les deux

Fig. 12.

corps ont même direction ; les points de contact A et A' sont diamétralement opposés, ce qui doit être, puisque, tout le système devant être en équilibre, la charnière en particulier doit être en équilibre et, comme elle ne supporte d'autres forces que les réactions en A et A', ces deux réactions doivent être Tune et l'autre dirigées suivant AA'. Notre théorème général indique d'ailleurs bien qu'elles sont égales et opposées, étant représentées toutes deux par le rayon polaire parallèle à 1.2 parcouru dans les deux sens.

Si (Jig' 12 bis) il agit une force F au point G, alors la pression exercée sur la section abKcd coïncide avec le côté 1 .G du polygone des pressions qui relie les deux forces Y^ et F limitrophes de cette section, tandis que la pression exercée sur la section dV Sld d coïncide avec le côté G 2 qui relie les forces F et F2 limitrophes de cette seconde section. Ainsi, dans ce cas, le polygone des pressions présente un sommet au point d^ articulation.

On peut résumer cette observation ainsi :

i" Si aucune force n^agit sur une charnière C, les actions mutuelles des deux corps et celles qu'ils exercent l'un et l'autre sur la charnière ont pour grandeur commune le rayon polaire correspondant au côté du polygone des pressions qui passe au point C.

2" Si une force agit au point G, il passe en ce point deux côtés (lu polygone des pressions ; l'action de chaque corps sur la charnière est égale au rayon polaire correspondant à celui des deux côtés qui est placé du côté de ce corps.

POUSSÉE D'Ul ABC POSÉ SUR APPUIS SIMPLES, AVEC UHE GHAEHIÉRE. —

Théorème. — Quelles que soient les charges que porte un arc posé sur deux tourillons fixes A e/ B [de niveau ou non) et portant une charnière C en l'un de ses points, le polj" go ne funiculaire des forces qui le sollicitent, passant par les trois points A, B, C, est son polygone des pressions. Par conséquent, les côtes extrêmes de ce polygone fournissent les directions des réactions des appuis; les grandeurs de ces réactions sont données par les rayons polaires correspondants. Ce polygone est d'ailleurs facile à tracer (§ 4S).

Soient (Jig* 13) O le pôle de ce polygone et ab (fig- i3) la ré-

suUante des forces agissant sur l'arc tout entier et sur la charnière (si celle-ci porte elle-même une charge); les réactions des appuis sont représentées par Oa et 60. Donc, si l'on mène une parallèle Oo) à AB, la poussée de l'arc est donnée par la longueur Ow, les réactions verticales par wa etèw. D'après cela, si l'on ne cherche que les réactions des appuis, il suffit de déterminer la position du pôle. Si, au contraire, on veut avoir les forces élastiques et actions des corps sur les charnières, il faut tracer le polygone funiculaire.

Fig. 13.

Fig. i3.

li^'^^

Of~----

co

Remarque, — S'il n'y avait pas de charnière C, la condition, pour le polygone des pressions, de passer par ce point n'existerait |)as. Tous les polygones funiculaires ayant leurs pôles sur la ligne indéfinie wO menée par le pointa) parallèlement à AB, passant par les points A et B (§ 43), pourraient (§ 71) servir de polygone des pressions et assureraient l'équilibre au point de vue statique, de sorte ^a'une condition serait, dans ce ca^, à emprunter à ta théorie de l'élasticité pour la ' détermination du polygone des pressions.

ARG EHGASTBÉ k UN BOUT, SIMPLEMENT APPUTÉ k L'âUTBE AVEC DEUX GHABHIËBES; BEMARQlUE SUR CET ARG SAHS GHARHIÉRE. — Si un arc est

encastré {fig- 14) suivant une section AB et simplement appuyé sur un tourillon fixe à son autre extrémité Ag et qu'il porte deux charnières C et C, son polygone des pressions est défini par la

condition de passer par les trois charnières Aq, C, G; nous savons donc le tracer (§ 45).

Soient Aq 1.2. 3.4. 5.6.7D ce polygone {/tg- 14) et O son pôle ijlff' i4)- La réaction de l'appui fixe A^ est dirigée suivant A^>1 et représentée par le rayon polaire correspondant Oa,

La résultante des réactions de Tappui fixe AB est, de même, dirigée suivant D7 et égale au rayon polaire correspondant

Lorsque l'arc est complètement encastré, c'est-à-dire lorsqu'il y a adhérence entre lui et son appui le long de AB, le centre de pression D peut se trouver hors du corps. Si, au contraire, il est simplement posé sur l'appui AB sans lui être invariablement relié,

Fig. li. Fig. I.Î.

alors, cet appui ne pouvant résister qu'à des compressions, le centre de pression se trouve nécessairement entre les points A et B(§64, /?em.).

A Ja charnière C où il n'y a pas de force directement appliquée, Faction de chaque corps sur la charnière est dirigée suivant le côté 2.3 du polygone funiculaire et représentée par le rayon polaire correspondant. Ces deux actions sont égales et opposées.

Sur la charnière G où agit une force et où, par suite, le polygone des pressions a un sommet, l'action de la partie CC de l'arc est dirigée suivant le côté 4G' ou 4.5 et égale au rayon polaire correspondant 4*5, et l'action de la partie ABC sur la même charnière est dirigée suivant le côté 6.5 ou 6G' et représentée par le rayon polaire correspondant 6.5.

Remarque. — Si l'arc ne portait pas les deux charnières C

a" SECTION. — CHAP. VI.

et G', le polygone des pressions ne serait plus soumis qu'à la seule condition de passer par le point Aq. Les deux autres conditions nécessaires à sa détermination seraient donc à emprunter à la théorie de l'élasticité {voir tome II).

ABC EHGâSTBÉ AUX DEUX BOUTS AVEC TROIS GHiBMIÉBES. — Si Tare AoBoAiBi [fig- i5), encastré suivant ses deux sections extrêmes, porte trois charnières G, G', G'', il faudra encore que le polygone des pressions passe par ces trois points, ce qui permet de le tracer

Fig. i5.

(§ 45), et si Go 1.2. 3. 4.5. 6. 7 Gi est ce polygone dont trois sommets 2, 4 et 6 se trouvent coïncider avec les charnières, parce qu'on a supposé des forces directement appliquées à chacune d'elles, les côtés extrêmes et leurs rayons polaires correspondants (ceux-ci non représentés) donnent les résultantes des réactions des appuis, et de même, pour une section quelconque AB, le côté 3.4 et le rayon polaire correspondant donnent (§ 68) la résultante des forces élastiques de celte section.

Remarque. — Si l'on supprime les charnières, on ne possède plus a priori aucune condition à laquelle le polygone des pressions soit soumis.

Tous les polygones funiculaires des forces données, sans exception, peuvent être adoptés comme polygone des pressions sans que les conditions d'équilibre cessent d'être satisfaites. Par conséquent, les trois conditions nécessaires pour définir celui de. ces

RECHERCHE DES FORCES ÉLASTIQUES. l3l

polygones funiculaires qui constitue, en réalité, le polygone des pressions, sont alors à emprunter à la théorie de l'élasticité ou de la résistance des matériaux {voir tome II).

F0LT60HE DE YABIfiHOH. — Le théorème du polygone de Varignon que ce célèbre géomètre a donné en i-jaS et qui constitue le point de départ de toute la Statique graphique est un cas particulier de celui établi au § 74. C'est le cas où il n'agit de forces que sur les charnières et non sur les corps eux-mêmes. Alors, puisque le polygone des pressions passe par tous les points d'articulation, il coïncide nécessairement avec le polygone ayant ces points pour sommets.

Ainsi :

Théorème. — Pour qu'un système de corps comme ceux définis au théorème du § 74 ne supportant aucune force, le système n'étant soumis qu'à des forces agissant sur les charnières, soit en équilibre, il faut et il suffit que le polygone dont les sommets sont les points d'articulation soit Vun des polygones funiculaires des forces agissantes.

Ce polygone est alors le polygone des pressions du système.

En raison de son rôle historique et de son importance, nous allons, ne quelques mots, établir ce théorème directement.

Soient {fig, 16, p. i32) 1, 2, 3, 4, 5 les points d'articulation sur lesquels agissent les forces données.

Chaque corps est traversé par deux charnières et les corps extrêmes 1 C© et 5C s'appuient sur des charnières fixes ou sont encastrés. Supposons, par exemple, que le premier porte sur une charnière fixe Go et que le second soit encastré au mur suivant un plan fixe G.

Observons que ce corps est ainsi entièrement fixe; il ne peut pas, comme les autres, tourner autour d'une charnière. La charnière 5 qui le traverse est donc elle-même fixe et tout se passe comme si l'on ne considérait que le polygone Gq 1.2. 3. 4. 5 porté sur charnières fixes à ses deux extrémités.

Pour que le système formé :

i* Par les corps;

2* Par les cbarnières non fixées 1, 2, 3, 4, soit en équilibre, il faut cl il

a* SECTION.— CUAP. VI.

suffit que chaque corps et chaque charnière soient séparément en équilibre sous l'action des forces qui leur sont appliquées.

Or, si l'on considère le corps traversé par les deux charnières 3 et i. on peut (§ 73) supprimer ces charnières et regarder le corps comme libre, pourvu qu'on lui applique une force convenable passant par le centre de chaque charnière. Mais ici, le corps ne supportant pas d'autre force que ces deux, réactions, pour qu'il soit en équilibre, il faut et il suffit qu'elles soient égales et opposées, ce qui exige qu'elles soient dirigées Tune cl l'autre suivant le côté 3.4 du polygone formé par les centres d'articulation. Soient /av celle appliquée en 3 et /43 celle égale et opposée à la précédente appliquée en 4. Nous assurons ainsi l'équilibre de tous les corps en

Fig. IG.

appliquant, suivant les lignes de jonction, des paires de forces égales et opposées et de grandeurs indéterminées. Ces forces sont

/lOï/oi suivant le côté CqI ; f\%^f%\ suivant le côté 1.2;

et ainsi de suite jusqu'aux forces /v5 et /s* dirigées suivant le côté 4.5. Qaant au dernier corps, comme il est encastré, il est en équilibre, quelles que soient les forces qui le sollicitent ; il ne fournit donc aucune condition d'équilibre.

Si nous considérons, à présent, Tune quelconque des charnières, par exemple, celle 3, elle supporte : i° la force directement appliquée Fj; a"* la pression du corps ada'd, laquelle est égale et opposée à la réaction /j^ que la charnière elle-même exerce sur ce corps; soit /j^ cette force; 3* la pression du corps articulé en 2 et 3, laquelle est, de même, une force /3, égale et opposée à/sj.

Donc, les trois forces /jj, /j^, F3 doivent être en équilibre, ce qui exige que celles /3J et/a^ admettent Fj pour résultante ou soient les composantes de F) suivant les deux côtés adjacents du polygone formé par les points d'articulation.

Ainsi, si l'on décompose chacune des forces Fi, Fj, ...en deux au-lres suivant les côtés adjacents du polygone articulé^ les deux composantes telles que fx^/f^y^\ fx\^ f\\\ ..., dirigées suivant chaque

RBCHERCnS DES FORCES ÉLASTIQUES. l33

côté du polygone^ doivent être égales et opposées, et ce sont là les conditions nécessaires et suffisantes pour que tout le système soit en équilibre.

Ot, comme on le voit sur \dijig, i6, où la décomposition est faite ou en se reportant au § 33, cela revient à dire que le polygone articulé doit être un polygone funiculaire des forces données. Chaque rayon polaire exprime la pression du côté correspondant.

Le rayon extrême donne en grandeur, direction et sens la pression/' e\crcée sur le plan C; car le point 3 rendu libre doit, comme les autres, être en équilibre sous l'action de la force F| et de deux forces égales et opposées à celles /j* et f,

Fig. 16.

CoROLLAïKE I. — Soient {fig. 16) f la réaction du plan lîxc Q et /o, celle du. point fixe Cq. On peut rendre le polygone Col.2.3.4.5C| libre pourvu qu'aux forces Fi, F2, • • -, F5 agissant en ses sommets on adjoigne des forces appliquées suivant ses côtés extrêmes et égales à/oj et/".

\insi :

Pour qu'un polygone articulé formé de corps comme ceux spécifiés ci'dessus et libre soit en équilibre sous faction de forces agissant : i** en ses sommets, 2° en ses extrémités, il faut et il suffit qu'il soit un des polygones funiculaires des forces agissant sur les sommets et que les deux forces agissant aux deux extrémités soient dirigées suivant les côtés extrêmes de ce polygone funiculaire et égales aux rayons polaires correspondants,

CoaoLLAiRB II. — De là, on déduit, pour le cas où le polygone est fernié :

l34 a* SECTION. — CHAP. VI.

Pour qu!iin polygone articulé^ fermé et libre, aux sommets duquel agissent des forces, soit en équilibre, il faut et il suffit que le polyone de ces forces soit fermé (condition évidente en vertu des § 35 et 46) et que le polygone articulé donné soif Pun des polygones funiculaires des forces agissantes.

PBOBLËMES SUR LES POLTGOHES D£ VABIGHOir OU P0LT60HES ABTIGULÉS. — Problème I. — Un polygone Q^\Ji,i,it,^C\{fig. 16), dont les longueurs des côtés sont données, ainsi que les forces agissant sur ses divers ^sommets, est porté à l'une de ses extrémités sur un tourillon fixe C© et encastre à l'autre sur un plan fixe C|. Le corps encastré a sa charnière en un point donné S; de plus un côté 2.3 du polygone est assujetti à passer par un point donné H; trouver .* i® lajorme d'équilibre du polygone ; a** les résultantes des pressions ou tensions des corps articulés dont il est formé; 3^ les pressions sur les appuis.

Il suffit de tracer le polygone funiculaire des forces données assujetties à passer par les trois points A, 5, H (§45).

Soit O le pôle parfaitement déterminé de ce polygone. L'un des corps, celui traversé par les charnières b et b' par exemple, supporte deux pressions égales et opposées f^A^f^ représentées par le rayon polaire 3.4 (fff' ï6). Si l'on fait une section quelconque AB, qui divise ce corps en deux parties (a) et (6), la partie (b) est en équilibre sous l'action de la force ^4 3 et de la résultante fi des forces exercées sur (b) suivant la section AB. Il faut donc que cette résultante soit égale et opposée à/43, c'est-à-dire ^gale au rayon 4*3 et dirigée suivant la ligne d'action 4.3, quelle que soit l'orientation de la section AB.

Remarque. — D'une manière générale, si un corps, quelle qu'en soit la forme, est en équilibre sous l'action de deux forces, la résultante des actions élastiques d'une section quelconque (non parallèle à la ligne d'action commune de ces deux forces) est constante, égale à chacune de ces deux forces et dirigée suivant leur ligne d'action.

RECHERCHE DES POUCES ÉLASTIQUES. l3'!>

C'est ce qu'on exprime en disant qu'un pareil corps est soumis à une pression ou une tension constante.

Ici, pour chaque corps, celte tension ou pression est fournie par le rayon polaire parallèle à la ligne qui joint les deux points d'articulation du corps. Le rayon polaire Oa donne la tension du côté Col et en même temps la réaction du point fixe C©. Le côté extrême oCf du polygone est la ligne d'action de la résultante des réactions du plan fixe C| et le rayon polaire bO donne la grandeur de cette réaction.

Tout cela résulte d'ailleurs immédiatement de ce que le polygone articulé est polygone des pressions (§ 68, 69) du système.

Problème IL — Inversement, étant donnés un polygone articulé fixé en ses deux extrémités, ainsi que les directions des forces agissant en ses sommets, trouver les grandeurs à donner à ces forces pour que le polygone soit en équilibre.

Par un point O {fig- 16 et 1 6, p. 1 32 et 1 33) menons des rayons parallèles aux côtés donnés du polygone; puis {fig- i6), d'un point a arbitrairement choisi sur le premier rayon, menons des lignes I, 2, 3, ..., parallèles aux directions données des forces F<,F2, F3, ...; ces parallèles limitées aux différents rayons représentent les grandeurs des forces cherchées.

Le point a ayant été choisi arbitrairement, on voit que la grandeur de l'une des forces peut être donnée arbitrairement, et alors les grandeurs des autres s'ensuivent.

POLTGOIES ET GO0RBBS STJSPEHDTJS, SUPPORTÉS. — Lorsque, comme dans lafig. 16, tous les corps articulés sont comprimés, ce qu'on exprime en disant que tous les cotés du polygone sont comprimés ou pressés, on dit que le polygone est supporté par ses deux points d'appui; dans le cas contraire, qui se présenterait si l'on changeait le sens de toutes les forces F^, F^, . . ., on dit qu'il est suspendu, parce que le premier cas se présente généralement dans les ponts ou arcs supportés, et le second dans les ponts suspendus.

Dans ces derniers, on pourrait, sans troubler l'équilibre, rem-

placer les corps solides qui forment les côtés du pol^^gone par des corps flexibles, tels que des fils, cordes ou câbles en fer. C'est de là, précisément, que vient le nom générique de polygone funiculaire{en allemand, Seil-Polygon, polygone de corde ou de fil).

Si les points d'articulation se rapprochent indéfiniment, les polygones d'équilibre, supportés ou suspendus, sont remplacés par des courbes ou arcs d'équilibre, supportés ou suspendus. Pour les courbes suspendues, on peut employer un corps parfaitement flexible et compressible, comme un fil, une corde, etc.

Pour les arcs ou courbes supportées, on peut aussi réaliser sensiblement des articulations se succédant d'une manière continue,

Fig. 17.

Fig. 17.

en employant un corps parfaitement flexible, pourvu qu'il résisie à la compression, pai> exemple, un ruban d'acier.

Toutefois, un arc parfaitement flexible comprimé n'est jamais en équilibre stable ; le moindre dérangement le déforme complètement et l'écarté de sa forme primitive; tandis qu'un câble ou une corde suspendue, lorsqu'elle est en équilibre, est en équilibre stable, c'est-à-dire que si on la dérange un peu de sa position elle y revient après quelques oscillations.

APPLIGATIOH A UN POLTOOHE BÉfiUUEB PORTAHT DES FORCES EH SES SOMMETS. — Gomme application du problème II du § 79, soit {fig' "17) A1.2.3.4B une portion de polygone régulier posé en ses extrémités sur tourillons fixes A et B, soumis à des forces F|, Fa, F3, F4 dirigées suivant les bissectrices des angles du polygone.

RBCnERCHB DES FORCES ÉLASTIQUES. l37

Construisons {^fig* 17) les rayons polaires et les forces. De ce que les lignes d'action sont les bissectrices des angles du polygone, il résulte que les triangles Oac, Ocrf, . . . sont équiangles et, par suite, isoscèles et égaux. Donc le polygone des forces est aussi une portion de polygone régulier; toutes les forces F|, Fj, ... sont donc égales ; soit F leur valeur commune. On a

F = Ocrr <:û?=rfe = eh.

Les pressions des côtés Al, 1.2, ... du polygone donné sont

aussi toutes égales, étant représentées par les rayons Oa, Oc,

Désignons par t la valeur de cette pression et soient G le centre du polygone donné, R = 01 = 02, ... son rayon et rzziOK son apothème.

Les triangles isoscèles semblables a Oc et OAl donnent

ac 0a

ou, en désignant par / la longueur du côté du polygone donné,

doù

Ainsi, une portion de polygone régulier articulé, fixé en ses extrémités, est en équilibre sous Faction de forces égales entre elles de grandeur commune quelconque F, dirigées suivant ses bissectrices; tous les côtés du polygone sont également pressés (ou tendus, si le polygone est suspendu) et la valeur de la pression est à celle de la force F comme le rayon du polygone est à la longueur de son côté.

AFFUGATION A UIE PORTIOH DE POLTOOHE RÉGUUSR PORTAHT UIE PRES- SIOV NOBIIALE UHIFOBME. — Supposons que le polygone porte une pression normale uniforme . de /?^s par unité de longueur; on demande de trouver la tension ou pression de ses côtés.

l38 »• SECTION.— CHAP. VI.

C'est une application du théorème du § 78, plus général que celui de Varignon ( * ).

La résultante des pressions agissant sur chaque côté du polygone est {fig- 17) une force pi appliquée au milieu de ce côté. Pour l'équilibre, il faut et il suffît (§ 74) que le polygone funiculaire de ces forces pi passe par les points d'articulation. Or, si l'on construit : 1° la circonférence circonscrite au polygone donné; 2® le polygone circonscrit à cette circonférence suivant les sommets du polygone donné, on obtient un polygone régulier qui sera le polygone funiculaire cherché et qui joue, par rapport aux forces p/, le même rôle que, dans le problème du paragraphe précédent, joue le polygone donné relativement aux forces F.

Donc, pour avoir le rayon polaire de ce nouveau polygone, il suffit d'appliquer la dernière formule; le premier membre sera le rayon polaire cherché que nous appellerons /'. Il faut, dans cette formule, remplacer F par/?/.

D'ailleurs, le rayon du nouveau polygone est CI, son côté estlJ; donc

/'CIjGIiCSir "pi ~ \i ~ 12 ~ 2 2K ~ 2 7'

en désignant par r l'apothème du polygone donné. Ainsi

t'^-pr,

résultat facile à établir aussi directement.

Mais le rayon polaire ^', parallèle à un côté IJ, représente la valeur commune des actions mutuelles que deux côtés contigus exercent l'un sur l'autre ou, si l'on veut, l'action de chaque côté sur la charnière. Ainsi : un polygone régulier soumis à une pression uniforme p est en équilibre et la valeur commune des actions mutuelles que ses divers côtés exercent les uns sur les autres sont le produit de p par l'apothème du polygone.

(*) On pourrait ramener le problème au prcccdent en décomposant la résultante des pressions agissant sur chaque côté en deux autres de môme direction que lui et appliquées aux sommets. Nous préférons traiter la question comme une application simple du théorème du § 74.

POUSSÉE D'Xni ABG GIRCULAIBE SUPPOSÉ PLEZDLE SOUMIS k URE PRESSIOH lOBHALE UHIFOBME. — Ce quî précède étant vrai pour un polygone régulier d'un nombre quelconque de côtés est vrai pour un arc de cercle et montre qu'un arc de cercle même flexible, appuyé à ses extrémités, reste en équilibre sous l'influence d'une pression normale. L'équilibre est instable si l'arc est supporté, stable dans le cas contraire. L'apothème du polygone dont il a été question au paragraphe précédent devient ici le rayon de l'arc. Ainsi : si {fig, i8) un arc AIB de rayon /• est fixé à ses deux extrémités

et qu'il supporte une pression normale uniforme (de l'extérieur vers l'intérieur), il est comprimé et sa pression en chaque point est t=zpf\ Les pressions qu'il exerce sur ses appuis sont aussi égales k pr et tangentes à l'arc en A et B. Soient AB = a a la portée de l'arc et IH =/ sa flèche. Si AE ^^ pr est la pression que supporte l'appui A, la composante verticale Aè de cette force est donnée par la relation

Xb JΠ,