APPLICATION AUX ARCS APPUYES

Supposons, h présent, que toutes les charges et, par suite, les réactions verticales soient supprimées et qu^on applique aux deux extrcmilés de Tare deux forces Tune et l'autre égales à l'unité de force, dirigées toutes deux suivant la corde et de sens opposés.

Ces deux forces étant données et étant les seules agissantes, on peut trouver les tensions ou pressions qu'elles déterminent.

A cet effet, sur \^Jig- 74 biSy PL A^VIy est représenté en doubles lignes le polygone ab de ces deux forces. Il est clair que toutes les barres principales inférieures forment {/ig* 74<), avec la corde AB de l'arc, un polygone fermé et toutes les barres horizontales supérieures, ainsi que les deux barres inclinées qui les relient à l'arc forment, avec la corde, un autre polygone fermé. Donc (§96èw) toutes les premières devront partir de l'une des extrémités de la double ligne (par exemple de celle de gauche), de manière à former un nœud a, et toutes les dernières, de l'autre extrémité, formant ainsi un second nœud b. Les autres lignes se placent ensuite sans difficulté. On n'a tracé, sur la figure, que la moitié des tensions, l'arc se trouvant symétrique.

Désignons par X/ la tension ou pression de la barre portant le n* i ainsi obtenue par l'épure, le nombre X/ étant pris positivement dans le premier cas et négativement dans le second (*).

Si la poussée est égale à Q unités de force, il est clair que la tension qu'elle produira sur la barre n"* t, au lieu d'être X/, sera A/Q. Par suite, la tension totale ti de cette barre due aux actions simultanées des charges et réactions verticales d'une part et à la poussée de l'autre sera

expression linéaire relativement à la constante indéterminée Q, dont les coefficients sont donnés en grandeur et en signe graphiquement.

ABC EVGASTBË A L'UHE D£ SES EZTBÉMITÉS ET UBBEMEHT APPUTÏ A L'AUTRE. — Soient (Jig- 33, p. 204) A et B les deux extrémités

(') Si l'épure faite en prenant les deux forces agissanles égales à l'unité de

d'un arc, l'extrémité A étant simplement appuyée, c'est-à-dire fixe; l'extrémité 6 est également fixe; mais, en outre, l'extrémité Cde la barre BC est assujettie à demeurer sur la ligne donnée BC. lien résulte qu'il s'introduira ici une indéterminée de plus que dans le cas précédent, à savoir la réaction normale de la culée en un point C, réaction que nous appellerons N.

Il s'agit de trouver graphiquement la tension d'une barre quelconque en fonction des deux constantes indéterminées Q et N.

Nous déterminerons, d'abord, comme ci-dessus, pour chaque barre, les deux termes de l'équation (i), c'est-à-dire les tensions dues aux charges et réactions verticales, ainsi qu^à la poussée horizontale Q.

Fig. 33.

Pour trouver ensuite Tinfluence de la réaction N que nous compterons positive dans un sens convenu, par exemple dans le sens indiqué sur la figure et négativement en sens contraire, appliquons au point G suivant CN une force 4- i . Déterminons en A et B deux forces r et r parallèles à CN et faisant équilibre à une force + i appliquée suivant CN. Ces forces sont parfaitement déterminées et faciles à trouver graphiquement (§ 42)^ puis, par la construction d'une figure réciproque, on aura les tensions que les trois forces en équilibre i , r et r' produisent sur les barres de l'arc donné, supposé réticulaire. Soit ^,- la tension positive ou négative ainsi produite sur la barre n° i et mesurée sur l'épure.

Si, suivant CN, au lieu d'une force i, on applique une force N, il est clair qu,e les réactions correspondantes seront Nr et Nr' et les tensions des barres 5/ x N.

Donc, la tension totale ^i d'une barre sera ici

(a) f/ = ^?4-X/xQ-H5/xN,

force était trop petite, on les prendrait égales à n fois cette unité; puis, pour obtenir \^j on diviserait les longueurs obtenues, sur répure, par le nombre /t.

APPLICATION AUX ARCS APPUYES. !l55

équation linéaire où les coefficîenls sont connus graphiquement et qui fournit les tensions dès qu'on connaîtra les deux réactions N et Q.

§ ITl.

ABGiaiGASTBÉ A SES DEUX EXTIUËMITÉS. — Si Tare considéré est encastré non seulement suivant BC, mais aussi suivant AC, on devra considérer en D une réaction N' analogue à celle N. En désignant par ^î les coefficients correspondants analogues à siy on aura, pour la tension //,

(3) ^/ = f J -f- X/x Q -f- 5/ X N -H si X N'.

Si l'arc est symétrique, et si j est le numéro de la barre symétrique de celle portant le n® t, on aura

Si= sj et 8j= s'i.

Si, en outre, la charge est symétrique, alors N = N' et

(4) ti= t\ -H X,- X Q -+- {Si-\- Sj)^,

Il n'y a plus que les deux indéterminées N et Q. Dans ce cas, on détermine directement les coefficients Si-i-sj en supposant à la fois des réactions H- i en G et en D. Ces deux forces symétriques seront équilibrées par deux forces verticales faciles à déterminer (§ 42) appliquées en A et B. On n'aura à faire Tépure que pour la moitié de l'arc.