EFFORTS TRANCHANTS

Considérons une section X.

Suivant la valeur de z, c*est-à-dire suivant la position du convoi , Teffort tranchant t peut prendre des valeurs : les unes positives, les autres négatives (les moments fléchissants étudiés précédemment ne sont jamais négatifs). Il s^agit de trouver le maximum et le minimum de t, soit la plus grande valeur de refibrt positif et la plus grande valeur absolue de TefTort négatif, et c'est généralement la plus grande de ces deux quantités qu'on aura à utiliser. Il peut être, toutefois, nécessaire pour le calcul des dimensions d'une pièce, de les connaître toutes deux (voir Note I). Si t conserve le même signe^ par exemple le signe -i-, alors il suffit d'avoir son maximum ; si c'est le signe — , il suffit d'avoir le minimum.

Supposons qu'aucun essieu ne passe actuellement sur la section X;si le convoi se meut dans un intervalle assez restreint pour qu'aucun essieu n'arrive jusqu'à elle et qu'aucun ne franchisse une culée les sommes S qui entrent dans t restent invariables pendant ce mouvement ; z varie seul et le maximum ou le minimum de T correspond aux valeurs extrêmes que peut prendre z lorsque le convoi se déplace dans les limites indiquées. On arrive donc, comme pour les moments fléchissants, à cette conséquence que /e^ valeurs extrêmes que prend H effort tranchant dans une section donnée pendant la marche d^un convoi ne peuvent avoir lieu que lorsqu'un essieu passe sur cette section ou sur une culée.

Mais, si le dernier essieu de droite P/^ est infiniment près de la culée sans l'avoir franchie, la formule (2) montre que, comme a„ = /, les deux termes qu'il fournit se détruisent; donc, qu'il ait franchi la culée ou qu'il en soit infiniment près dans la portée du pont, cela ne change pas la valeur de t pour une section à distance finie de la culée ; elle n'est changée que pour la section à l'aplomb de la culée. Il en est de même lorsqu'une nouvelle charge s^engage sur le pont; au moment où son abscisse a est infiniment petite, elle ne fournit aucun ternie pour une section à distance finie des culées. Donc, pour de telles sections, ce n'est que quand un essieu les traverse que le maximum ou le minimum de t peut s'y produire; et le fait que pour les sections à l'aplomb des culées, l'entrée ou la sortie modifie l'efibrt tranchant, n'est qu'un cas particulier de la proposition à démontrer. Il suffit, d'après cela, d'étudier les efforts tranchants au passage des divers essieux

37a 3* SECTION. — CHAP. XIX.

dans chaque section, pour pouvoir en déduire les valeurs extrêmes qu^ils pourront atteindre dans cette section pendant la marche du convoi.

L'efibrt tranchant, dans une section infiniment voisine d^un essieu, diffère d'une quantité finie, suivant que- cette section est prise à la gauche ou à la droite de Tessieu.

Désignons, à un instant quelconque, par t/^ et t/^ les efforts tranchants immédiatement à droite et immédiatement à gauche de l'essieu n^ i. On aura, par définition,

(4) v^ = '^id — 'Pi'

D'ailleurs, la formule (2), en y supposant ^ = a/, c'est-à-dire en considérant la section dont l'abscisse x coïncide à tout instant avec l'abscisse a, de l'essieu n** i, donne

Si, outre la charge mobile, la poutre porte une charge permanente q, il faut ajouter au second membre l'effort tranchant dû à cette charge, soit

- ^ -^ grar.

Donc

Les formules (4) et (5) définissent ainsi l'effort tranchant dans le voisinage d'un essieu.

Théorème II. — L'effort tranchant près d'un quelconque des essieux d'un com^oi en marche sur une poutre à deux appuis simples j pouvant porter une charge unijorme, est représenté par les ordonnées d'une seule et même droite, quelque soit l'essieu considéré, ces ordonnées étant seulement comptées à partir d'axes des abscisses différents pour les différents essieux.

En effet, soit [l^ la somme des moments relativement à l'essieu n® i des charges de tous les essieux ; [x^ est évidemment une quan-

EFFORTS TRANCHANTS. ZyS

tité constante, quelle que soil la position du train, et Ton a

\i désignant la distance invariable de la verticale du centre de gravité du convoi à Tessieu n^ i et le signe + convenant à tous les essieux placés à gauche de cette verticale, le signe — à ceux placés à sa droite.

On a aussi

d'où

Par suite,

équation du premier degré, représentant une droite dont l'inclinaison est indépendante de l'essieu que l'on considère.

Soit (Jig. B, PL XXIll) la travée AB déjà considérée (§ 219 et suivants) à l'occasion des moments de flexion, parcourue par les mêmes charges au nombre de quatre.

Construisons la droite PQ dont l'ordonnée y est

'"'{'it'-À-'i'

et qui est la même, quel que soit l'essieu considéré. Construisons, d'autre part, l'horizontale

i-i- 1 qui dépend seule de cet essieu. On aura

c^est-à-dire que les ordonnées de la droite fixe PQ comptées depuis

rhorizontale (8), représentent les efforts tranchants qui se produisent immédiatement à droite de Pessieu n^ i, pendant la marche du train.

Pour X = o et a: = /, on a respectivement

Portons, à partir de A et dans le sens ascendant, T ordonnée

la longueur bc étant relevée sur la figure a. A partir de B et dans le sens descendant, portons les quatre charges dans Tordre

et au bout, portons encore ~ = AP; on détermine ainsi le point

Q et la droite PQ est celle (7).

Les quatre horizontales représentées par Téquation (8) en y supposant successivement ^=I, 2, 3, 4» sont faciles à obtenir. Le

terme 2 P est fourni par les points de division du polygone des

forces BB'.

D'autre part, si nous nous reportons au polygone funiculaire des quatre charges déjà construit à l'occasion des moments de flexion (Jig. Aq), on voit que les ordonnées