CHAPITRE III

DÉnNITIOK DES FIGURES GDI FORT L’OBJET DE CE CHAPITRE. — Considérons une figure formée de droites reliant des points distribués d’une manière quelconque dans un plan; ces points sont ce que nous appellerons les sommets de la figure. Toute portion de droite comprise entre deux sommets sera appelée un côté de la figure. Enfin nous désignerons par le mot nœud l’ensemble des côtés partant d’un même sommet.

Nous ne considérerons que des figures satisfaisant aux conditions suivantes :

i° Qu’on puisse les décomposer en un certain nombre de polygones fermés tels, que chaque côté de la figure fasse partie de deux de ces polygones et de deux seulement;

2 ° Que de chaque sommet partent au moins trois lignes ; en d’autres termes, que chaque nœud se compose d'au moins trois côtés ;

3° Que chaque côté passe au moins par deux sommets.

Nous pouvons d’ailleurs, sans restreindre en rien la forme d’une figure, admettre que chacun de ses côtés passe par deux sommets seulement. 11 suffira pour cela, si i sommets sont placés sur une même ligne droite, de regarder les i — i segments qu’ils déterminent sur cette droite comme autant de côtés distincts de la ligure.

Exemples. — La ftg. lo (PI. III) est formée d'un polygone fermé de q côtés (q = 6) dont les sommets sont unis à un point O. Cette figure comprend i q côtés passant chacun par deux sommets et par deux seulement; de chaque sommet partent au moins trois lignes; enfin elle est décomposable en q - 4- i polygones fermés, savoir : le polygone donné de q côtés et les q triangles ayant leurs sommets en O; enfin chaque côté fait partie de deux de ces polygones et de deux seulement.

La fg. 16 (PI. y) est formée d’un polygone fermé de q côtés (q — 6) dont les sommets sont unis à deux points O et CF. Elle est décomposable en o. q polygones fermés tels, que chaque côté fasse partie de deux d’entre eux et de deux seulement, à savoir : q triangles ayant un sommet commun en O, et q triangles ayant un sommet commun en CF.

On voit donc que, quand on énumérera les polygones fermés de cette figure, on ne devra pas tenir compte du polygone contour, mais seulement des a q triangles dont nous venons de parler. Si l’on faisait entrer en ligne de compte le polygone contour, chacun de ses côtés ferait partie de trois polygones fermés, savoir : deux triangles et le polygone contour, et la figure envisagée ainsi ne satisferait plus aux conditions spécifiées plus haut.

La fi g. 16 ( PI. y) comprend deux polygones fermés d’un même nombre q de côtés ( q = 6), dont les sommets sont unis deux à deux par q lignes 1 1', Sâ', .... De chaque sommet partent trois lignes, soit le minimum de ce que nous admettons; et la figure peut être décomposée en </ -f- 2 polygones fermés (q quadrilatères et deux polygones de q côtés), chaque côté faisant partie de deux de ces polygones et de deux seulement.

Enfin la ftg. 19 (PI. y) rentre également dans la catégorie de celles que nous considérons. Seulement, trois sommets «, Z>, c étant en ligne droite, la ligne ac comprend deux côtés ah et bc, de même, la ligne dg comprend trois côtés distincts f/e, effg.

Cette ligure se décompose en treize polygones fermés, à savoir : cinq triangles, un polygone de sept côtés et sept quadrilatères.

RELATION GÉNÉRALE ENTRE LE NOMBRE DES SOMMETS, LE NOMBRE DES COTÉS ET LE NOMBRE DES POLYGONES FERMÉS D’UNE FIGURE. — Théorème. — Dans toute figure de la nature de celles qui viennent d'étre definies, l’excès de la somme du nombre des nœuds et. du nombre des polygones fermés sur le nombre des côtés est constant et égal au nombre a.

Ainsi soient

m le nombre des côtés d’une figure ;

30 FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE. n le nombre des nœuds ou, ce qui revient au même, le nombre des

sommets ;

/> le nombre des polygones fermés.

11 s’agit de montrer qu’on a, quelle que soit la ligure,

Je dis d'abord que le premier membre de cette relation est constant, c’est-à-dire indépendant de la figure considérée et du nombre de ses éléments : sommets, côtés et polygones fermés.

En cllêt, prenons une figure quelconque; traçons-y une nouvelle ligne, en sorte que le nombre m des côtés augmente d’une* unité. Je dis que la somme p -+- n augmentera aussi d’une unité, en sorte que la différence p -h n — m n'aura pas changé. En effet, si la ligne nouvellement tracée va rejoindre un sommet nouveau, c’est-àdire non encore relié à la figure, le nombre des polygones fermés p ne change pas, mais le nombre n des sommets sera augmenté d'une unité.

Si la ligne nouvelle unit deux sommets appartenant déjà l’un et l’autre à la ligure, alors ou elle fermera un polygone non fermé, ou elle divisera un polygone fermé en deux. Dans les deux cas, elle augmentera d’une unité le nombre p des polygones fermés, tandis que le nombre n des sommets n’aura pas changé.

Ainsi le premier membre de l’équation à démontrer ne peut pas être modifié par l’introduction de lignes nouvelles; par la même raison, il ne peut pas être modifié par la suppression de lignes (en tant que cette suppression n’empêche pas la figure de satisfaire aux conditions admises dans la définition du § 20). Or, par l'addition et la suppression d’un nombre convenable de lignes, on peut toujours passer d’une figure ayant n sommets, p polygones fermés et m côtés à une autre figure pour laquelle ces mêmes éléments sont représentés par les lettres p\ m ', et l’on aura

p -H n — ni= p' -b n' — m' = const.

Pour avoir la valeur de cette constante, il suffira donc de la cal-

(*) C’est la même relation que celle établie par Euler, entre le nombre des faces, le nombre des sommets et le nombre des arêtes d’un polyèdre. Nous trouverons par la suite beaucoup d’analogies entre les Hgurcs que nous étudions et les polyèdres.

FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE. 31 culer pour une figure particulière. La figure la plus simple qui satisfasse aux conditions admises au § 26 est celle (fig. 13, PI. III) formée par les six lignes qui joignent quatre points d’un plan.

Et comme, pour cette figure, on a

d'où

cette relation existe pour toutes les figures possibles.

11 est facile de la vérifier pour les diverses figures que nous avons considérées.

Ainsi la Jig. 15 (P/. ///), formée d'un polygone fermé de q côtés et de rayons issus d’un point O, donne

d’où

p -4- n — ni — q -r- l + q + l — 2 q = 2.

La Jig. 16 (PI. /’), formée d'un polygone de q cotés et de rayons issus de O et de C y, donne

ni — 3q , n — q -h 2 , p = 2 q ,

d’où

La Jig. 16 (PI. V ) donne

Enfin la fig. 19 (PI. f r ) donne

ni — 25 , «=**• i4, p — i3,

d’où

DIVISION DES FIGURES EN FIGURES DÉFORMABLES, FIGURES STRICTEMENT INDÉFORMABLES ET FIGURES A LIGNES SURABONDANTES. — Nous diviserons les figures que nous aurons à étudier d’abord en deux classes : figures déformables, c’est-à-dire dont les angles peuvent varier d’une infinité de manières, les longueurs de leurs côtés demeurant invariables; et figures indéformables, c’est-à-dire dont les angles sont déterminés lorsque les longueurs des côtés sont données.

Les figures indéformables comprennent elles-mêmes deux catégories qu'il importe de distinguer : celles qui sont telles qu’elles cessent d’être indéformables lorsqu’on supprime un de leurs côtés seront dites strictement indéformables , ou parfois seulement indéformables; celles, au contraire, qui ne perdent pas la qualité d’être indéformables lorsqu’on supprime un ou plusieurs de leurs côtés, seront dites à lignes surabondantes, parce qu'elles renferment plus de lignes qu’il n’est strictement nécessaire pour les définir.

Théorème. — Une figure est en général déformable, indéformable ou à lignes surabondantes, suivant que le nombre de ses cotés est inférieur, égal ou supérieur au double du nombre de ses sommets diminué de 3 unités.

Ainsi, si met n désignent, comme précédemment, le nombre des côtés et le nombre des sommets d'une figure, je dis que

Les figures déformables sont caractérisées par ni < a n — 3 ;

Les figures strictement indéformables, par m = 2 n — 3;

Les figures à lignes surabondantes, par m ^>a« — 3.

En effet, une figure strictement indéformable contient tout juste assez de côtés pour que, les longueurs de ces côtés étant données, elle puisse être construite.

Pour la tracer, portons sur une ligne quelconque une longueur AB égale à l’un des côtés donnés : A et B seront deux sommets; tous les autres sommets étant, par hypothèse, déterminés et strictc-

ment déterminés par la connaissance des divers côtés, seront nécessairement délinis par l’intersection de deux de ces côtés cl de deux seulement. Donc, à chacun des n — 2 sommets autres que ceux A et B, répondront deux côtés, en sorte que le nombre total des côtés de la ligure, autres que le côté AB, sera de

et le nombre total m des côtés, y compris celui AB, sera m — m — 4 + i = î« — 3.

Maintenant, étant donnée une figure pour laquelle cette relation est satisfaite, c’est-à-dire une figure strictement déterminée ou strictement indéformable, traçons-y A nouveaux côtés; il est clair que ces A lignes seront surabondantes, et leurs longueurs pourront être exprimées au moyen des m premiers côtés de la figure, puisque ces m côtés suffisent à la définir.

Ainsi, entre les longueurs des côtés d' une figure pour laquelle on a

ru z - 2 n — 3 -t- X ,

il existe généralement A relations géohiétriques nécessaires.

Si, au contraire, d’une figure strictement indéformable et pour laquelle la relation m — m — 3 est par conséquent satisfaite, on supprimait A lignes, alors le problème consistant à construire la figure restante, connaissant les longueurs de ses m — k côtés, serait indéterminé, c’est-à-dire qu’il existerait une infinité de figures admettant les côtés donnés et ayant toutes des angles différents; en d'autres termes, la figure serait déformable et, pour la rendre strictement indéformable, il faudrait la soumettre à A conditions nouvelles, par exemple, y tracer A nouveaux côtés, formant de nouveaux liens entre ses divers sommets.

On jH*ut résumer toute cette discussion ainsi : m étant le nombre des côtés et n le nombre des nœuds d’une figure, si A désigne un nombre entier positif ou négatif quelconque, on peut toujours poser

Il arrive en général :

i° Que la ligure est déformable si k est négatif; et, pour qu’elle devienne strictement indéformable, il faut l’assujettir à À' conditions;

2 ° Que la figure est strictement indéformable si k = o';

3° Que la figure est indéformable et contient À lignes surabondantes , c’est-à-dire qu’il existe, entre les longueurs de scs côtés, A relations nécessaires si k est positif.

Exemples. — Dans la fig. 15 [PI. III), formée d’un polygone de q côtés (q — 6) et de rayons issus du point O, on a

m — lq, n — q + I ,

Cette figure contient donc, quel que soit q , une ligne surabondante.

On le vérifie aisément; car, si l’on se donne tous les rayons et tous les côtés du polygone contour sauf un, on a tout juste les données nécessaires pour construire la ligure.

La fi g. 16 (PI. V) donne

ni = 3 < 7 , n = q -+- 2 ,

d’où

m — zn — 3 -+■ (q — i ),

c'cst-à-dire qu'elle contient q — i ligues surabondantes. On voit, en effet, que la figure est déterminée si l’on se donne : t° tous les rayons issus de O; 2 ° tous les côtés du polygone contour sauf un; 3“ deux des q rayons issus de O'.

Elle contient donc q — 2 rayons et un côté du polygone, soit en tout q — i côtés surabondants.

Dans la fig. 16 (PI. V ), quel que soit le nombre q des côtés des deux polygones fermés : 1234..., l'2'3'4'. . ., on a

nt — 3q, n “ 2 ^,

d’où

m — ïn — 3 — (q — 3).

Donc, si qf> 3 la figure est déformable; et, pour la rendre tout juste indéformable, il faudrait y tracer q — 3 lignes nouvelles. Sur

la figure elle-même où q = 6, le nombre des lignes nouvelles à tracer serait q — 3=3.

La fig. 19 [PI. V) donne

d’où

Elle doit donc être strictement indéformable, c’est-à-dire contenir tout juste assez de lignes pour pouvoir être construite : c’est ce qu’il est, en effet, aisé de vérifier.

DÉFINITION DES FIGURES RÉCIPROGUES EN GÉNÉRAI. — On appelle, en Géométrie, figures réciproques deux figures telles, que la première puisse se déduire de la seconde de la même manière que la seconde se déduit de la première.

L’exemple le plus simple et le plus connu de figures réciproques est celui qui résulte de la transformation dite par rayons vecteurs réciproques. Soit [fg . 18, PI. V) une ligne plane ou gauebe WN. Joignons-cn tous les points m à un point fixe O; les lignes O ni sont ce qu’on appelle des rayons vecteurs. Prenons sur chaque rayon vecteur une longueur O/n,, telle que le produit

( a ) O m X O m, = a* — const.

Le lieu des points ni, formera une nouvelle ligne M, N,.

Maintenant transformons de la même manière la ligne M, N,, c'est-à-dire prenons sur chaque rayon O/n, prolongé au besoin une longueur O ni,, telle que le produit

(i) Ora r XOm, = a’.

Nous aurons un nouveau lieu formé par les points ///,; mais des relations [a) et [b) on déduit évidemment

Offl,= Om,

c’est-à-dire que, par la seconde transformation, on retombe sur la

3Ü FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE, ligne donnée. Ces deux lignes forment donc des figures réciproques. L’une d’elles est dite la transformée de l'autre par rayons recteurs réciproques.

ün peut transformer de même les surfaces.

Une autre catégorie de figures réciproques, très-usitée en Géométrie et qui a infiniment plus d’analogie avec celle que nous aurons à considérer ici, est connue sous le nom de figures polaires réciproques. La théorie des figures polaires réciproques a été donnée, «ni 1822, par Poncelet, dans son Traité des propriétés projectives. En 1828, M. Chasles en a fait une application très-remarquable qu’il a appelée la transformation parabolique. ISous montrerons plus loin, pour ceux de nos lecteurs qui sont au fait de ces théories, que la théorie des figures de la Statique graphique se déduit, d’une façon en quelque sorte immédiate, de la transformation parabolique de M. Chasles.

— Deux figures de la nature de celles déliuics au § 20 seront dites, par nous, réciproques lorsqu’elles satisferont aux conditions suivantes :

i°Qu’à chaque côté de l’une d’elles corresponde un côté de l'autre, et un seul;

2 0 Que deux côtés correspondants soient dirigés suivant des lignes parallèles;

3 ° Qu’à chaque système de lignes concourantes (à chaque nœud) de l’une des figures correspondent dans l’autre les côtés d un polygone fermé.

Remarque I. — La condition 2° peut, sans inconvénient, être remplacée par celle-ci : que deux côtés correspondants soient dirigés suivant des lignes formant entre elles un angle constant quelconque. Il est évident, en ellet, que, quand toutes les lignes d’une figure font un même angle avec les lignes correspondantes de l’autre, il suffit de faire tourner l’une d’elles de cet angle pour rendre deux lignes correspondantes quelconques parallèles entre elles.

Habituellement nous considérerons les figures réciproques dans

FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE. 37 des positions telles, que les lignes correspondantes soient parallèles; mais parfois il nous sera plus commode de les supposer placées de façon que ces lignes soient deux à deux dans des directions perpendiculaires. C’est ce que nous avons déjà fait, au § 18, dans le cas particulier de la figure formée par les six lignes qui joignent quatre points.

Remarque II. — On observera que, dans la définition de la figure réciproque d’une figure donnée, il n’entre aucune condition métrique, c’est-à-dire aucune condition qui fixe à priori les grandeurs relatives de deux lignes correspondantes.

11 résulte de là que, si deux figures sont réciproques, toutes les figures semblables à l’une d’elles sont aussi des figures réciproques de l’autre. A ce point de vue, on peut dire que, quand une figure admet une figure réciproque, elle en admet par cela même une infinité d’autres issues de celle-là par voie de similitude. Mais comme toutes ces ligures ne dilfèrent entre elles que par l'unité que l’on a choisie pour mesurer les grandeurs de leurs lignes, ou si l’on veut, par l’échelle à laquelle elles sont tracées, elles ne constitueront pour nous qu’une solution unique; et quand nous dirons qu’une figure donnée admet deux ou plusieurs ou une infinité de figures réciproques, il faudra entendre par là deux ou plusieurs ou une infinité de figures non semblables entre elles.

UNE FIGURE DONNÉE N’ADMET PAS NÉCESSAIREMENT UNE FIGURE RÉCI- PROGUE. — Une figure composée de lignes reliant entre elles des points distribués d’une manière quelconque dans un plan n’admet pas nécessairement une figure réciproque. Il est facile de voir que les conditions restrictives que nous avons admises au § 26, en définissant les figures dont on s’occupe ici, sont des conditions nécessaires pour qu’elles admettent des figures réciproques.

En e/ret, un côté quelconque d’une ligure, celui, par exemple, qui est placé entre deux sommets À et B, aura nécessairement pour correspondant dans la figure réciproque, si elle existe, un côté commun à deux polygones fermés ; car, puisque la ligne AB appartient au faisceau de lignes concourant en A, sa ligne réciproque fera partie du polygone fermé correspondant au nœud A; par la

FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE, même raison, elle fora partie (lu polygone formé répondant au noeud B. Elle sera donc bien commune à ces deux polygones. S’il y avait un troisième sommet sur le côté AB, le côté correspondant ferait partie de trois polygones fermés ; mais nous avons vu au § 26 que, quelle que soit une ligure donnée (F), on peut toujours con- \ enir qu’un côté ne passera que par deux sommets; d’où il résulte que dans la figure réciproque (F,) un côté quelconque fera partie de deux polygones fermés et de deux seulement; mais, comme la ligure (F) est de même réciproque de (F,), il s’ensuit que dans cette figure donnée (F) chaque côté doit également faire partie de deux polygones fermés et de deux seulement. Ainsi cette condition, que nous nous sommes imposée au début, doit être nécessairement remplie par toute figure pour qu’elle admette une figure réciproque.

Maintenant, puisque, dans toute figure donnée (F), un côté fait nécessairement partie de deux polygones fermés, et qu’un polygone fermé ne peut avoir moins de trois côtés, il s’ensuit qu'en tout sommet de la figure réciproque (F,) doivent concourir au moins trois côtés ; et, à cause de la réciprocité des figures (F) et (F, ), celte même condition doit être remplie par la figure donnée. Ainsi toutes les conditions que nous nous sommes imposées au commencement de ce Chapitre sont nécessaires à l’existence des figures réciproques ; mais ces conditions ne sont pas en général suffisantes. C’est ce que nous allons d'abord montrer sur des exemples simples avant de l’établir d’une manière générale.

Prenons (Pi. III, Jig. 13) la figure très-simple formée par les six lignes 1, 2, 3, 4, 5 et 6 qui joignent quatre points deux à deux. Pour construire sa réciproque, nous remarquerons d’abord (pie le triangle formé par les lignes 1,2,3 aura pour figure correspondante un noeud. Donc, à partir d’un point quelconque d' du plan, nous mènerons (fig. i3) trois lignes indéfinies i, a, 3 respectivement parallèles aux trois côtés de ce triangle. Maintenant les lignes 2, 5, 1 , formant un nœud, auront pour réciproque un polygone fermé de trois côtés, c'est-à-dire un triangle. Aous avons les directions de deux côtés i et a de ce triangle; on devra donc inscrire entre ces deux lignes une droite 5 de longueur d’ailleurs quelconque, parallèle à o. La longueur de cette droite 5 est arbitraire, parce que, comme nous l’avons déjà fait observer,

la définition des figures réciproques ne comporte aucune condition sc rapportant aux longueurs relatives des côtés correspondants.

Les trois lignes 2, 6, 3 formant de môme un nœud, les trois lignes correspondantes doivent former un triangle. De ce triangle nous connaissons le côté 2 en grandeur et en direction, le côté 3 en direction. Donc, pour avoir la ligne correspondant à 6, il nous suffira, par l’extrémité du côté 2 , de conduire une ligne 6 parallèle à 6 jusqu’à la rencontre de 3.

Enfin, de môme la ligne 4 correspondant à i devra former un triangle avecles côtés i et 3. Donc, pour avoir 4, nous devrons joindre les deux extrémités l'une et l’ autre connues des côtés i et 3. Mais, pour que la figure ainsi tracée soit effectivement réciproque de la proposée, il faut que cette ligne 4» qui se trouve complètement déterminée par les cinq autres lignes de la figure, soit parallèle au côté t auquel elle doit correspondre.

Rien ne prouve à priori qu’il en soit ainsi.

Cela montre bien que le tracé de la figure réciproque d'une figure donnée peut être sujet à des conditions. Dans l’exemple particulier qui nous occupe, nous savons (§ 18) que le côté 4 est bien réellement parallèle à 4, c’est-à-dire que la figure réciproque de la proposée existe.

Considérons encore [fi g- i5, PI. III) une figure formée par un polygone fermé de q côtés [q — 6), et par les rayons joignant les sommets du polygone à un point C.

Pour construire la réciproque de cette figure, nous remarquerons qu’au polygone fermé donné doit correspondre un nœud; donc, d’un point arbitraire O (J‘g- 15), nous mènerons des rayons

respectivement parallèles aux côtés

du polygone donné.

Maintenant, en chacun des nœuds tels que m placés aux sommets de ce dernier polygone, concourent trois lignes. Les figures réciproques de ces nœuds doivent être des polygones fermés de trois côtés, c’est-à-dire des triangles. Nous connaissons déjà les lignes réciproques de deux des trois lignes aboutissant en un

nœud m, à savoir : les lignes réciproques 01 et 02 des côtés i et 2 du polygone donné. Il suffira donc de construire le troisième; pour cela, partant d’un point 1, on mènera successivement les côtés

respectivement parallèles aux rayons

de la figure donnée; mais, pour que la figure réciproque existe, il faut que le polygone 123 1 ,... se ferme, puisqu’il est la réciproque du noeud C; or cela constitue une condition. Nous avons vu § 2î> , Rem. I) qu’elle est toujours remplie, de sorte qu’ici encore la figure réciproque existe, et la remarque du § 2o peut être énoncée ainsi : Une figure formée par un polygone fermé d'un nombre quelconque de côtés et de rayons, issus d'un point et aboutissant aitjr sommets de ce polygone, admet toujours une figure réciproque et une seule.

Voici maintenant des exemples de figures n’admettant pas de figures réciproques ou en admettant une infinité.

Soit [fi g- 1”, PI. Il') une figure formée i° de deux polygones fermés —

8 12345678 et

que nous appellerons, pour abréger, les polygones A et A';*!'’ doi lignes

réunissant deux à deux les sommets de ces polygones.

Essayons de construire la figure réciproque.

.Nous commencerons par construire le nœud répondant au polygone fermé A. Pour cela, d’un point quelconque O ( fig. 17), nous mènerons des lignes indéfinies parallèles aux côtés de ce polygone.

Nous construirons ensuite les polygones fermés répondant aux nœuds

Chacun de ces nœuds étant formé de trois lignes, les polygones fermés qui leur correspondent seront des triangles. Deux côtés de

ces triangles seront deux lignes consécutives issues de O ; donc pour avoir ces triangles, à partir d’un point a, pris arbitrairement sur l’une des lignes issues de O, par exemple, sur celle qui répond au côté 81, nous mènerons des lignes

respectivement parallèles à

nous obtiendrons ainsi un polygone qui devra nécessairement se fermer pour qu’au dernier nœud 8 ', formé par les lignes

réponde le triangle formé par celles

Or cette condition ne sera pas remplie si la figure 17 a été constituée au hasard. On pourra, dans cette figure, tracer arbitrairement le polygone A; puis, encore arbitrairement, sept des huit lignes 1 1', 22', 3 3',. . mais la huitième 88 ' sera déterminée, puisqu’elle devra passer par le sommet 8 et être parallèle à la ligue 8 qui ferme le polygone tracé sur la figure 17 . Cela revient à dire (§ 21 ) qu’elle doit coïncider avec la résultante des sept premières lignes.

Donc, voilà une première condition sans laquelle la figure donnée 17 n’admettra pas de figure réciproque.

Supposons-la remplie ; il nous reste à tracer les polygones fermés réciproques des nœuds

Chacun de ces nœuds comprenant trois lignes, les polygones réciproques seront des triangles.

Nous connaissons un côté de chacun de ces triangles, à savoir : les lignes 1 , 2 , 3,. . . répondant à l'I, 2'2, 3'3, ... ; pour tracer le triangle répondant au nœud 1 ', on devra donc, par le point u, mener une ligne parallèle à À' l' et par le point 1 2 une parallèle à l' 2 '. L’intersection de ces deux lignes déterminera un point O'.

Passons au nœud 2'. Nous connaissons deux côtés du triangle réciproque de ce nœud, à savoir :

Le coté a, répondant à 2 7 2,

Et le côté O 7 1 2 répondant à Y 2'} donc le troisième côté du triangle est déterminé : c’est la ligne O 7 a 3 $ et le côté 2' 3' doit être parallèle à cette ligne.

On verrait de même que les côtés suivants du polygone A' devront tous être parallèles aux rayons issus de O 7 ; donc ce polygone ne peut pas être pris au hasard. Deux de ses côtés seulement sont arbitraires; les lignes réciproques de ces deux côtés déterminent un point O 7 et tous les autres côtés sont déterminés, puisqu’ils doivent être parallèles aux rayons issus de O 7 et que les sommets du polygone A 7 doivent être sur les lignes données 1 1 7 , 22', 33 7 ,. . . .

On voit donc qu’en général la fg. 17 n’admet pas de figure réciproque; pour qu’elle en admette une, il faut s’imposer les conditions suivantes : i° le polygone A étant donné à volonté, ainsi que sept des huit lignes 1 1 7 , 22',. .., la huitième doit être {§ 21 , Rem.I ) la résultante des autres. Cette condition entraîne comme conséquence que le polygone A est un polygone funiculaire du système de lignes 11 7 , 22',. . . ; a° le polygone A 7 doit alors être un second polygone funiculaire de ce système de lignes.

Ces conditions peuvent s’exprimer plus simplement et sans avoir recours au polygone des lignes, en remarquant qu’un polygone A étant funiculaire, pour qu’un second polygone A 7 le soit aussi, il faut et il suffit que les points d’intersection des couples de côtés correspondants des deux polygones soient en ligne droite (§ 20, Rem. 11).

D’après cela, le polygone fermé A et sept des huit lignes 1 1 7 , 22 7 ,.. . étant donnés arbitrairement, on tracera le polygone A 7 de façon que les points d’intersection de ses côtés avec les côtés correspondants de A soient placés sur une ligne droite quelconque ZZ 4 ; et alors la condition que la huitième ligne, joignant les sommets correspondants 8 et 8 7 des deux polygones, soit dirigée suivant la résultante des sept autres se trouvera remplie d’ellc-môme (§ 21 ).

Ainsi

Pour (j lé une figure composée de deux polygones fermés d’un même nombre de côtés dont les sommets sont placés sur des lignes données admette une figure réciproque, il faut et il suffit que les points d’ intersection des côtés correspondants des deux poly -

gones (c’est-à-dire des côtés compris entre les mêmes lignes) soient placés en ligne droite.

On peut enfin énoncer encore cette proposition plus simplement ainsi :

Pour qu’une figure, composée comme il vient d'élre dit, admette une figure réciproque, il faut et il suffit qu’elle puisse être considérée comme la projection d’un polyèdre a faces planes.

Car considérons deux plans P et P'; dans le dernier, traçons un polygone fermé A'. Par chacun des côtés de ce polygone, faisons passer un plan quelconque; ces divers plans déterminent sur P un second polygone fermé .1. Ces plans pourront d’ailleurs être regardés comme formant la surface latérale d’un polyèdre dont les plans contenant les polygones A et A/ seraient les bases. Les points d’intersection des couples de côtés correspondants des polygones A et A' sont évidemment sur une même ligne droite, à savoir : sur la ligne d’intersection des plans P et P'; donc, si l’on projette un tel polyèdre sur un plan quelconque, on aura une figure remplissant les conditions voulues pour admettre une figure réciproque; et inversement toute figure de la nature de celles dont nous nous occupons ici susceptible d’admettre une figure réciproque peut être regardée comme la projection d’un polyèdre composé, comme il vient d’être dit.

Nous venons de voir des exemples de figures n’admettant pas de figure réciproque ou n’en admettant qu’une.

Si, au lieu de partir de la figure 17 qui n’admet la réciproque vj que sous certaines conditions, on partait, au contraire, de celte dernière, on reconnaîtrait sans difficulté qu’elle admet toujours une infinité de figures réciproques. Si, par exemple, conservant le polygone A, on substituait au polygone A' relatif au pôle O' tout autre polygone funiculaire relatif au même pôle, ayant par conséquent ses côtés parallèles aux côtés de A, on aurait une nouvelle figure distincte de celle 17, c’est-à-dire non semblable à celle-ci et également réciproque de la figure donnée t y.

CONDITIONS GÉNÉRALES DE POSSIBILITÉ, D'IMPOSSIBILITÉ OU D'INDÉ- TERMINATION DD PROBLÈME DE LA RECHERCHE DE LA FIGURE RÉCIPROOUE D'UNE FIGURE DONNÉE. — Essayons maintenant de définir d’une manière générale les caractères auxquels on peut reconnaître si une ligure donnée admet une ligure réciproque, ou n’en admet pas, ou en admet une infinité.

Théorème. — Pour qu'une figure admette une figure réciproque et une seule, il faut en général et il suffit quelle contienne une ligne surabondante.

Si elle n'en contient pas, c’est-à-dire si elle est strictement indéfornuible, elle ne peut admettre une figure réciproque que si elle satisfait à une condition .

Si elle est déformable, elle ne peut admettre de figure réciproque que si elle satisfait à autant de conditions plus une qu’il faudrait j tracer de lignes nouvelles pour ta rendre strictement indéformable.

Si, au contraire, elle contient h lignes surabondantes, elle admet une [h — 1 Y“P lt infinité de Jigures réciproques.

Pour qu’une figure soit réciproque d’une figure donnée, il faut t° que les deux figures ou diagrammes contiennent un même nombre de côtés; a° qu’à chacun des nœuds du diagramme donné corresponde un polygone fermé du diagramme réciproque; 3° qu’inversement à chacun des polygones fermés du diagramme donné corresponde un nœud du diagramme réciproque.

Je dis que celte dernière condition peut toujours être satisfaite quand il est possible de satisfaire aux deux premières. Supposons, en effet, qu’étant donnée une figure composée de m côtés on ait pu, par un moyen quelconque, déterminer m longueurs correspondant à ces côtés et telles qu’en portant bout à bout celles qui répondent à un quelconque des nœuds du diagramme douué on obtieune un polygone fermé. Je dis qu’avec ces lignes disposées convenablement on pourra toujours former un diagramme réciproque du diagramme donné. Pour le démontrer, observons d’abord que, puisque, par hypothèse, les longueurs répondant à un quel-

FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE. iS conque des nœuds du diagramme donné, étant portées bout à bout forment un polygone fermé, elles formeront un tel polygone, quel que soit l’ordre dans lequel elles se succéderont (§ 4, Hem.). Or soit ( Jig . 20, PI. V ) A un quelconque des côtés d’une ligure donnée aboutissant à deux sommets q et />, en chacun desquels concourent un certain nombre d’autres côtés B, B,, B„ . . . , D, D,, D,,.... Soient a, b. />,, r/, </,, </,, f/,,... les longueurs correspondant

aux côtés A, B, B,, B„. . D, D,, D„. . ., longueurs calculées de façon que celles qui répondent aux deux nœuds q et p donnent, lorsqu’elles sont portées bout à bout, deux polygones fermés ayant le côté a en commun. Afin de disposer les côtés de ces polygones dans l’ordre voulu pour obtenir le diagramme réciproque, conduisons la ligne nin égale à la longueur a et parallèle à A, et cherchons d’abord à construire le polygone fermé répondant au nœud q. Pour

cela, à partir de m il faudra porter l’une des longueurs

Pour savoir laquelle il convient de porter d’abord, nous remarquerons (jue le côté A fait partie de deux polygones fermés (§ 2(5). Dans chacun de ces polygones entre nécessairement l’un des côtés autres que A, aboutissant en q. Soit I) le côté qui fait partie de l’un des deux polygones où entre A. Nous porterons, à partir de m, d’abord la longueur d correspondant à ce côté D, parce que I) et A faisant partie d'un même polygone du diagramme donné doivent, dans le diagramme réciproque, faire partie d’uu môme nœud m. Le côté D, à son tour, d’après la définition de nos figures, fait partie d’un second polygone autre que celui qui contient A. Dans le périmètre de ce polygone, entrera nécessairement un des côtés D, , D,,..., autres que A. Soit 1), ce côté. Nous porterons d t au bout de d. De cette façon, les côtés D et D s , qui, dans le diagramme primitif, font partie d'un même polygone, concourront dans le diagramme réciproque en un môme sommet i. A son tour, le côté D s fait partie d’un polygone autre que celui où entre D. Soit D, le second côté de ce polygone passant par le point q. Nous porterons t/, au bout de </,. Enfin D, étant un côté du second des polygones dont fait partie A, nous porterons d, au bout de </, j nous obtiendrons ainsi le polygone ad d t d, d,a, disposé de manière que les deux côtés qui aboutissent à chacun de ses sommets correspondent à deux côtés d'un des polygones Jermés du diagramme primitif.

Nous constituerons, d'après les mêmes règles, le second des

polygones fermés dont fait partie a et qui répondra au nœud p. Si le côté B, par exemple, fait partie d’un même polygone avec A et D, la ligne b doit passer par l’intersection des lignes a et d. Maintenant le côté B fait partie d’un second polygone, lequel contiendra B, ou B, (en supposant, pour fixer les idées, que les lignes B, B,, B, soient au nombre de trois seulement), admettons que ce soit B,. Nous porterons donc b, au bout de b. Enfiu le côté B, faisant partie d’un second polygone où entre nécessairement B,, b , devra être porté au bout de b t et aboutir au nœud n.

Nous avons ainsi pris un quelconque des côtés A d’une figure, et nous avons constitué les deux polygones fermés dont la longueur correspondante a fait partie, de telle façon qu’en chacun des sommets de ces polygones ne concourent que des droites appartenant à un meme polygone fermé du diagramme primitif. En faisant la même opération successivement pour tous les côtés du diagramme primitif, on formera un nouveau diagramme dont tous les nœuds répondront à des polygones fermés; et comme, par hypothèse, les polygones fermés de ce diagramme répondent à des nœuds, ce sera bien le diagramme réciproque du proposé.

Ainsi donc, pour constituer le diagramme réciproque d'une figure donnée, il suffît de déterminer les m côtés de ce diagramme réciproque par la condition que les côtés répondant à chacun des n nœuds du diagramme primitif forment des polygones fermés. Or, pour que q lignes données en grandeur et en direction forment un polygone fermé, il faut qu’elles satisfassent à deux conditions, l’une d’elles exprimant que la ligne fermant le polygone formé par q — i d'entre elles a même direction que la y""*, l’autre qu’elle a même grandeur. Donc, pour que les n nœuds du diagramme donné fournissent, dans le diagramme réciproque, n polygones fermés, il faudra que les côtés du nouveau diagramme satisfassent à 2 n conditions. Mais il est aisé de voir que ces 2/1 conditions se réduisent à 2 n — 3 .

En cllèt, exprimons d’abord que n — 2 des n sommets du diagramme primitif donnent, dans le diagramme réciproque, des polygones fermés. Construisons ces n — a polygones fermés en suivant les règles ci-dessus indiquées.

Soient [fig- 20 et 20) q et p les deux sommets laissés de côté dans le diagramme primitif, et soit A la ligne qui les joint'; la réci-

proque, de celle ligne, dans le diagramme réciproque? fera partie de deux polygones. Les côtés de l’un de ces polygones seront les lignes d, d,, t/,,. . réciproques du nœud q. Toutes ces lignes feront partie des n — a polygones fermés que nous avons tracés, en sorte que toutes se trouveront sur le diagramme formé par ces polygones; et, pour avoir le diagramme complet que nous cherchons, il suffira d’y tracer la ligne a répondant à A. Or cette ligne A fait partie de deux polygones : l’un contient, par exemple, les lignes I) et B, l’autre les lignes D, et B,. Donc la ligne a s’obtiendra en joignant le point d'intersection des lignes d et h à celui des lignes d, et b t . La ligne a se trouve ainsi complètement déterminée par le tracé des n — a polygones et le diagramme complété par l’addition de cette ligne sera réciproque du propisé, pourvu que cette ligne a soit parallèle à A. Or cela constitue une seule condition. Nous avons précédemment exprimé que n — a polygones sont fermés, ce qui vaut an — 4 conditions. Donc le nombre total de conditions pour que le diagramme proposé admette une ligure réciproque est de

Les an — 3 relations algébriques que l’on obtiendrait en exprimant ces conditions ont lieu entre les m longueurs inconnues des côtés du diagramme réciproque cherché, ou plutôt entre les m — t rapports de m — i de ces longueurs à l’une d’entre elles, puisque (§ 31) les longueurs absolues des côtés d’une figure réciproque ne sont pas définies, mais seulement leurs rapports à l’une d’entre elles.

De là résulte :

i° Que si

m — 1 = 2 n — 3 ou m — i n — 3-t-i,

le problème est en général possible et déterminé. Or la dernière relation indique (§29) une figure contenant une ligne surabondante, ce qui établit la première partie de la proposition que nous avions en vue.

Maintenant si la figure donnée est strictement indéformable, c’est-à-dire si

m — 1 n — 3 ou m — 1 = 2/1 — 4>

nous aurons une équation de plus que le nombre de nos inconnues et le problème sera impossible, à moins qu’z//z<? de ces équations soit satisfaite d’elle-mème en vertu des autres, ce qui exige que la figure donnée ne soit pas quelconque, qu’elle satisfasse à une certaine condition.

Si la figure est déformable, c’est-à-dire si

A étant un nombre positif, ou

nous aurons A -F- 1 équations de trop, et la figure donnée n’admettra une réciproque que si elle satisfait à A -+- i conditions.

Si, au contraire, la figure contient A lignes surabondantes, c’està-dire si

m — 2 n — 3 -+- X ou m — i = 2 n — 3 -t- X — i ,

il y a A — i conditions de moins à remplir que le nombre des inconnues; donc A — i de ces inconnues peuvent être prises arbitrairement, et le problème admet une (A — i y u r le infinité de solutions.

AUTRE MANIÈRE D’EXPRIMER LES CONDITIONS ÛUI PRÉCÈDENT. — Une

figure admet en général une figure réciproque, ou une infinité ou pas du tout, suivant que le nombre de ses sommets est égal, inférieur ou supérieur à celui de ses pol) gones fermés.

En clfet, la relation

du § 27 montre que, si n = /;, on a

condition trouvée pour la possibilité du problème.

Si

k étant positif,

ni — in —2 — X ,

relation indiquant que le problème est impossible, «à moins de k conditions.

Si, au contraire,

on a

indiquant l’indétermination de k manières différentes.

Ces résultats sont d’accord avec les cas particuliers que nous avons traités plus haut.

i° Nous avons vuque la figure formée par les six lignes joignant quatre points, ou plus généralement que la figure formée par un polygone fermé quelconque dont on a joint les sommets à un point lixe contient une ligne surabondante, ou, en d’autres termes, autant de sommets que de polygones fermés. Donc, d’après le théorème général du § 35, elle doit toujours admettre une figure réciproque. C’est, en effet, ce que nous avons établi directement.

2 ° Une figure formée par deux polygones de q cotés (fig. 17, Pl. IP, ou fig. 16, PL P), dout les sommets sont sur q lignes données, renferme p — q - f- 2 polygones et n = 2 q sommets, d’où n p et il — p — q — 2 .

Donc une telle figure ne peut admettre une figure réciproque que si elle satisfait à q — 2 conditions. Ces conditions, que spécifie le théorème établi au § 32, sont bien en effet au nombre de q — 2 .

3° B Une figure (fig- 17 , PL IP , ou fig. 16 , PL P) formée d’un polygone fermé de q côtés, dont les sommets sont réunis à deux points O et O', comprend p= 2 q polygones fermés et n — q - f- 2 sommets. Dono, à l’inverse de l’exemple ci-dessus, on a ici

p^> H Ct p — n — q — 2,

et le problème est indéterminé. C’est, en effet, ce que nous avons vu, ct le théorème général nous apprend qu’il l’est de q — 2 ma-

nièrcs différentes, ce qui se vérifie de suite, si l’on se rappelle que les diagrammes de la forme de la figure 1 6 sont réciproques de ceux ayant la forme de la figure 16; et comme ceux-ci exigent <y — a conditions pour que leurs réciproques existent, ceuxlà doivent, au contraire, admettre une [y — a) 1 "''''' infinité de figures réciproques.

SUR UN CAS PARTICULIER DU PROBLÈME DE LA RECHERCHE DES FIGURES RÉCIPROQUES. — Les règles qui précèdent peuvent pourtant comporter certaines exceptions. 11 eu est une qui mérite d’être particulièrement signalée, car d'elle découle en quelque sorte toute la Statique graphique.

Considérons XIII) une figure quelconque (F). Par

i de ses sommets menons un système de lignes S, et construisons un polygone fermé P de t côtés ayant scs sommets sur les lignes S. Cherchons les conditions pour que le diagramme ainsi formé, que nous appellerons (F,), admette un diagramme réciproque.

La ligure donnée (F) sera, par exemple, celle formée par les lignes 11, 12, 13, 1-1,. .., 26, 27 de la figure 64; les lignes S qu'on v trace sont les lignes 1 , 2, 3, . .., 10 : ces lignes sont reliées dans la ligure par le polygone fermé P de io côtés indiqué en pointillé.

Soient généralement m le nombre des ligues et n le nombre des sommets de la figure (F). Posons

(a) m — in — 3 + 1,

en sorte que (§ 29) la figure est déformable de k manières différentes si k est négatif, strictement indéformable si k — o, et â k ligues surabondantes si k est positif.

Soient ni' le nombre des côtés et n' le nombre des sommets de la ligure complète (F,), après l’addition des lignes S et du polygone P. On aura

n’ — n + i; m — m 4- 2 i, d’où, en vertu de la relation (a),

(è) m + (« + i) — 3 -4- /■ ou m'— m' — 3 -4- k.

ce qui indique que la figure complète (F,), y compris les 2 i lignes que nous avons ajoutées, est déformable de k manières, strictement indéformable, ou à k ligues surabondantes suivant que la figure primitive (F) est elle-même dans l’un ou l’autre de ces trois cas.

Ceci posé, le fait particulier qui se présente ici, c’est que la construction de la figure réciproque de (F,) exige toujours au moins une condition, quel que soit A, alors même que k = i et que, par suite, il semblerait, d’après le théorème du § 34 , que le diagramme réciproque dût être possible sans condition. En effet, pour construire le diagramme réciproque de (F, ) d’un point O ( fi g. 64), on mènera des parallèles aux côtés du polygone P, de façon à former le nœud réciproque de ce polygone ; puis on construira les polygones fermés, réciproques des nœuds partant des divers sommets de ce polygone. Comme ces nœuds sont à trois côtés, leurs polygones réciproques seront des triangles. Chacun de ces triangles comprenant deux rayons issus de O parmi ses côtés, 011 fermera ces triangles en conduisant les lignes 1, 2, 3 ,... (dont la première est de grandeur quelconque ) respectivement parallèles aux lignes S, ou i, 2 , 3 ,..., de la figure 64 .

Le polygone 1 2 3 ... devra nécessairement se fermer pour que le dernier triangle, celui qui a pour base la ligne 10, soit réciproque du nœud du polygone P comprenant la ligne 10 . Cela exige que les 21 lignes additionnelles satisfassent à une condition, condition indépendante de la forme de la figure primitive (F) et subsistant quelle que soit cette figure, quelle que soit, par conséquent, la valeur de k.

On peut reconnaître l’existence de cette condition encore autrement et par des considérations analogues à celle du § 34 . Supposons, en effet, obtenus par un moyen quelconque les ml côtés du diagramme réciproque cherché, ou plutôt les m' — 1 rapports de ces côtés à l’un d’entre eux; ils doivent satisfaire à in — 3 conditions (§ 33 ). Or, fermer les 1 triangles répondant aux i nœuds qui composent le polygone P, c’est remplir (§ 34 ) ii conditions. Mais, en raison de cette circonstance particulière que les i nœuds ne comprennent que 21 côtés, on ne dispose, pour satisfaire aux 2* conditionsdont il s’agil, que de 2 i — 1 quantités, à savoir >les rapports de 2 1 — 1 des longueurs du diagramme réciproque à l’une d’entre elles. Pour qu’avec ces 2 i — 1 quantités on puisse remplir 21 coudi-

52 FIGURES RÉCIPROQUES DE LA STATIQUE GRAPHIQUE, tions, il faut que la figure soit telle qu’une de ces conditions soit remplie d’elle-mème quand les ai — i autres le sont.

Maintenant ces ai conditions remplies au moyen de ai — i des longueurs du diagramme réciproque, il reste à remplir a n' — T — ai autres conditions, et l’on disposera pour cela de m ' — i — (ai — i)=m' — ai quantités. Donc, le problème est possible et déterminé si

m' — li — an' — ai — 3 ;

indéterminé si

m' — a/>în' — a i — 3;

impossible, à moins de conditions à remplir par la figure primitivement donnée (F) , si

m ' — a / < an’ — ai — 3.

Or, en vertu des relations (A), ou a

m' — ai — an' — ai — 3-1-

Donc le problème est possible sans condition autre que celle indiquée de la fermeture du polygone 1 2 3,..., si k = o; indéterminé de k manières si k est positif; impossible, à moins que la figure proposée ne remplisse k conditions nouvelles, si k est négatif. Si ces k conditions sont remplies, le problème devient alors possible et déterminé.

Si l’on regarde (§3) le polygone 1 2 3..., réciproque des lignes S comme le polygone de ces lignes, alors le polygone P sera (§ 19) leur polygone funiculaire relatif au pôle O; la condition que le polygone 1 2 3... soit fermé, ainsi que le polygone P, équivaut donc (§ 23 ) à celle-ci : que l’une des i lignes S soit la résultante des autres.

On peut donc dire :

Etant donnée une figure quelconque (F), si par i de ses sommets on mène un système de i lignes S et qu'on les relie par un polygone ferme P de façon à former une nouvelle figure (F,), pour que cette nouvelle figure admette un diagramme réciproque, il faut que l'une des lignes S soit la résultante des autres, et cela, quelle que sôit la figure primitivement donnée.

Cette condition remplie, le problème est indéterminé si la figure (F) contient des lignes surabondantes ; possible et déter-

miné si elle est strictement ind éj or niable ; enfin impossible à moins de k conditions nouvelles à remplir par la figure (F), si elle est déformable de k manières.

Remarque. — Pour que l’une des lignes S soit la résultante des autres, il faut (§ 2 o) trois conditions, si le polygone de ces lignes est donné d’avance. Ainsi :

Si l’on veut que non-seulement la figure (F|) admette un diagramme réciproque, mais qu’encore, dans ce diagramme, entre un polygone des lignes S donné d’avance, trois conditions sont toujours nécessaires.

Ces conditions remplies, le problème est indéterminé si la figure primitive (F) contient des lignes surabondantes; possible et déterminé si cette figure est strictement indéformable; enfin impossible, mais devenant possible et déterminé moyennant k conditions nouselles, soit en tout k + 3, si cette figure est déformable de A' manières.