ET LES POLYGONES FUNICULAIRES CONSIDÉRÉS AU POINT DE VUE MÉCANIQUE

DOUBLE OBJET DE LA STATIOUE GRAPHIOUE. — La Statique graphique a un double objet :

i° Tracer des règles géométriques simples permettant d’elTcctuer la composition et la décomposition des forces et de trouver leurs conditions d’équilibre ;

2° Déterminer, également par des procédés graphiques, les actions intérieures que des forces données font naître dans les corps sur lesquels elles s’exercent, lorsque ces corps se réduisent à de simples barres, comme cela a lieu dans les charpentes, ponts métalliques, etc.

On comprend combien ce second problème est important.

Comme la matière n’olfre qu’une résistance limitée, chaque fois que des corps doivent demeurer en équilibre sous l’action de certaines forces, il faut les disposer de façon que les actions mutuelles qu’ils exercent les uns sur les autres ne dépassent pas la limite de leur résistance possible. La recherche de ccs actions mutuelles, même quand les corps se réduisent à de simples barres, est souvent audessus des forces delà Statique et exige l’intervention de la théorie

COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES. 55 mathématique de l’élasticité. Nous en donnons alors la solution dans le Mémoire qui fait suite à cet Ouvrage 5 mais, dans un grand nombre de cas (et il ressort du Mémoire auquel nous venons de faire allusion que les meilleures constructions doivent être disposées de façon qu’il en soit ainsi), la Statique seule permet de découvrir les actions dont il s’agit. La Statique ordinaire se prête peu à ce genre de recherches en raison de la longueur des calculs qu’elle exige. Au contraire, la Statique graphique en fournit une solution géométrique simple et des plus faciles à appliquer, surtout lorsqu’il s’agit de forces toutes situées dans un plan ; et c’est ce qui a presque toujours lieu dans les constructions.

Comme la Statique ordinaire, la Statique graphique débute par l’étude des conditions d’équilibre des forces agissant sur des systèmes invariables. De tels systèmes n’existent pas dans la nature; mais les conditions auxquelles satisfont les forces qui les maintiennent en équilibre doivent, comme on sait, être remplies toujours par quelque système que ce soit (*).

REPRÉSENTATION DES FORCES EN STATIODE GRAPHIQUE. — En Statique graphique un système de forces est représenté par deux figures distinctes ; l’une contient les lignes indéfinies suivant lesquelles les forces sont dirigées et agissent, et qu'on appelle leurs lignes d'action; dans l’autre, on porte bout à bout des longueurs proportionnelles aux forces données, de même direction et de même sens que ces forces. On forme ainsi un contour polygonal qui, d’après les dénominations purement géométriques employées jusqu’ici, serait le polygone des lignes représentatives des forces, mais qui, en réalité, n’est autre que le polygone des forces , tel qu’on l’emploie aussi en Statique ordinaire; mais la Statique graphique en tire, comme nous le verrons plus loin, un tout autre parti.

Habituellement, nous représenterons les lignes d’action des forces

(*) En effet, si un système, quel qu'il soit, est actuellement en équilibre, cet équilibre ne cessera pas do subsister si l’on vient à rendre le système invariable; donc les conditions nécessaires et suflisantes à l’équilibre des forces agissant sur des systèmes invariables ne cessent pas d’ètre nécessaires lorsque ces mêmes forces viennent à agir sur des systèmes ne remplissant plus cette condition.

par les chiffres gras 1, 2, 3, 4, 5,. . et les côtés correspondants du polygone des forces par les chiffres similaires i, a, 3, 4, 5,. - • •

Ainsi, dans la fig. 2 (PI. /), on peut regarder les lignes munies de flèches et portant les numéros 1, 2, 3, 4, 5, 0, T, comme les lignes d’action de sept forces, et les sept côtés i, 2, 3, 4, 5, 6, y du polygone de ces lignes (fig. 2), comme les côtés du polygone de ces forces, c’est-à-dire comme donnant les grandeurs et sens de ces forces, tandis que les lignes 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 en donnent la |K>sition.

Remarque. — Dans les deux figures formées l’une par les lignes d'action des forces, l’autre par le polygone des forces, rien n’indique le point d'application des forces. La connaissance des points d’application est, en effet, inutile dans le premier des deux problèmes dont s’occupe la Statique graphique 38) : celui relatif à l’équilibre et à la composition des forces appliquées à un système invariable. O11 sait qu’on peut, sans modifier l’état de repos ou de mouvement d'un tel système, déplacer les points d’application des forces qui agissent sur lui, le long de leurs lignes d’action respectives ; mais ces déplacements, qui supposent, bien entendu, que les points choisis pour points d’aplication sont liés au système, modifient les actions qui s’exercent à l’ intérieur de celui-ci. Aussi, quand nous nous occuperons de l’élude de ces actions intérieures, c’est-à-dirc quand nous arriverons au second des problèmes qui font l’objet de la Statique graphique, nous devrons nous donner, sur chaque ligne d’action, le point d’application de la force dirigée suivant cette ligne.

RÈGLE DU PARALLÉLOGRAMME OU DU TRIAI! OLE DES FORCES. — Nous emprunterons A la Statique ordinaire la règle dite du parallélogramme des forces, ou, si l’on veut, du triangle des forces. Elle peut être énoncée ainsi :

La résultante de deux forces dont les lignes d'action se rencontrent : i° passe par leur point d’intersection; 2° est égale en grandeur, direction et sens à la somme des deux forces , le mot somme ayant la signification que nous lui avons attribuée au § 3. Soient (fig- 23, PL VI) 1 et 2 1 es lignes d’action de deux forces 5 ces lignes se rencontrent en O. Soient { fig . 23) 1 et 2 les côtés du

polygone de ces deux forces. Leur résultante est égale en grandeur, direction et sens à la ligne ab, qui va de l'origine à l’extrémité du polygone des deux forces; elle est donc (§ 3) égale en grandeur et direction, et opposée en sens à la ligne qui ferme ce contour, ou égale en grandeur, direction et sens à la somme des deux forces. I-a ligne d’action de celte résultante est OX parallèle à ab menée du point O.

Corollaire I. — Inversement, l'une quelconque des composantes est égale en grandeur, direction et sens à la différence (§8) entre la résultante et l 'autre composante.

Ainsi, décomposer une force en deux dont l'une est donnée, c'est retrancher la seconde de la première.

Corollaire II. — Pour qu'un système de trois forces concourantes soit en équilibre , il faut et il suffit que le polygone de ces forces (lequel se réduit ici à un triangle) soit fermé.

Car si ces trois forces sont en équilibre, chacune d'elles est égale et opposée à la résultante des deux autres, ce qui exige, d’après la règle du triangle des forces, que l’une quelconque d’entre elles soit «■gale en grandeur, direction et sens à la ligne qui ferme le polygone des deux autres.

Etant donné un système de i forces distribuées d’une manière quelconcjue dans un plan (ou même dans l’espace), si deux de ces forces se rencontrent, on peut réduire le système donné à tin système équivalent (*) ne contenant plus que i — i forces. Il suffit pour cela de remplacer les deux forces qui se rencontrent par leur résultante.

Si, dans ce nouveau système, deux forces se rencontrent encore, on pourra le réduire à un système équivalent de i — 2 forces, et ainsi de suite; en sorte que si, dans les systèmes successifs qu’on forme ainsi, il y a toujours deux forces qui se rencontrent, on linira par réduire le système à une force unique qui en sera la résultante.

(*) On sait que deux systèmes de forces sont dits rt/uivalrnis lorsqu’ils peuvent être substitués l’un à l’autre sur un corps solide invariable, sans que l'état de repos ou de mouvement de ce corps en soit affecté.

S'il existe une force unique équivalente à un système de forces données, elle en est la résultante.

COMPOSITION DES FORCES CONCOURANTES. — Celle circonstance sc présentera toujours si les forces données sont concourantes. La résultante des deux premières 1 et 2 (fig. 21, PI. FI) est égale en grandeur, direction et sens, à la ligue qui sous-tend l’angle formé par les cotes l et a du polygone des forces (Jig- ai) et passe par le point de concours O des forces données. La résultante de celle-ci et de la force 3 est égale en grandeur, direction et sens à la ligne qui sous-tend le contour formé par les trois côtés i, 2 , 3 du polygone des forces, et passe également par le point O, et ainsi de suite. Donc :

La résultante d’un système de forces concourantes : i° passe par le point de concours de ces forces; a° est égale à leur somme, c'està-dire à la ligne qui va de l'origine à l' extrémité du polygone des forces.

Lorsque les forces que l’on considère, sans être concourantes, sont toutes situées dans un même plan, les conditions indiquées au § 41 , pour qu’elles admettent une résultante unique, se présentent en général.

Supposons qu’elles se présentent, et soient

(A) P„ P„ P» P,-„ Pi

les i forces données. Supposons que P, et P, se rencontrent, c’està-dire ne soient pas parallèles; on pourra trouver, par la règle du triangle des forces, leur résultante que nous appellerons P,,. Supposons que P M rencontre P,, on pourra trouver leur résultante que nous appellerons P m ; que P,,j rencontre P,, que P, , n soit la résultante de res deux forces : en poursuivant ainsi, pourvu que chacune des nouvelles forces trouvées rencontre toujours une des forces données, on pourra former la série des forces

Pu, Pm, P ti,t , - • ■ , Pmi,, • ,,a

dont la dernière est la résultante des forces données; l’avant-dernière P im „..., (i — i) est la résultante des i — i premières de ee système, et ainsi de suite.

Ces résultantes successives s’obtiennent, sans difficulté, si les forces données sont représentées par leurs lignes d’action et leur polygone de forces (fig . 22 et 22 , PL VI ). D’abord, en grandeur et sens, elles sont représentées par les diverses diagonales du polygone des forces, issues de l’origine a de ce polygone; et la résultante finale de toutes les forces données sera par conséquent égale en grandeur et sens à la ligne qui va de l’origine à l’extrémité de ce polygone, c’est-à-dire qu 'elle sera égale à la somme des forces données (§3), tout comme si ces forces étaient concourantes. Maintenant, pour avoir la ligne d’action (1 2) de la force P, », il suffit, par le point d’intersection des lignes d’action 1 et 2, de mener une parallèle à la diagonale ( 12 ) du polygone des forces.

Pour avoir, de même, la ligne d’action de la force P, s s , comme cette force est la résultante de P,* et de P 3 , il suffit de prolonger la ligne d’action (12) jusqu’à celle 3 et, par le point d’intersection, de mener une parallèle à la diagonale (1 2 3). En poursuivant, on voit qu’on est amené à la règle suivante :

Pour composer un système de forces distribuées d’une manière quelconque dans un plan, sauf les restrictions indiquées plus haut, relativement au non-parallélisme de certaines de ces forces, construisez un polygone ayant son point de départ à l’intersection des lignes d’action de deux des forces données, ses sommets successifs sur les autres forces données, et ses côtés parallèles aux diagonales issues de l’origine du polygone des forces. Le dernier côté du polygone ainsi tracé est la ligne d’action de la résultante cherchée. Cette résultante est d’ailleurs égale en grandeur, direction et sens à la somme des forces données ; elle est donc entièrement connue.

SOLUTION GÉNÉRALE DU PROBLÈME DE LA COMPOSITION GRAPHIQUE D’UN SYSTÈME DE FORCES DISTRIBUÉES D’UNE MANIÈRE QUELCONQUE DANS UN PLAN, DÉDUITE DES PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES DES POLYGONES FUNICU- LAIRES. — Observons maintenant que le polygone ayant pour côtés les lignes d’action (1 2), (1 2 3), (1 2 3 4),.... des résultantes successives n’est autre chose qu’un polygone funiculaire particulier du système des forces données, à savoir : le polygone funiculaire ayant pour pôle l’origine a du polygone des forces et dont

les cotés successifs (1 2), (1 2 3), (1 2 3 4),. . . représentent aussi (§ 21, Rem. II) les résultantes géométriques des lignes 1, 2; 1,2,3; 1,2, 3, 4,....

La ligne d’action de la résultante d’un système des forces coïncide donc avec la résultante géométrique, telle que nous l’avons définie au § 21 . des lignes représentatives de ces forces.

Mais, du moment où il en est ainsi, nous pouvons faire appel à toutes les propriétés géométriques précédemment établies des polygones funiculaires. Notamment, pour trouver un point de la ligne d’action de la résultante et, par suite, cette ligne tout entière, puisqu'elle est parallèle à la droite qui ferme le polygone des forces, il n’est nullement nécessaire de faire usage du polygone funiculaire relatif au pôle particulier a : tout autre polygone funiculaire nous conduira tout aussi bien au but. Le point d’intersection des deux côtés extrêmes d’un tel polygone sera un point de la résultante cherchée. C’est ainsi que, sur les figures aa et 22 ( PL Vil), le polygone A12345678 relatif au pôle O nous fournit, par l’intersection de ses côtés extrêmes, un point 8, qui se trouve nécessairement appartenir à la résultante.

La faculté que nous acquérons ainsi de déterminer la résultante, par l’emploi des polygones funiculaires, outre les avantages évidents qu’elle offre au point de vue de l’exécution matérielle, constitue un résultat scientifique remarquable; car, tandis que la règle énoncée à la fin du paragraphe précédent devient illusoire quand certaines des forces que l’on considère deviennent parallèles, celle que fournil l’emploi d’un polygone funiculaire quelconque est toujours applicable; et comme elle donne la résultante, quelque éloignés que soient les points de rencontre des forces qu’au § 43 nous avons supposées se couper, elle la donnera encore quand certains de ces points ou tous auront passé à l’infini, c’est-à-dire quand certaines forces, ou toutes les forces que nous avons supposées se rencontrer, deviendront parallèles.

Ainsi la méthode nouvelle à laquelle nous arrivons ne comporte plus aucune des restrictions que nous avons faites au début. Elle s’applique indifféremment à tout système de forces parallèles ou non, situées dans un plan , et nous pouvons énoncer la règle tout à fait générale que voici :

Pour composer un système de forces distribuées d’une manière

quelconque dans un plan et représentées par leurs lignes d‘ action et leur polygone des forces, construisez un quelconque des polygones funiculaires du système; le point d'intersection des côtés extrêmes de ce polygone donnera un point de la ligne d’action de la résultante. Cette ligne d’action est d'ailleurs parallèle à la droite représentant la somme des forces données, et la résultante elle-même est égale en grandeur, direction et sens, à cette même somme.

MÊME SOLUTION OBTENUE PAR DES CONSIDÉRATIONS PUREMENT MÉCA- NIQUES. — Essayons d’arriver maintenant à cette règle par des considérations purement mécaniques. Cette nouvelle marche, en nous fournissant la définition mécanique des polygones funiculaires que nous n’avons considérés jusqu’ici qu’au point de vue géométrique, achèvera d’en faire comprendre le rôle et l’importance.

Soient données (f'g- 24, PI. Fil) les forces représentées par les lignes d’action 11', 22', 33', 44', 55', et par les côtés i, a, 3, 4, 5 du polygone des forces (fi g- a4).

Proposons-nous de trouver directement la résultante de ces forces, quel qu’eu soit le nombre et quelle que soit la manière dont elles sont distribuées dans le plan.

Pour cela, décomposons la force 1 1 ' en deux autres, dont l’une 1 A soit donnée arbitrairement en grandeur, direction et sens. Pour avoir l’autre, par l’origiuc a du polygone des forces, menons la ligne a O égale en grandeur, direction et sens, à 1 A. Comme cette dernière ligne est arbitraire, on voit que le point Ü est un point absolument quelconque du plan. La seconde composante sera représentée sur le polygone des forces, en grandeur, direction et sens, par la ligne O i 2 ayant son origine en O et son extrémité au sommet i 2 ; sa ligne d’action sera une parallèle à O i 2 menée par 1 . Soit 2 le point de rencontre de celle parallèle avec la force 22'.

Décomposons cette dernière en deux autres : l’une dirigée suivant 21 , égale et contraire à la composante de la force 1 1 ' dirigée suivant cette même ligue, c’est-à-dire égale et contraire à O i 2 . La seconde composante sera représentée en grandeur, direction et sens, par la ligne Oa3 ayant son origine en O et son extrémité au sommet 2 3 du polygone des lignes; sa ligne d’action sera une parallèle à O a 3 issue de 2. Soit 3 le point d’intersection de cette pa-

C2 COMPOSmON ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES, rallèlc avec la force 33'. Décomposons de même cette force en deux, dont l’une dirigée suivant 32 soit égale et contraire k la composante de 22' dirigée suivant celte ligne, c’est-à-dire égale et contraire à Oa3; la seconde composante sera en grandeur, direction et sens, représentée par 034v et ainsi de suite. Kn poursuivant, on Voit : i° qu’on est amené à tracer sur la figure a4 tous les rayons issus de O, et sur la figure 2t un polygone dont les côtés sont parallèles à ces rayons et dont les sommets sont sur les lignes d’action des forces données, en un mot, le polygone funiculaire relatif au pôle O ; et, comme ce point est quelconque, c’est donc un polygone iuuiculaire quelconque qu’on a ainsi tracé; a“ que le système des forces données est maintenant remplacé par un système équivalent dont toutes les forces sans exception sont dirigées suivant les côtés du polygone funiculaire; 3° que, suivant chacun des côtés intermédiaires de ce polygone, sont dirigées deux forces égales et contraires qui, par conséquent, se détruisent, en sorte qu’il ne reste en tout que deux forces : l’une dirigée suivant l’un des côtés extrêmes, l’autre suivant l’autre côté extrême du polygone funiculaire. Ces deux forces forment donc à elles seules un système équiv aient aux forces données, et il suffit de les composer d’après la règle du triangle des forces pour avoir la résultante de ces dernières. Or celle composition se trouve tout indiquée : les deux forces à composer sont représentées sur la figure a4 par les rayons extrêmes «O (dirigée de a v ers O) et O b (dir igée de U vers b) . Donc leur résultante sera égale en grandeur, direction et sens, à la ligne qui va de l'origine à l'extrémité du polygone des forces données, c’est-à-dire à leur somme. Quant à la ligne d’action de la résultante, elle passe par l’intersection des lignes d’action de ses deux composantes, c’est-à-dire par le point d’intersection G des deux côtés extrêmes du polygone funiculaire; elle est, d’ailleurs, parallèle à la ligne ah. Nous arrivons donc ainsi par une voie nouvelle à la règle énoncée au paragraphe précédent.

LES PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES DES POLYGONES FUNICULAIRES DÉDUITES DE CONSIDÉRATIONS MÉCANIQUES. — Cette nouvelle marche conduit à des conséquences intéressantes.

D’abord elle nous fait apercevoir avec une entière évidence tous les théorèmes de Géométrie établis au Chapitre II. En effet, puisque, quelle que soit la position du pèle O d’un polygone funiculaire, ses côtés extrêmes se coupent en un point 6 placé sur la ligne d’action de la résultante des forces données, on voit que, si le pôle se déplace, le point d’intersection de ces côtés extrêmes décrit une ligne droite dont la position est indépendante de celle du pôle. Cette droite est parallèle à celle qui ferme le polygone des forces ; et ceci est vrai pour deux côtés quelconques d’un polygone funiculaire, aussi bien que pour les deux côtés extrêmes, puisque deux côtés quelconques se coupent en un point de la résultante de celles des forces données qui sont comprises entre ces côtés. Ainsi le point d'intersection de deux côtés quelconques d'un polygone funiculaire décrit une ligne droite indépendante de la position du pôle de ce polygone; c’est le théorème du § 21 dont tous les suivants, établis au Chapitre II, sont des corollaires. Ils résultent tous de cet axiome de Statique, que la résultante d'un système de forces est indépendante de l’ordre dans lequel on les compose et qu’elle ne change pas, si on remplace certaines de ces forces par leurs résultantes partielles.

On peut aussi démontrer mécaniquement le théorème fondamental établi au § 20, à savoir : Lorsque le pôle d’un polygone funiculaire se déplace en ligne droite, les côtés de ce polygone ne font que pivoter autour de points fixes , tous placés sur une ligne droite parallèle à celle que décrit le pôle.

Considérons, en effet, deux polygones funiculaires, l’un relatif au pôle O, l’autre relatif au pôle O' d’un système de forces P,,

Soient {Jig- 17, PI. If’) AI et 67 le premier et le i‘*“ côté du polygone funiculaire relatif au pôle O ( Jig . 17 ); soient A'1' et 6 ' 7' les côtés analogues du polygone relatif au pôle O'. Il s’agit de montrer que la ligne joignant le point d’intersection de Ai et de A'I' au point d’intersection de 07 et de 6 ' 7' est parallèle à OO'.

Pour cela, observons que les i premières des forces données, à savoir P,, P,, P,,..., P,-, peuvent (§45) être remplacées par deux forces dirigées, l’une suivant Al, l’autre suivant 67.

Soient R 0 et R ( ces deux forces, dont les grandeurs sont représentées sur le polygone des forces par deux rayons issus de O et

Gt COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUES DES FORCES.

allant l’un à l’origine de ce polygone, l'autre au sommet ii 4- 1 (ici 67). Appelons Oa et Ox' ces deux rayons.

Mais les forces données peuvent de meme être remplacées par deux forces dirigées l’une suivant A'l 7 , l’autre suivant 6'7 7 . Soient R^ et R' ces deux forces dont les grandeurs sont représentées sur le polygone des forces par les deux rayons O 7 a et O 7 x ' .

Donc les deux forces

R * et R i

sont équivalentes aux deux forces

K et Ri

ou, si l’on veut, les quatre forces

dont les deux dernières sont égales et opposées à R' # cl R' , forment un système en équilibre, ce qui exige que la résultante de R 0 et de — R'„ soit égale et opposée à celle de R, et de — R' -, mais la première de ces deux résultantes passe par le point d’intersection de Al et de A 7 1 7 ; la seconde, par le point d’intersection de 67 et 6'7 7 . Donc la ligne qui joint ces deux points d’intersection peut être regardée comme la ligne d’action commune à la résultante de R 0 , — R', et à celle de R,, — R’ . Et comme ces résultantes sont l’une et l’autre représentées sur le polygone des forces par la ligne OO 7 (puisque l’une est la différence (*) des deux rayons On et 0 7 «; l’autre, celle de deux rayons Ojt' et O'xr'), leur ligne d’action commune est parallèle à ÜO 7 , ce qui établit le théorème énoncé.

CONDITION GRAPHIQUE POUR QU’UN SYSTÈME DE TORCES SITUÉES DANS UN PLAN ADMETTE UNE RÉSULTANTE. — Discutons maintenant la règle trouvée au § 44 pour la composition des forces situées dans un plan.

Il y a trois cas à considérer, suivant que les côtés extrêmes du polygone funiculaire se coupent, sont coïncidants ou parallèles.

(*) Le mot différence est toujours employé dans le sens défini au § 8 , Chapitre I.

Théorème. — Pour qu'un système de forces distribuées d’une manière quelconque dans un plan admette une résultante, il faut et il suffit que le polygone de ces forces ne soit pas fermé.

En ctl'ct, pour que les forces données admettent une résultante, il faut et il suffit que le point d’intersection 6 (Jig. 24 , PI. VII) des deux côtés extrêmes du polygone funiculaire soit un point déterminé et placé à distance finie, c’est-à-dire que ces deux côtés ne soient ni parallèles ni coïncidants. Il faut et il suffit pour cela que les rayons extrêmes O a et ü b issus du pôle ü (Jig. 24) ne coïncident pas, c’est-à-dire que le polygone des forces 11e soit pas fermé.

CONDITIONS GRAPHIQUES D'ÉQUILIBRE 'D’UN SYSTÈME DE FORCES SITUÉES DANS UN PLAN. — Supposons maintenant le polygone des forces fermé : c’est le cas où les points extrêmes a et b de ce polygone se rapprochent jusqu’à venir se confondre (fig. 24} ; alors la résultante sera nulle, puisqu’elle est égale eu grandeur à la droite ab\ de plus, les deux rayons extrêmes Oa et O b du polygone des forces coïncidant, les côtés extrêmes d’un polygone funiculaire quelconque seront ou parallèles ou coïncidants.

S’ils sont parallèles, le point d’application de la résultante passe à l’infini. On arrive donc à cette solution illusoire: une résultante nulle ayant son point d’application à l’infini, ce qui indique une impossibilité. S'ils sont coïncidants, le point d'application est indéterminé. .

Pour interpréter nettement ces résultats, laissons pour un instant de côté l’une quelconque des forces données. Le polygone des autres forces n'étant pas fermé, elles admettent (§ 47 ) une résultante égale en grandeur et direction, opposée en sens à la droite qui ferme ce polygone, c'est-à-dire égale en grandeur et direction, opposée en sens à la force laissée de côté. Si les côtés extrêmes du polygone funiculaire coïncident, c’est-à-dire si ce polygone se ferme, cette dernière force et la résultante des autres coïncideront ; le système proposé sera donc en équilibre, puisque l'une de ses forces sera égale et opposée à la résultante des autres ; et alors tous les polygones funiculaires se fermeront de même, carie système des forces proposées peut (§ 4 o)

être remplacé par deux forces dirigées suivant les côtés extrêmes d’un quelconque de ses polygones funiculaires; et ces deux forces ne pourront se faire équilibre que si elles sont égales et directement opposées.

Ainsi :

Théorème. — Pour qu’un système de forces soit en équilibre, il faut et il suffit que son polygone des forces, ainsi que l'un de ses polygones funiculaires, se ferme, et alors tous scs polygones f unicultures se fermeront.

Ce théorème est équivalent au théorème de Géométrie établi au §2o. Il indique que trois conditions sont nécessaires pour l’équilibre d’un système de forces situées dans un plan; en eÜ'et, la nécessité que le polygone des forces dont les côtés sont donnés en grandeur et en direction se ferme vaut deux conditions ; la nécessité qu’un polygone funiculaire se ferme ne vaut qu’une condition, puisque les côtés d’un tel polygone ne sont donnés qu’en direction. On a donc en tout trois conditions à remplir pour l’équilibre.

CONDITIONS GRAPHIQUES POUR QU'UN SYSTÈME DE FORCES SITUÉES DANS UN PLAN SE RÉDUISE A UN COUPLE. — Si, le polygone des forces étant fermé, un seul polygone funiculaire ne se ferme pas, aucun ne se fermera, parce que, si un seul se fermait, tous, d’après le théorème ci-dessus, jouiraient de la même propriété ; les côtés extrêmes de tous les polygones funiculaires sont alors parallèles : le système des forces données se réduira donc à deux forces dirigées suivant ces lignes parallèles; ces deux forces seront d’ailleurs égales et de sens opposés, puisque le polygone des forces est fermé.

Ainsi, dans le cas où la règle générale du § -ii fournit cette solution illusoire, une résultante nulle ayant son point d’application à l’infini, les forces proposées n’admettent pas de résultante unique et se réduisent à deux forces parallèles, égales et de sens contraires. Un système de deux pareilles forces se nomme un couple.

On peut démontrer directement qu’un couple ne peut pas se réduire à une force unique. En effet, si une force 11 fait équilibre à

un couple formé des forces P et — P (*), on pourra, à cause de la symétrie existant entre les deux forces du couple, trouver une autre force — R égale, parallèle et de sens opposé à R, occupant, par rapport au couple, une situation symétrique de celle de R et susceptible de le tenir également en équilibre. Soit R' une force égale et directement opposée à — R, en sorte que R' soit de même sens que R. On peut, sans troubler l’équilibre des trois forces P, — P, R, leur adjoindre les forces égales et opposées — R et R', en sorte qu’il y a équilibre entre les cinq forces

P, — P, R, — R et R';

mais il y a aussi équilibre entre les trois forces P, — Pet — R.

Donc les forces R et R' devraient se détruire, ce qui est impossible, puisqu’elles sont dirigées dans le même sens.

Ainsi, dans ce cas, les forces données n’admettent pas une résultante unique; mais il est aisé de voir qu’elles peuvent être réduites à un couple d’une infinité de manières. On peut se donner arbitrairement en grandeur, position et sens, l’une des forces du couple auquel on les réduit : il suffit pour cela de remplacer une des forces données par deux autres, dont l’une X soit donnée arbitrairement; puis laisser de côté cette force X et chercher la résultante des autres. Cette résultante sera égale et parallèle à X, de sens contraire, et formera avec elle un couple équivalent aux forces données.

Ainsi :

Théorème. — Pour qu’un système de forces se réduise à un couple, il faut et il suffit que, son polygone des forces étant fermé, un de ses polygones funiculaires ne se ferme pas ; alors aucun de ses polygones funiculaires ne se fermera, et le système des forces données n admettra pas de résultante, mais pourra d'une infinité de manières être réduit à un couple.

Nous verrons plus loin ce que ces divers couples ont de commun ; ici il nous importait seulement de montrer que le polygone des forces et le polygone funiculaire conduisent, aussi bien que les procédés de la Statique ordinaire, à la considération des couples.

(*; En appelant — P la seconde force du couple égale à P et de sens opposé.

CAS PARTICULIER DES FORCES PARALLÈLES. — Tout cc qui a été dit sur

la composition et l’équilibre des forces distribuées d’une manière quelconque dans un plan s’applique sans restriction au cas particulier où ces forces sont parallèles.

Le polygone des forces se réduit alors à une simple ligne.

La fi g. 31 (Pl. VIII') contient les lignes d’action de quatre forces parallèles 1, 2, 3, 4 , dont i, a, 3, 4 (f'g- 3l) sont les grandeurs portées bout à bout à partir du point a. La grandeur de leur résultante est ab , et pour avoir sa ligne d’action il suffit de construire un polygone funiculaire.

Le point 5 de rencontre des côtés extrêmes de cc polygone détermine la position de cette ligne.

Si l’on se donnait les cinq forces

avant pour grandeurs

on voit que le polygone des lignes serait fermé, c’cst-à-dire que la résultante des cinq lignes données serait zéro-, le polygone funiculaire serait également fermé, ce qui montre que les cinq forces données sont en équilibre, comme cela doit être, puisque la cinquième force a été prise égale et opposée à la résultante des quatre autres.

DÉCOMPOSITION GRAPHIQUE D’UNE TORCE EN DEUX AUTRES QUI LUI SONT PARALLÈLES. — De même qu’on peut décomposer, par la règle du triangle des forces, une force donnée en deux autres qui concourent sur sa direction en se donnant l’une des composantes en grandeur et position, ou les deux en position, de même on peut décomposer une force en deux autres qui lui sont parallèles en se donnant l'une d’elles en grandeur et position, ou les deux en position.

i° Soit (Jig- 2o, Pl. VII) à décomposer la force donnée R ou 1 en deux autres, suivant les lignes Q et P ou 2 et 3.

Nous construisons AC égal et parallèle à la force donnée R ou 1 ; appelons 2 et 3 les grandeurs des forces inconnues dont les ligues d’action 2 et 3 sont connues 5 joignons les extrémités de AC à un point O ; puis, d’un point a pris sur P ou 3, nous menons a I ou 3 I parallèle au rayon AO ou 3 1 jusqu'à sa rencontre en I avec la force donnée R; puis I b ou 1 2 parallèle au rayon OC ou 12 jusqu’à sa rencontre en b avec Q ; menons enfin 015 ou 2 3 parallèle a ab ou 23. Les deux forces cherchées sont AB ss P = 3 et BC = Q = 2. filles sont de môme sens.

Si la force R était placée en R' d’un même côté des lignes P et Q, en supposant AC' = 1' égal à la force donnée R', le triangle ab I serait remplacé par ab I', le point B serait au-dessous de C' et la force BC # ou 2 serait dirigée en sens contraire de la force donnée AC ; = i' et de la composante AB = 2 .

2 0 Si l’une des forces, celle P par exemple, est donnée en grandeur, alors, sur la Jtg. 23 ou 26 , on conuait les trois points A, B, C du polygone des forces et, par suite, les trois rayons OA, 015, OC. On pourra donc construire le triangle ha I et avoir un point b de la seconde composante Q. La grandeur de celte force est d’ailleurs fournie directement sur le polygone des forces comme différence ou somme des forces données.