CHAPITRE V

ÉQUILIBRE DES SYSTEMES PLAINS NON LIBRES. RECHERCHE GRAPHIQUE DES RÉACTIONS DES APPUIS.

ÉQUILIBRE D’UN SYSTÈME ASSUJETTI A TOURNER AUTOUR D’UN POINT FIXE. — PRESSION SUR LE POINT FIXE. — Un point fixe est un point tel qu’une force quelconque passant par ce point 11 e saurait le mettre en mouvement. Ce n’est pas que la fixité constitue par elle-même une force : un point fixe surlequel on n’cxercerait aucun elfort serait exactemen t dans le même état que s’il était libre; mais, dès qu’on vient à y ap-

pliquer une force Fou des forces ayant F pour résultante, la fixité du point fait naître une force F' exactement égale et contraire à F, en sorte que le point est dans le même état que si, libre, il était soumis à ces deux forces égales et contraires.

On voit par là quon peut toujours traiter un point fixe comme s’il était libre, à la condition d’adjoindre aux forces, quelles quelles soient, qui agissent sur lui une force fictive capable de les maintenir en équilibre.

La résultante F des forces agissant réellement sur un point fixe se nomme la pression exercée sur ce point; la force F' égale et contraire à F est la résistance ou la réaction du point. Si cette résistance est indéfinie, le point demeurera fixe quelle que soit la résultante F des forces qu’on y applique, c’est-à-dire quelle que soit la pression qu’on exerce sur lui. Si, au contraire, il n’a qu’une résistance limitée, il faut faire en sorte de ne pas faire naître des pressions dépassant celte limite ; et, comme tous les points fixes de la nature sont dans ce cas, on voit qu’il importe toujours de connaître exactement les pressions qu’on exerce sur eux, afin de leur donner une résistance au moins égale à la plus grande des pressions qu’ils auront à supporter.

Maintenant, supposons un corps ou système invariable mobile autour d’un point fixe et soumis à des forces distribuées dans un plan contenant ce point. Pour que le corps soit en équilibre, il n’est plus nécessaire ici que les forces qui agissent sur lui satisfassent aux conditions d’équilibre du § 49 : il sullit évidemment que leur résultante passe par le point fixe. On vérifiera aisément si cette condition est remplie ; il suffira pour cela de tracer un polygone funiculaire relatif à un pôle quelconque, en faisant passer le premier côté de ce polygone par le point fixe : le dernier côté devra y passer aussi, puisque ce point appartient à la résultante. Ainsi :

Pour qu’un système invariable, mobile autour d’un point fixe et soumis à des forces distribuées d’une manière quelconque dans un plan, soit en équilibre, il faut et il suffit qu’un polygone funiculaire quelconque passant par ce point soit fermé.

Si cette condition est remplie, la pression sur le point fixe est égale à la résultante des forces données, résultante que le polygone des forces fournit immédiatement.

ÉQUILIBRE D'UN CORPS S’AFFUTANT FAR UN POINT UNIQUE SUR UNE LIGNE INÉBRANLABLE. PRESSION SUR CETTE LIGNE. — Considérons maintenant [Jig. 27 , PL Fil) un corps ou système invariable appuyé sur une ligne fixe xy par un point A. Si ce corps n’était soumis à aucune force il serait exactement dans le même état que si la ligne lixe n’existait pas; mais s’il est soumis à des forces dont la résultante F satisfasse aux trois conditions : i° de passer par le point A; 2 0 d’ètre normale en ce point à la ligne xy\ 3° d’étre dirigée dans un sens tel, qu'elle tende à appuyer le corps sur cette ligue et non à l’cn détacher, alors il est clair que la présence de la ligne inébranlable xy fera naitre une force F' égale et contraire à F, et que le corps sera en équilibre, tout comme si, libre, il était soumis aux deux forces F et F'.

Ainsi : un corps tpti s’appuie par un point A sur une ligne Jîxc peut être rendu libre, pourvu qu’aux forces qui agissent sur lui un adjoigne une force fictive de grandeur convenable, normale à la ligne au point A.

La force F est la pression que le corps exerce sur la ligue; la force F' la réaction de celle-ci sur le corps.

Il n’est pas nécessaire que la ligne xy présente une résistance indéfinie, il suffit qu’elle présente une résistance égale ou supérieure à la pression F.

Au point de vue graphique, pour qu’un corps s’appuyant sur une ligne donnée xy en un point donné A soit en équilibre, il faut et il suffit : i° que la résultante des forces qui agissent sur lui soit parallèle à la normale à xy au point A, ce que ion vérifie immédiatement sur le polygone des forces; 2 0 quelle ait un sens tel, quelle tende à appuyer le corps sur la ligne fixe, ce que ion vérifie de même sur le polygone des forces ; 3° il faut ensuite que ta résultante passe au point A, c’est-à-dire qu’un polygone funiculaire quelconque passant par ce point se ferme. (Cette dernière condition est la même que celle trouvée au paragraphe précédent.)

ÉQUILIBRE D'UN CORPS REPOSANT PAR DEUX DE SES POINTS SUR DES LIGNES PLANES FIXES. — PRESSIONS SUR CES LIGNES. — Soit un corps reposant par deux de ses points A et B sur deux lignes fixes, on pourra (§ 53) le supposer libre, pourvu qu’aux forces qui agissent réellement sur lui on adjoigne deux forces fictives dirigées suivant les normales AN et BN ' à ces lignes ( jig . 30, PI. 1111) .

Donc, pour que le corps puisse être en équilibre, il faut et il suffît que la résultante R des forces qui agissent sur lui soit équilibrée par les forces dirigées suivant les normales AN et BN ' . Pour cela, il faut et il suffît que cette résultante passe par le jtoint d’intersection O de ces normales. Tout se passe donc comme si le corps était assujetti à tourner autour du point O considéré comme Jixe, et le problème est le même que celui traité au § 5z.

Les pressions sur les courbes sont les composantes de R suivant OA et ()B, composantes que fournit immédiatement le polygone des forces.

11 y a toutefois à satisfaire à deux conditions de plus que si le point O était réellement fixe. 11 faut que les composantes de R, suivant AN et BN', tendent à appuyer le corps sur les courbes fixes et non à les en éloigner.

Memarque. — La condition principale pour qu’un corps reposant par deux de ses points sur des ligues fixes, consistant en ce que la résultante des forces appliquées au corps passe par le point d’intersection des normales aux lignes fixes, est remplie d’ellemème :

i° Toutes les fois que les forces agissant sur le système sont symétriquement réparties par rapport à une ligne XX*, et que les normales AN et BN' sont aussi symétriques par rapport à cette ligne;

2 ° Toutes les fois que les forces agissant sut le système sont des charges verticales et que les lignes normales AN et BN ' sont aussi verticales.

Ces deux cas sont ceux qui se présentent le plus habituellementdans les applications.

ÉQUILIBRE D’UN CORPS AYANT UN POINT FIXE ET S'APPUYANT PAR UN AUTRE POINT SUR UNE LIGNE FIXE. RÉACTION DES APPUIS. — Lorsqu’un corps a un point fixe C (Ji g . 33, PI. /A ), et qu'en outre il s’appuie par un autre point A sur une ligne fixe xy, il est généralement en équilibre, quelles que soient les forces qui agissent sur lui. Si en efi’et H est la résultante de ces forces, on pourra toujours décomposer R en deux autres forces : l’une dirigée suivant la normale NA à la ligne fixe en A, l’autre passant par le point C. L’équilibre aura lieu pourvu que la composante suivant NA appuie le corps sur la courbe. Cette composante donnera alors la pression sur la courbe, et celle suivant C donnera la pression sur le point fixe. Si le système des forces données se réduisait à un couple, on pourrait toujours décomposer chacune des deux forces de ce couple en deux autres, l'une suivant la normale IA à xy et l’autre passant en C; puis composer entre elles les deux forces suivant IA en une seule dirigée suivant cette ligne, et les deux forces concourant en C en une seule issue de ce point.

Ainsi, dans tous les cas, on arrive à substituer aux forces données deux forces, l’une normale à xy en A, l’autre passant au point C. Cette dernière est détruite par la fixité du point; la première est détruite par la résistance de la ligne xy, si elle tend à presser le corps sur cette ligne.

Maintenant, comment déterminer graphiquement les pressions sur les appuis, lorsque les forces agissant sur le corps sont données par leurs lignes d’action et leur polygone des forces?

On rendra le système libre en adjoignant aux forces données : i°une force fictive normale à xy en A; 2 ° une force fictive passant en C.

La ligne d’action de la première de ces forces est connue, et de la seconde on connait un point.

Soient [f‘g- 32, PL. PI 11 ) 1, 2, 3, 4 les lignes d’action des forces appliquées au système, ces forces étant représentées par les côtés i, 2 , 3, 4 du polygone des forces (jig. 3a). Soit AN la normale à xy. Ce sera la ligne d’action de la réaction de cette ligne: nous l’appellerons 5, et par l’extrémité b du polygone des forces

nous mènerons bn parallèle à AN et nous appellerons cette ligne 5.

Maintenant construisons le polygone funiculaire relatif à un pôle quelconque O en partant du point fixe C. Le corps étant libre, pour qu’il soit en équilibre, il faut et il suffit que le polygone funiculaire dont il s’agit se ferme, ainsi que le polygone des forces. On peut tracer les côtés

Ci, 12, 23, 34 et 45

du polygone funiculaire respectivement parallèles aux rayons :

0«, O i a, Oî3 , 034 , 045,

Le dernier côté du polygone funiculaire sera C5, que nous appellerons 6. Ce sera la ligne d’action de la réaction exercée par le point fixe C ; et si, de l’origine a du polygone des forces, nous menons une parallèle à cette ligne jusqu’à sa rencontre en z avec bn, la grandeur de la réaction de xy sera bz; la grandeur de la réaction du point fixe sera az.

Ainsi la règle à suivre est celle-ci :

Soient AN la normale à la ligne fixe au point de contact et C le point fixe du corps. Tracez un polygone funiculaire quelconque des forces données, en partant de C; prolongez le dernier côté de ce poly gone jusqu’à sa rencontre avec AN en 5; joignez le point de rencontre 5 au point C; par l'origine du polygone des forces menez une parallèle à la ligne ainsi obtenue C 5, et par l' extrémité de ce même polygone menez une parallèle à la normale AN. T bus aurez ainsi complété le polygone des forces et obtenu les pressions cherchées sur le point fixe et sur la courbe fixe.

ÉQUILIBRE D’UN CORPS REPOSANT FAR TROIS POINTS SUR DES LI6NES FIXES. — Considérons maintenant un corps reposant par trois de ses points sur des lignes fixes. Soient AN, BN ; , CiN " les normales à ces lignes {fi g- 30, PI. TJ II).

Nous pouvons supprimer la ligne C, à la condition d’appliquer au corps, outre les forces qui agissent réellement sur lui, une force fictive convenable dirigée suivant CN ff .

Le système ne sera plus assujetti alors qu’à s’appuyer sur les deux lignes A et B; mais cela revient à dire (§ 51) qu’il est assujetti à tourner autour du point d’intersection O des normales à ces lignes, comme si ce point était fixe. Donc, en rétablissant la surface C, on voit que les conditions données sont les mêmes que si le corps était assujetti à tourner autour du point fixe O et à s’appuyer sur une ligne fixe. Ce problème a été résolu au paragraphe précédent.

DÉCOMPOSITION GRAPHIQUE D’UH SYSTÈME DE FORCES SUIVANT TROIS LIGNES QUELCONQUES SITUÉES DANS LEUR PLAN. — Lé problème qui fait l’objet du paragraphe précédent consiste à décomposer la résultante d 'un sj sterne de forces données par leurs lignes d'action et leur polygone des forces suivant trois lignes arbitrairement données dans le plan, ou, ce qui revient au même, à déterminer les grandeurs de trois forces dont les lignes d'action sont données, de manière qu'elles fassent équilibre à un système de forces données.

Ce problème se présentant souvent dans les applications, nous allons le traiter directement, au lieu de le ramener à celui qui fait l'objet du § 55.

Soient [fi g . 29, PL FII1)

les lignes d’action des forces données, les grandeurs de ces forces étant représentées par les côtés

du polygone des forces (Jig- 29).

Soient XX', YY', ZZ' les lignes suivant lesquelles doivent être dirigées les forces qu’il s’agit de déterminer de façon à tenir en équilibre le système proposé.

Supposons le problème résolu, et soient 5, 6, y les grandeurs des forces cherchées sur le polygone des forces. Appelons 5, 6, 7 leurs lignes d’action données XX', Y Y’', ZZ'.

Partant d’un point 7 de la ligne ZZ', construisons le polygone

funiculaire relatif à un pôle quelconque O. Soit 7 1 234567 ce polygone, qui est fermé ainsi que le polygone des forces, puisque le système est par hypothèse en équilibre.

Sur le polygone des forces on connaît le contour formé par les lignes i, 2 , 3, 4, ainsi que la position des lignes indélinies 5 et y, dont la première passe par l’extrémité b du polygone des forces données et est parallèle à 5 ou XX', et dont la seconde passe par l’origine a du même polygone et est parallèle à 7 ou Tlli . Ce qu’il faut déterminer, c’est la position du côté 6 ou xy qui est parallèle à 6. Cette ligne déterminera les grandeurs 5, 6, y des trois forces inconnues.

Du polygone funiculaire on connaît la portion 7 12345 dont les côtés sont parallèles aux rayons y i, i a, 2 3, 3 4i 4'~>-

Prolongeons sur le polygone des forces les lignes 5 et y jusqu’à leur rencontre en u et joignons Ou.

Sur le polygone funiculaire prolongeons deux des lignes données, par exemple celles XX' et Y Y' jusqu’à leur rencontre en m; par eu point menons nui parallèle à ZZ', et prolongeons 67 jusqu’à sa rencontre avec nui en «; enlin joignons On.

Les six lignes qui joignent les quatre points

du polygone funiculaire sont réciproques des six lignes qui joignent les quatre points

du polygone des forces; car, par construction, les cinq lignes 5m, mn , r»6, 56, 6 n sont respectivement parallèles à celles

-ru, yu. ry. O.r, 0.,

et l’on voit qu’aux deux triangles que forment les premières correspondent, dans les secondes, des ligues concourantes. Donc, en vertu du lemme établi au § 18, les lignes 5/s et Ou sont parallèles.

De là la construction suivante :

Donnez aux lignes d’action des forces données les numéros consécutifs

et aux côtés qui les représentent sur le polygone des forces les numéros correspondants

Donnez les trois numéros suivants :

aux lignes d'action des trois forces inconnues.

Partant d’un point quelconque 7 de la dernière de ces lignes, construisez le polygone funiculaire relatif à un pôle quelconque O des forces données. Soit 7 1 2345 ce polygone. Prolongez les lignes données 5 et 6 jusqu’à leur rencontre en m, et menez mit parallèle à 7.

D'un autre côté, par l’origine du polygone des forces menez une parallèle à 7, par sou extrémité une parallèle à 5, et conduisez le rayon issu du pôle et aboutissant au point d’intersection u de ces deux lignes.

De l’extrémité 5 du polygone funiculaire menez une parallèle à ce rayon : cette parallèle coupera mn en un point n. Joignez n 7, que vous prolongerez jusqu’à sa rencontre avec YY' en 6, et joignez 65; puis, sur le polygone des forces menez Ox parallèle à 56 et Oj parallèle à 67 ; joignez xjr. Les trois forces cherchées auront pour grandeurs et pour sens ôx, xy et y a.

Remarque. — Si les trois lignes données XX', \ r Y', ZZ' concourent au même point m, la ligne ZZ' coïncide avec mn , le point 7 avec n. Le problème est alors généralement impossible; car la ligne 5/z coïncidant dans ce cas avec 57 qui ferme le polygone funiculaire ne sera pas, en général , parallèle à On. Si elle l’est, les deux points 7 et n, qui déterminent 67, coïncidant, cette ligne est indéterminée. Ainsi, dans ce cas, le problème est ou impossible ou indéterminé. C’est ce qu’il était aisé de prévoir; car, si la résultante des forces données ne passe pas par le point de concours des trois lignes XX', YY', ZZ', on ne saurait l’équilibrer par trois forces dirigées suivant ces lignes, et, si elle y passe, on le peut d’une inGnilé de manières.

§ 57 bis.

Les fig. 31 et 34 [PI- IX) résolvent le même problème dans le cas où les forces données 1 , 2, 3, 4 sont parallèles entre elles, en sorte que leur polygone des forces, dont l’origine est a et l’extrémité b. se réduit à une ligne droite. Les lignes données sont XX', Y Y', ZZ' ou 5, 6, 7. La solution est la même qu’au paragraphe précédent, et les notations aussi, en sorte qu’on s’expliquera la figure en reprenant l’énoncé de la règle établie au paragraphe précédent. La solution de ce cas particulier sera utilisée plus loin à l’occasion de la théorie des charpentes.

Remarque. — Parfois on a à décomposer une force donnée unique F suivant trois lignes données (Jig . 33, PI. JX).

On prolongera pour cela cette force jusqu’à sa rencontre avec l’une des lignes données ZZ' en I; on prolongera les deux lignes XX', YY' jusqu’à leur rencontre en in. On décomposera F en deux forces dirigées, l’une suivant ZZ', l’autre suivant Im. On décomposera ensuite celte dernière en deux, suivant XX' et YY', et l’on aura les trois composantes cherchées.

Cela revient, si f [fig. 33) est la ligne représentative de la grandeur de la force F, à mener par l’une des extrémités de y la ligne 3 parallèle à la ligne donnée 3, et par l’autre de scs extrémités x parallèle à Im, et par les extrémités de x, 1 et 2 parallèles aux lignes données 1 et 2.

CORPS REPOSANT PAR QUATRE POINTS SUR DES LIBRES DONNÉES OU AYANT DEUX POINTS FIXES. — SUR L’INDÉTERMINATION DES RÉACTIONS DES APPUIS.

— Considérons maintenant un corps ayant (fig . 38, Pl. IX) deux points fixes O et O'. 11 est bien clair que, quelle que soit la résultante des forces agissant sur lui, uon-seulement il pourra se maintenir en équilibre, mais il pourra s’y maintenir d’une infinité de manières; car, si 11 est cette résultante, nous pouvons prendre au hasard un point I sur sa ligne d’action, et décomposer Tl suivant les deux lignes IO et 10'. Ces deux forces seront l’une et l’autre détruites par la fixité des points et fourniront les pressions exercées

ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS NON LIBRES, ETC. 7!l

par R sur ces points; mais, comme I est arbitraire, on voit que ces pressions sont ici indéterminées.

On arriverait exactement au même résultat si l’on assujettissait le corps à reposer par quatre points A, B, C, D sur quatre lignes

(fig. 39, PL IX).

En eflét, dire que le corps s’appuie sur les lignes A et B, cela équivaut (§ 34) à dire qu'il tourne autour d’un point fixe O, intersection des normales AO et BO à ces lignes. De même, dire qu’il s’appuie sur les lignes C et D, cela équivaut A dire qu’il tourne autour du point O', intersection des normales CO' et DO' à ces lignes. Donc le problème est le même que si le corps avait deux points fixes O et O'.

En prenant un point I sur la résultante R des forces qui agissent sur lui et décomposant cette force en deux suivant 10 et IO', puis décomposant celle suivant 10 en deux autres suivant AO et BO, et celle suivant 10' en deux autres suivant O'C et O'D, on aura les pressions sur les quatre courbes; et, comme le point 1 est pris au hasard, ces pressions sont encore indéterminées.

Il est bon de remarquer que l’indétermination est ici moins grande que dans le cas où les points O et 9 sont effectivement fixes ; car alors le point I peut occuper une position quelconque sur la ligne indéfinie suivant laquelle agit la force R, tandis qu’ici il ne peut occuper qu’une portion de celte ligne telle que la ligne IO tombe dans l’angle AOB, et celle K/ dans l’angle CO'D. Autrement les forces suivant OA, OBjO'C, O'D ne seraient plus des pressions, c’est-à-dire qu’elles ne tendraient plus à faire porter le corps sur scs appuis.

Mais l’indétermination n’en existe pas moins; elle serait plus grande encore si, au lieu de quatre lignes d’appui, on en supposait cinq, six, etc. Elle se présenterait même déjà dans le cas de trois appuis (traité au § 56) si les normales à ces appuis concouraient en un même point O; car la résultante des forces agissant sur le corps devrait concourir en ce même point, et l’on pourrait la décomposer d’une infinité de manières suivant les trois directions issues de O.

Comment expliquer ces indéterminations P

Il est évident que, quand un corps de la nature repose sur des lignes ou surfaces fixes, quel que soit le nombre d’appuis sur les-

ÉQUILIBRE DES SYSTÈMES PLANS NON LIBRES, ETC. quels il porte, il est dans un état parfaitement déterminé. Pourquoi la Statique ne l’indique-t-elle pas?

D’Alembertvoyaitlà un paradoxe quePoinsot a très-bien expliqué, qu’on peut expliquer aujourd'hui d'une façon plus complète encore.

Il est évident a priori que la répartition des pressions sur les appuis est déterminée en ce sens qu’elle doit toujours demeurer la même dans des circonstances identiques. Le problème à résoudre consiste à trouver cette répartition lorsque toutes les circonstances qui concourent à ladéiinirsont connues ; mais parmi ces circonstances il en est que la Statique est impuissante à mettre eu oeuvre : ce sont celles relatives aux formes des corps et aux changements qui se produisent dans ces formes par suite de l’élasticité de la matière.

La Statique suppose les corps solides invariables. Ceux de la nature ne sont pas dans ce cas : ils sont légèrement déformables en vertu de leur élasticité. Cependant les conditions d’équilibre relatives aux systèmes invariables leur sont (§ 38) rigoureusement applicables, comme elles le sont à tout système matériel, quelle qu’en soit la constitution. À ce point de vue, on peut dire que les relations de la Statique sont universelles. Seulement, tandis que, pour les systèmes invariables, elles fournissent les conditions d'équilibre à la fois nécessaires et suffisantes, dans les autres systèmes on ne les rencontre plus que comme conditions nécessaires ; et, ce qui les caractérise toujours, c’est qu’elles sont indépendantes de la forme des corps sur lesquels agissent les forces. Il suffit, en effet, de connaître les grandeurs et les positions des lignes géométriques représentant un système de forces pour pouvoir effectuer sur ces forces toutes les opérations qui sont du ressort de la Statique ; la forme des corps n’intervient pas.

Donc, parmi les relations existant entre les forces agissant sur un système quelconque, celles-là seulement pourront être fournies par la Statique, qui sont indépendantes de la forme des corps; et, pour qu’un problème consistant à déterminer des forces inconnues puisse être résolu par la Statique seule, il faut que ces forces demeurent les mêmes, quelles que soient les modifications de forme que le système peut subir en vertu de sa constitution ou de l'élasticité des corps qui le composent.

Dès qu’un problème exige qu’on se préoccupe de ces modifications de forme, les conditious d’équilibre fournies par la Statique,

tout en demeurant applicables , laissent nécessairement subsister une indétermination que le problème peut ne pas comporter. La Statique fournit alors ce qu'elle peut fournir : les relations entre les forces, indépendantes de la lormc des corps-, les autres ne sont pas de son ressort et doivent être demandées à d’autres sciences, telles que la Théorie mathématique de l’élasticité ou toute autre branche de la Physique mathématique.

Appliquons ces remarques à la recherche des réactions des appuis sur un système élastique non libre en équilibre sous l’action de forces quelconques. Supposons, pour fixer les idées, qu'il s’agisse d’un corps reposant sur des appuis fixes en nombre quelconque.

S’il est d’abord placé sur ses appuis sans qu’aucune force agisse sur lui, pas même la pesanteur, il affectera une certaine forme qui est ce qu’on nomme son état naturel. Si l’on vient à faire agir les forces, il prendra une forme nouvelle qui dépendra non-seulement des forces agissant sur lui, mais aussi des dimensions du corps, de la nature de la matière dont il est composé et de la position des appuis.

D’après les explications qui précèdent, la Statique devra fournir les réactions des appuis toutes les fois que ces appuis seront tels qu’ils n’entraveront pas la libre déformation du corps; car c’est alors seulement que les réactions pourront être indépendantes de sa forme. Ceci revient à dire que les obstacles doivent être en tel nombre qu’ils ne fassent au plus que déterminer la position du corps dans l’espace ou dans le plan, mais qu’ils ne contribuent en rien à la détermination de sa forme.

Toutes les fois que cette condition ne sera pas remplie, la Statique laissera le problème indéterminé, et la solution complète n’en pourra être obtenue que si l’on tient compte des qualités élastiques de la matière.

Ceci explique nettement tous les cas d'indétermination précédemment trouvés, aussi bien que les cas où la Statique seule a permis de trouver les réactions des appuis.

i° On peut toujours supposer à un corps un point fixe ou un point d'appui sur une courbe fixe, ou à la fois un point fixe et un point d’appui sur une courbe, ou trois points d’appui sur des courbes fixes, sans gêner en rien sa libre déformation. Toutes ces sujétions n’out trait qu’à la position du corps dans le plan; aussi,

dans tous ccs cas, la Statique nous a-t-elle fourni les réactions des

appuis.

2 ° Mais on ne peut pas supposer à un corps deux points fixes sans faire obstacle à sa libre déformation, puisque deux points fixes obligent la ligne élastique qui les unit à demeurer invariable. De même on ne peut pas supposer plus de trois lignes d'appui, puisque trois lignes d’appui suffisent à déterminer la position du corps; et même si les normales aux trois lignes d’appui concourent en un point (qui peut être à l'infini, comme c’est le cas d’une pièce droite posée sur trois appuis en ligne droite), alors deux de ces appuis déterminent la position d’équilibre du corps, et le troisième devient superflu; en sorte que dans tous ces cas la Statique doit demeurer impuissante. C’est en effet ce qui a lieu. Ou voit donc, par les explications qui précèdent, qu'on peut toujours dire a priori si les problèmes de la recherche des forces inconnues sont ou non du ressort de la Statique, et cette remarque très-simple n’a pas, que nous sachions, été faite, ou du moins ne l a pas été avec cette précision qui permet de s’en servir comme d’une propriété caractéristique de la Statique.

Le Mémoire que nous donnons à la suite de cet Ouvrage (Note 11) n’est qu’une application de l’Analyse destinée à rendre ces considérations plus précises, afin d’en mieux permettre la mise en application.