COMPOSITION DES FORCES PARALLÈLES

où se coupent les côtés extrêmes de ce polygone; elle croise la ligne ab en c. Ce point est entre les points d’application a et b si les forces données sont de même sens ; car alors les rayons OA et OC étant situés de part et d’autre du rayon OB parallèle à ab, il s’ensuit que les côtés al et b I du polygone funiculaire se coupent entre les lignes d’action P et Q; si, au contraire, la force Q était dirigée en sens contraire de celle de P et qu’elle fût plus petite, elle serait représentée sur le polygone des forces par la ligne ascendante BC', et le point C' tomberait entre B et A. Donc le côté b I du polygone funiculaire serait remplacé par bV qui irait couper al' en un point I' placé à gauche de P; la résultante couperait donc la ligne ab en un point C' placé sur son prolongement et du côté de la force P supposée la plus grande.

En outre, les triangles semblables ac I et ABO donnent

d’où

ri AB P

ne ÔB OB’

P < ac = OB X cl.

On aurait de même

Q X h, — OB .< ri

d où

P x «c = Q ■; bc.

P bc

Q ac

La même chose aurait lieu pour le point 1'; car les triangles semblables l'c'n et OC' B donnent

P X ac = OB X c'V,

Q Xôr' = OB <c'I\

d’où

P bc'

Q ac'

Cette propriété fournit un moyen graphique de construire la ré-

COMPOSITION DES FORCES PARALLÈLES, sultanle de deux forces parallèles sans recourir au polygone des forces et au polygone funiculaire (fig. 45, PI. A ).

Du point d’application b de la force Q décrivez un arc de cercle avec un rayon ôD proportionnel à P; du point d'application a de la force P décrivez de même un arc de cercle avec un rayon aD proportionnel à Q : i 0 si les forces P et Q sont de même sens, menez la bissectrice de l'angle «DA, elle ira couper nb au point c de la résultante ; 2 ° si les forces P et Q sont de sens contraires, c’est la bissectrice de l’angle aDb' supplémentaire du précédent qu’il faudra conduire pour avoir le point c' où la résultante cherchée coupe la ligne ab.

Remarque I. — La relation (a) ou (a') se déduirait immédiatement du théorème sur les moments; car, si p et q (Jig- 2o, PL IIP) sont les distances des points d’application des forces P et Q au point c de la résultante, le théorème des moments appliqué à ce point donne

P r —Qq= a, ou

P q ac

Q p bc

Il y a deux points qui divisent la ligne ab dans le rapport de P à Q : l’un placé entre les points a et b , l’autre sur le prolongement de la ligne ab et du côté de la plus grande des forces P et Q.

Si les forces P et Q sont de même sens, il faut choisir le premier de ces points; dans le cas contraire, il faut choisir le second; car ce n’est qu’à cette condition que les forces P et Q feront tounier leurs bras de levier p et q en sens contraires, et auront des moments de signes contraires donnant une somme nulle.

Remarque II. — La position du point d’application c de la résultante des forces P et Q, ou du point d’application d de la résultante des forces Pet Q', ne dépend ni de la direction commune de ces forces, ni de leurs grandeurs absolues, mais seulement de la position de leurs points d’application a cl b et du rapport de leurs grandeurs : le point c ou le point c' ne changerait donc pas si l’on modifiait les intensités de ces deux forces dans une même proportion et si on les faisait tourner d’un même angle quelconque autour

108 CENTRE DES FORCES PARALLÈLES

des points a et b , sans qu’elles cessent d’être parallèles. Ainsi, si l’on fait tourner deux forces parallèles d’un même angle a autour de leurs points d’application, sans qu’elles cessent d’être parallèles et sans que le rapport de leurs grandeurs soit modifié, leur résultante tourne elle-même autour d’un point fixe, dont la position est indépendante de l’angle a. Ce point est ce qu’on nomme le centre des deux forces parallèles appliquées eu a et b.

CCH TRI DES FORCIS PARALLÈLES. SA DÉTERKHATIOH SRAPHIÛUE. —

Théorème. — Etant donné un système de forces parallèles situées ou non dans un plan, si , sans changer soit les rapports de leurs grandeurs, soit leur parallélisme, on fait tourner chacune d'elles d'un même angle a autour d’un point fixe arbitrairement choisi sur sa ligne d'action, leur résultante ne Jera ellemême f/ue pivoter autour d ‘un point fixe, indépendant de l 'angle a et dont la position dépend uniquement des positions des points ayant servi de pivots aux forces données et des rapports des grandeurs de ces forces.

Ce point est le centre des forces parallèles.

Supposons le théorème démontré pour un système de i forces, je dis qu’il sera vrai pour i ’ -f- 1 . En efl'et, soient la résultante des i premières forces données et H la résultante de Q et de la (i ■+• i)**"" que nous nommerons P 1+ , : R sera ainsi la résultante de toutes les forces données.

Faisons tourner chacune de ces forces d’un même angle quelconque autour d'un point fixe, de façon qu’elles ne cessent pas d’être parallèles : par hypothèse, la résultante Q des i premières forces tournera du même angle autour d’un point fixe; mais alors la résultante de Q et de P, +1 , c’est-à-dire la résultante R de toutes les forces données, tournera elle-même autour d’un point fixe en vertu de la Remarque II du paragraphe précédent. Donc, si le théorème est vrai pour i forces, il est vrai pour i -h i .

Etant établi pour deux forces, il est donc vrai pour trois, par suite pour quatre, et ainsi de suite pour un nombre quelconque.

Remarque I. — Lorsque les points fixes autour desquels pivotent

CENTRE DES FORCES PARALLÈLES. 109

les diverses forces sont sur une ligne droite, le centre des forces parallèles se trouve aussi sur cette ligne.

Remarque II. — Lorsque les points d’application d’un système de forces parallèles distribuées d’une manière quelconque dans l’espace sont tous dans un même plan P, le centre des forces parallèles est lui-môme dans ce plan.

Pour le démontrer, il suffit de supposer que toutes les forces aient tourné d’un même angle, de façon à venir se coucher dans le plan : leur résultante sera alors elle-même dans ce plan; il en est donc de même du centre des forces parallèles données qui est un point de cette résultante.

COMPOSITION ET ÉQUILIBRE GRAPHIQUE DES FORCES PARALLÈLES DANS L’ESPACE. — Cette remarque permet de ramener à un problème de Statique graphique plane la recherche du centre des forces parallèles dans l’espace et, par suite, aussi la recherche de la résultante des forces parallèles dans l’espace; car si on connaît le centre d’un système de forces parallèles, la ligne d’action de leur résultante est connue puisqu’elle passe par ce centre et est parallèle aux forces données; la grandeur de la résultante égale à la somme des forces données et son sens sont directement fournis par le polygone des forces.

On pourra, par exemple, se donner les lignes d’action ainsi que le polygone des forces, en projection sur deux plans perpendiculaires. On déterminera les traces des diverses lignes d’action sur l'un des plans de projection; puis on amènera toutes les forces données dans ce plan en les faisant tourner d’un même angle autour de leurs traces. Le centre des forces ainsi déplacées sera un point de la résultante cherchée; la direction de cette résultante est celle des forces données; sa grandeur se trouve sur les deux projections du polygone des forces.

Si les forces ainsi ramenées dans un plan admettent une résultante unique, il en sera de même des forces données. Ceci exige, d’après ce qui précède (§ 49), que le polygone des forces ramenées dans un plan, lequel est identique à celui des forces données, ne soit pas fermé.

HO PROJECTIONS ET MOMENTS DES FORCES PARALLÈLES

Si le polygone des forces données est fermé, alors ces forces se feront équilibre ou se réduiront à un couple, suivant que leur polygone funiculaire, après qu’elles auront été amenées dans un plan, sera fermé ou non.