DH

f r — AWîür — h)

GG, DH Gtf, — T"

Donc, si l’on prend, sur une ligne quelconque issue de G,, G, u, égal au rayon de la sphère, et sur une parallèle à cette ligne, issue de G,, G, u, — DH, la ligne u , u, ira couper OC au centre de gravité cherché G.

Centre de gravité dn volume d'une zone aphérigue. — Soit [fig- 63, PI. XII ) une zone sphérique engendrée par la demi-révolution de la zone circulaire A, A, B, B,, comprise entre les cordes parallèles A, Bd A, B,, autour de l’axe OM. O11 aura

vol. A, A,B,B,=:sect. OA, MB, — sect.OA.MB, -4- cône OA, B, — cône OA, B,.

Nous savons trouver les centres de gravité des quatre corps dans lesquels le volume de la zone se trouve ainsi décomposé. Soient G„ G, les centres de gravité et Q,, Q, les volumes des secteurs O A, MB, et OA, MB, ; soient de même g, et g t les centres de gravité, et (/,, (j , les volumes des cônes, en sorte que

vol. A, A, B, B, - Q, - Q, + 7, - q ,.

Le centre de gravité cherché G est (§80) le centre de quatre lorces parallèles et proportionnelles à

Qi. — Q„ q-i et — q , appliquées respectivement aux points

G,, G„ g , et g„

les signes moins, dans la désignation des forces appliquées en G, et gx, indiquant que ces forces sont de sens contraire à celles appliquées G, et g t .

142 DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES CENTRES DE GRAVITÉ. On a, en appelant r le rayon de la sphère et posant

MD, TT A, , MD, — /h.

D, B, — fi, Q. = ^ n r*/i„

Qj ~ ^ r *“*»

7î = 3PÏ( r - *>)•

Doue les forces parallèles à appliquer en

sont respectivement proportionnelles à

ou à

2 A„ — (r — A,)Êp (r—

Prenons sur OM une longueur 0/3 a = D, B t = p,, et décrivons l’arc de cercle jSj {S, jusqu’à sa rencontre en (3, avec OA,; menons les lignes Mp, et A,j3 2 . Par D s conduisons une parallèle D,#, «à Mjs’,, et par h\ une parallèle h\ /r* à A, |3 S . On aura

OD x OM r

o/; “ op\ “ P ,’

ox; OA, /

o /■, O ji, p,

d’où, en multipliant membre à membre,

A,). -â*fï

OD, r 2 O/, “ pj

OX.ttOD,

On trouvera de même, en portant sur OM et sur OA les Ion-

gueurs Oj3, —0(3', = D, B, — p„ joignant M(3', et A, (3,, et menant D, k\ et k\ k,, parallèles à ees deux lignes,

Donc les forces à appliquer aux points G„ G,, g, et g sont proportionnelles aux lignes

aOD,, — aOD,. OA-, et —OA,.

Appelons-les

et porlons-les sur une ligne OX [fig. 63), parallèle à A, B, à partir de O ; puis, appelant

leurs lignes d’action issues de G,, G,, g , et g , , construisons le polygone funiculaire relatif au pôle G; nous déterminerons ainsi la résultante de ces forces, résultante dont l’intersection avec OM est le centre de gravité cherché G.

§ iio.

Segment de paraboloïde. — Soit ( ftg . 57, PL XI) un segment de paraholoido A 151. Soit IX le diamètre conjugué à la section BA. Comme IX est le lieu des centres de ligure, et par suite des centres de gravité des sections faites dans le paraholoido, parallèlement à BA, le centre de gravité G se trouvera sur cette ligne (§ 100). Soient x et j les coordonnées de la parabole BIA, relativement aux axes IX et IV”. Les sections parallèles à BA étant toutes semblables entre elles, leurs aires sont comme les carrés des ordonnées de la parabole. Donc le théorème des moments relatifs au plan tangent en I donne

IG/)' 3 dx =fxy'dx,

et, comme y 1 — 2 px,

IG fxdx — f x 1 dx.

lit DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES CENTRES DE GRAVITÉ, les intégrales étant à prendre de x — o à x = CI.

Donc

§ ill-

CENTRE DE GRAVITÉ D’DH CORPS QUELCONQUE. — On inscrira, dans la surface limitant le corps, un polyèdre d’un assez grand nombre de faces pour que ce polyèdre puisse être sensiblement confondu avec le corps, et l’on en cherchera le centre de gravité par la méthode «lu § 105.