CHAPITRE XI

DÉFINITION DGS F RAM! WORKS ET AVANTAGES QU'ILS PRÉSENTENT DANS 1X8 CONSTRUCTIONS. — La plupart des systèmes de barres que nous aurons à considérer seront des figures strictement indéformables formées comme celle (Jig. 69, PL A 'IP') :

i° D’une suite de barres ab, bc, cd, de, limitant la figure à sa partie supérieure par uu contour soit rectiligne, soit polygonal. Nous appellerons ces barres les barres supérieures ;

2 ° D’une seconde série analogue ag, gf, fe, limitant la figure à sa partie inférieure et que nous appellerons les barres inférieures;

3° Ces deux ligues de barres sont habituellement réunies par des barres plus inclinées, telles que bg,gc, effd : celles de ces barres qui sont inclinées dans le même sens que la première de gauche bg seront appelées des étrésillons ou bracons; celles qui sont inclinées dans le même sens que la deuxième gc à partir de la gauche seront désignées sous le nom de contre-étrésillons ou contre-bracons .

Lorsque certains étrésillons sont verticaux, uous les appellerons des poinçons.

Les figures que nous venons de définir sont caractérisées par ce que :

i° Elles sont formées de triangles et sont strictement indéformables ;

io

a 0 Une section transversale quelconque xj ne coupe jamais plus de trois barres {Jig- 09).

Leur emploi, dans l’art des constructions, se répand de plus en plus dans tous les pays étrangers, et partout on les désigne sous des noms particuliers : en Angleterre, ce sont des frameworks ; en Allemagne, des Fachwerk en Italie, des travature reticolari.

Il est facile de comprendre le prix que les constructeurs y attachent :

i° Elles présentent les conditions à' indéformabililé que l’on doit rechercher dans toute ossature ou charpente en bois ou en métal et elles les présentent sans dispositions compliquées, avec le plus petit nombre possible de pièces, par conséquent avec des pièces robustes, peu sensibles aux trépidations, peu susceptibles d’ètre faussées lors de la pose, oilrant la plus faible surface possible à l’oxydation ou à la pourriture, et présentant le moins possible d’assemblages, de rivetages, etc.

2 ° Elles peuvent être calculées d’après les seuls principes de la Statique, sans recours aux hypothèses de la résistance des matériaux. Ce point a une grande importance; car, si les constructeurs adoptent, dans la pratique, des charges si notablement inférieures à celles que les matières employées peuvent supporter, c'est , en partie, à cause des incertitudes qui régnent dans les calculs de la résistance des matériaux. Ici ces incertitudes disparaissent et les calculs laborieux de la résistance peuvent être remplacés, avec une exactitude parfaitement suffisante, par les constructions géométriques très-simples et très-méthodiques de la Statique graphique. Enfin ces systèmes sont à peu près les seuls qui puissent être véritablement constitués en forme de solides d'égale résistance, c’est-à-dire avec la plus grande économie possible de matière (*). Les pièces appelées solides d’égale résistance dans les théories semi-empiriques, semi-rationnelles de la résistance des matériaux ne méritent pas tout à fait ce nom : car il n’y a que les deux fibres extrêmes de chaque pièce ( celle qui subit le plus grand allongement et celle qui subit le plus grand raccourcissement élastique ) qui supportent les tensions ou pressions auxquelles la matière employée permet d’atteindre; toutes les autres fibres

(• } Cela ressort du Mémoire (Note II) placé à la suite de cet Ouvrage.

supportent des efforts élastiques moindres; la matière n’est donc pas employée le mieux possible.

En général, quand une pièce est soumise à ce qu’on appelle la flexion, c’est-à-dire à une déformation élastique où les fibres s’allongent ou se raccourcissent de quantités inégales, il est clair que, de quelque manière que ion s’y prenne, il est impossible de faire en sorte qu’elles supportent toutes le même eflort élastique par unité de surface; en d’autres termes, il est impossible d’édifier, en forme de solide d’égale résistance, une pièce qui jléchit.

Au contraire, on obtient un solide d’égale résistance, et le plus simple possible, en soumettant une barre à la traction simple ou à la compression simple, c’est-à-dire en appliquant à ses deux extrémités deux forces égales et contraires ; car, toutes ses fibres subissant alors le même allongement ou le même raccourcissement, la tension ou pression par unité de surface est la môme dans toute son étendue.

Qu’on prenne maintenant un assemblage de barres réunies entre elles par articulations, et qu’on soumette ce système à des eflorts extérieurs quelconques; s’il est tel que la Statique seule suffise à calculer les tensions de ses divers côtés, ce qui exige simplement (§ 64 et 65) qu’il forme uuc figure déformable ou strictement indéformable, alors on pourra toujours, une fois les tensions des barres graphiquement obtenues, déterminer leurs sections, de façon que toutes les barres tendues supportent même tension et toutes les barres pressées môme pression par unité de surface. On aur.t donc un solide d’égale résistance dans la vraie et meilleure acception possible du mot.

Cet avantage est immense : les ingénieurs des Etats-Unis, avec le sens pratique qu’ils possèdent à un si haut degré, l’ont depuis longtemps et instinctivement compris. Ils n’emploient plus le métal à la flexion ; tous leurs grands ponts sont formés de pièces articulées ne travaillant qu’à l’extension simple ou à la compression simple (*); et par là ils arrivent à des résultats comme ceuxci : tandis que, sur l'ancien continent, on regarde une portée

(*) Ils disposent même généralement leurs ouvrages de façon que jamais, même sous l’action d’une charge roulante, une pièce no puisse travailler tantôt à la compression, tantôt à l'extension. Us préfèrent doubler les barres.

de 80 à 100 mètres comme une chose fort remarquable, aux Etats- Unis, on fait des ponts parfaitement rigides ayant des portées de 3 oo à 4 oo mètres. Actuellement on construit à New-York un pont dont la travée centrale aura 497 métrés, soit, en nombre rond, un demi-kilomètre de portée. ( Voir le très-beau Mémoire, sur sa mission en Amérique, de M. l’ingénieur en chef Malézieux.)

M. Malézieux rapporte que, pour un grand pont projeté sur l'Ohio, on a fait divers projets : les uns, au moyen de poutres en croix de Saint-André ou à treillis, et les autres, en systèmes de barres articulées ; que les calculs comparatifs ont montré que ce sont ces derniers qui offrent le plus d’économie. Les ingénieurs américains attribuent cela à diverses causes. Pour nous, la cause est bien simple : elle se trouve dans les rétlexions qui précèdent et qui montrent combien est judicieux l'emploi du métal par allongement simple ou compression simple; combien relativement irrationnels, dispendieux, difficiles ou impossibles à calculer avec sécurité les systèmes dans lesquels le métal travaille par flexion.

Remarque . — Il est facile de comprendre a priori que toutes les forces intérieures des diverses pièces qui composent un framework peuvent être déterminées par les procédés de la Statique graphique. En effet, faisons, dans uue telle figure, une section quelconque. La portion de la figure placée d’un côté du plan sécant doit être en équilibre sous l’action des forces qui y sont appliquées et des tensions des barres coupées; mais, ces barres étant au nombre de trois, déterminer leurs tensions revient à trouver les grandeurs de trois forces dont les lignes d'action sont données, par la condition qu’elles fassent équilibre à un système de forces donné. Ce problème a été résolu (§ 57 et 57 bis ), et, en appliquant la solution à un nombre suffisant de sections, on trouverait successivement les tensions de toutes les barres.

Ce procédé, si simple qu’il soit, comparé aux calculs, la plupart du temps impraticables, qu’exigerait la Statique ordinaire (*), peut

(• . On comprend que le» barre» d'une ligure comme celle 74, PL Xf'l, en y introduisant les lignes trigonométriques des angles variables d'une barre à l'autre, seraient impraticables; car il ne faut pas perdre de vue que c’est par centaines que sc comptent les barres qui entrent dans une construction telle qu'un pont. De plus, certaines de ces barres sont pressées et d'autres tendues; il y aurait là une confusion et une com~ plication inextricables.

APPLICATION A ÜN FRAMEWORK EN GÉNÉRAL. 149

être considérablement simplifié encore et facilité par l’emploi des figures réciproques -, c’est ce que nous allons montrer ; mais nous devions faire ressortir cette méthode fondée sur l’emploi des sections faites en travers d’une figure; car elle peut être utilisée même quand certaines sections particulières seulement satisfont à la condition de ne couper que trois barres. On peut alors, si compliqué que soit le reste de la figure, trouver les tensions des barres ainsi coupées, et la connaissance de ces tensions particulières permet parfois de trouver, par les méthodes que nous allons exposer, les tensions de toutes les autres barres, même quand certains plans sécants rencontreraient plus de trois d’entre elles.

Nous ferons notamment usage de ce procédé au § 129, dans l’étude des grandes charpentes pour toitures.

RECHERCHE SES TENSIONS D’UN FRAMEWORK SOUMIS A DES FORCES ÛUEL- CONttUES. — Soit (Jig. 64, PL XIII) un framework soumis à un système de forces en équilibre

sur la Jig. 64 est représenté par des lignes doubles

le polygone de ces forces, et sur la Jig. 64 nous avons tracé leur polygone funiculaire relatif au pôle quelconque O.

Ce que nous avons à construire (§63), c'est le diagramme réciproque de la Jig. 64, en y comprenant le polygone funiculaire. Les lignes de ce diagramme réciproque nous donneront la mesure des tensions ou pressions que subissent les lignes correspondantes de la figure donnée.

Nous commencerons par construire la figure réciproque du nœud formé par les trois lignes 10, 11, 12, que nous appellerons, pour abréger, le nœud (10, 11, 12). Ce nœud comprenant trois lignes, sa figure réciproque sera un polygone fermé de trois côtés, c’est-

düO APPLICATION A UN FRAMEWORK EN GÉNÉRAL.

i-dire un triangle. Nous connaissons déjà un côté de ce triangle, à savoir : le côté 10 du polygone des forces, réciproque de 10 . Donc, pour avoir les deux autres côtés, on devra, par l’une des extrémités de 10, mener une parallèle à 11 et, par l'autre, uuc parallèle à 12 ; mais ici se présente une ambiguïté. Il n’est pas indifférent de partir de l’une ou de l’autre des extrémités de io pour mener la parallèle à 11 ; faute de placer les lignes comme il faut, on n’a pas la ligure réciproque, et l’on obtient des lignes qu’il faut ensuite déplacer parallèlement à elles-mêmes, pour les faire servir dans les constructions subséquentes. Cela entraînerait des complications très-grandes et ôterait à la méthode sa simplicité pratique et sou élégance.

Pour lever l’ambiguïté, il suffit de se rappeler (§ 26 ) que chacun des côtés des figures que nous considérons fait partie de deux polygones fermés et de deux seulement ; le côté 10, en particulier, fait partie de deux quadrilatères : l’un d’eux comprend, outre la ligue 10, les lignes 11,1 et le côté du polygone funiculaire compris entre 10 et 1 (*),

Les lignes 10 , 1 et 11 , faisant ainsi partie d’un même polygone fermé, ont pour réciproque un nœud. Ce nœud est nécessairement le sommet formé par l’intersection des côtés io et i du polygone des forces, puisqu’ils sont réciproques de 10 et 1 . Donc c’est par le sommet (io, i) qu’il faut mener la parallèle à 11 et, par suite, c’est par le sommet (io, 9) qu’il faut mener la parallèle à 12, ce qu’on verrait d’ailleurs directement en raisonnant sur le second des quadrilatères fermés dont fait partie 10 comme nous avons fait sur le premier.

Nous avons ainsi le triangle (10, 11, 12) réciproque du nœud

Passons au nœud ( 12 , 13 , 14 , 9 ), qui a pour réciproque un quadrilatère fermé. Nous connaissons deux côtés de ce quadrilatère, à savoir : les lignes 12 et 9 réciproques de 12 et 9 . Donc par l’extrémité de 12 on devra mener une parallèle à l’une des deux lignes 13 , 14 , et, par l’extrémité de 9, une parallèle à l’autre de ces deux

(*) L’autre, dont nous n’avons pas besoin quant à présent, comprend, outre 10, les lignes 12, 9 et le côté du polygone funiculaire compris entre 10 et 9-

lignes. 11 y a ici la même ambiguïté que tout à l’heure, et on la lève de la même manière.

La ligne 12 fait partie de deux polygones fermés, dont l’un est le triangle (12, 13, 11) (*). Donc ces lignes ont pour réciproque un nœud, et ce nœud est déterminé par l’intersection de 1 1 et 12} donc c’est par le point (il, ta) qu’on devra mener la parallèle à 13 et, par suite, par le point (8, 9) la parallèle à 14, ce qu’on reconnaîtrait encore en remarquant que 8, 9 et 14 font partie d’un quadrilatère fermé.

Passons au nœud (1, H, 13, 13, 16). Il a pour réciproque un pentagone fermé. Nous connaissons trois cotés de ce pentagone, à savoir, I, 11, 1 3, réciproques de 1 , 1 1 , 13.

Donc par (1, a) on devra mener une parallèle à l’une des deux lignes restantes 13 ou 16 et par (i3, 14) une parallèle à l’autre; mais, 1, 2 et 16 faisant partie d’un même quadrilatère, c’est par (1, a) qu’on mènera la ligne 16 et, par suite, par (13, 14) la ligue 13.

On passera ensuite au nœud (14, 13, 17, 18, 8) qui aura aussi pour réciproque un pentagone dont on connait trois côtés 1 4? l5, 8. Comme 7, 8 et 18 font partie d’un quadrilatère fermé, par (7, 8) on mènera une parallèle à 18 et par ( 1 5, 16) une parallèle à 17.

On poursuivra ainsi : en arrivant à un nœud quelconque, on connait, par les constructions faites antérieurement, toutes ses lignes réciproques sauf deux, en sorte que par l’une des extrémités du contour formé par les lignes connues on mène des parallèles à 1 une des deux lignes dont la réciproque est à chercher, et par l'autre une parallèle à l’autre de ces lignes, et l’on sait toujours par quelle extrémité il faut conduire chacune des deux parallèles.

V èrification. — Arrivé au dernier nœud (26, 27, 3), on en connait d’avance toutes les lignes ; la ligne 27 se trouve tracée sur le polygone réciproque du nœud (2i, 4, 23, 27) : la ligne 26 se trouve tracée sur le polygone réciproque du nœud (22, 6, 23, 23, 26);

(* ) L'autre est le quadrilatère formé de 10, 12, 9 et du côté du polygone funiculaire joignant 10 et 9-

enfin la ligne 5 se trouve sur Je polygone des forces. 11 faut, comme

i vérification , que ces trois lignes forment un triangle fermé. Une

telle vérification se trouve à la fin de tous les tracés de la Statique

graphique.

RÈGLE A SUIVRE FOUR DISTINGUER LES LIGNES TENDUES ET LES LI6NES COMPRIMÉES. — iSous avons indiqué en traits Joi^s les lignes comprimées et en traits minces les lignes tendues.

Rien n’est plus simple que de les distinguer. Prenons le nœud (10, 11, 12]. Dans le triangle ( io, 1 1 , 12 ) réciproque de ce nœud, io estla résultante des lignes 1 1 et ta. Donc le contour formé par ces deux lignes doit être parcouru en partant de l’origine de io, c’est-à-dire (§ 2) du point (io, g). F.n le parcourant ainsi, on obtient le sens des forces ta et il ; et en concevant ces forces appliquées au nœud (10, 11, 12) on voit que la ligne 12 est tendue et la ligne 11 comprimée.

En général, dans le polygone réciproque d’un nœud quelconque N, il y a un coté 0 appartenant au polygone des forces. Le contour formé par les autres côtés doit être parcouru en partant de l’origine de C pour aboutir à son extrémité. On conçoit les forces avec leurs sens ainsi obtenus, appliquées en : celles qui tombent suivant les lignes de la figure issues de K sont des pressions ; celles qui tombent en prolongement de ces lignes sont des tensions.

S’il y a des nœuds pour lesquels la force C se réduit à zéro, on se sert d’un des autres côtés, déjà connus en sens, du polygone réciproque de N, pour fixer le sens cyclique (§1) de ce polygone.

Il est d’ailleurs bon de faire le départ entre les pressions et les tensions, au fur et à mesure de la construction des polygones réciproques.

Remarque I. — Habituellement, dans la pratique, lorsque toutes les forces appliquées aux divers sommets d'une figure sont connues d'avance, on se dispense de tracer le polygone funiculaire indiqué au pointillé sur la fig. 61, de même qu’on se dispense de tracer, sur le diagramme 64i les lignes issues de 0 et parallèles aux côtés de ce polygone. On trace directement toutes les autres lignes qui constituent à elles seules la solution du problème. Pourvu que le polygone des forces soit tracé, on peut y rattacher toutes les autres lignes du diagramme réciproque ; seulement, pour lever les ambi-

APPLICATION A UN FRAMF.WORK EN GÉNÉRAL, guïtés qui se présentent sur la position à donner aux diverses lignes, il faut concevoir la figure complétée par le polygone funiculaire et se rappeler que trois lignes, telles que 1, 2 et 16, font partie d’un quadrilatère fermé dont le quatrième côté appartiendrait au polygone funiculaire, s’il était tracé, en sorte que ces trois lignes doivent, dans le diagramme réciproque, concourir en un môme point.

Mais, la plupart du temps, on ne connaît pas d’avance toutes les forces appliquées aux divers sommets des figures, parce que. parmi ces forces, il se trouve des réactions d’appui qu’il faut commencer par déterminer. Nous n’insisterons pas toujours sur les règles à suivre pour cela, ces règles ayant été indiquées en détail au chapitre V, et nous supposerons quelquefois, pour ne pas compliquer de questions accessoires ce qui fait l’objet principal de ce qui va suivre, toutes les forces extérieures, y compris les réactions des appuis, connues. Nous ne tracerons donc pas, en général, le polygone funiculaire qui figure sur le diagramme 64, ni les rayons correspondants du diagramme réciproque 64; mais on n'oubliera pas, et cela ressort suffisamment des diagrammes que nous donnons, que, dans la pratique, on sera presque toujours obligé de commencer les épures par le tracé de ces lignes, parce cjuc ce sont elles qui fournissent les grandeurs des réactions des appuis.

Remarque 11. — Dans ce qui va suivre, nous n’emploierons plus des chiffres moulés pour désigner les lignes d’action des forces et des chiffres ordinaires pour représenter leurs grandeurs. Les deux lignes représentatives d’une force seront l’une et l’autre désignées par un même chiffre ordinaire. Seulement, la figure formée parles lignes d’action d’un système de forces sera désignée par un numéro gras, et la figure formée par les lignes représentant les grandeurs des forces, sera désignée par le numéro similaire, écrit en chiffres ordinaires. De plus, dans le texte, nous continuerons à indiquer par des chiffres gros les lignes de la première de ces figures, et par des chiffres ordinaires les lignes de la seconde. De cette façon, aucune ambiguïté ne sera possible.

Ainsi, quand nous étudierons, par exemple, le diagramme formé par les fi g. 6o et 65 de la PI. XIII, et que nous parlerons des lignes

de ec diagramme, on saura qu’il s'agit des lignes portant les numéros

sur la Jig. 65; tandis que quand nous parlerons des lignes

on saura qu’il s’agit des lignes portant ces numéros sur la Jig. 65.