CHAPITRE XII

i° Ponts à poutres droites.

POUTRES DROITES DE HAUTEUR CONSTANTE, PORTANT DES CHAR6ES VER- TICALES UNIFORMES OU QUELCOHOUES SUR LE TABLIER. — Considérons le type représenté par la Jig. 60 (PI. XIII) et portant les charges verticales ayant pour ligues d’action

Il est facile, par le tracé d’un polygone funiculaire, de trouver les réactions des appuis. Dans le cas particulier où toutes les charges seraient égales, les réactions seraient chacune égales à la demisomme des charges. Soient généralement 9 et 10 les lignes d’action de ces réactions. Le polygone des forces se réduit à une ligne droite qui est tracée en doubles traits sur la Jig. 65. De ce polygone on connaît les côtés

Les réactions 9 et 10 sont données par le tracé du polygone funi-

APPLICATION AUX DIVERSES ESPÈCES DE PONTS FIXES. culaire relatif à un pôle quelconque O, le rayon O9.10 étant parallèle à la ligne 9.10 qui ferme ce polygone.

On tracera d’abord la réciproque du nœud (10, 1 1 , 12). C'est un triangle dont on connaît le côté 10. On voit que 10 fait partie d’un quadrilatère fermé dont 1 et 10 sont deux côtés. Donc, par (10, 1), on mène une parallèle à 11 , et par (10, 9) une parallèle à 12; 12 est comprimé et 11 tendu.

Passons au nœud (1, 11, 13, 14). Sa réciproque est un quadrilatère dont on connaît les côtés 1 et 1 1 . Pour avoir i3, on remarque que 13 fait partie d’un polygone fermé (triangle), avec 1 1 et 12. Donc, par le point (ti, ta), on mène une parallèle à 13, et par (1, 2) une parallèle à 14; 13 est comprimé et 14 est tendu.

Passons au nœud(12,13, 15, 10); on connaît les côtés iaet i3 de son quadrilatère réciproque. Par ( 1 3 , 14) on mène une parallèle à 15 ( puisque 13, 14, 15 forment un triangle ), et par l’extrémité de ta une parallèle à 16; 16 est comprimé et i5 tendu. Eu poursuivant de inème, on obtiendra tout le diagramme.

Remarque I. — Les diagrammes 65 et 65 montrent ce qui suit :

i° Les barres supérieures sont toutes comprimées; les barres inférieures toutes tendues.

Les barres inclinées sont alternativement tendues et comprimées, sauf celles 23 et 25 qui sont toutes deux tendues. Ces deux barres sont celles entre lesquelles tomberait la résultante statique des charges appliquées à la poutre.

a 0 Les tensions ou pressions des barres horizontales vont en croissant, depuis les extrémités de la pièce jusqu’au point d'application de la résultante statique des charges.

3° Les tensions ou compressions des barres inclinées vont au contraire en diminuant, depuis les extrémités jusqu’à ce point d’application.

Remarque II. — Les fig. 66, 66 donnent l’épure d’une poutre chargée uniformément. Les compressions, ou tensions des barres horizontales, vont en augmentant, et celles des barres inclinées en diminuant, des extrémités au milieu de la pièce. Les pressions des deux barres du milieu sont nulles.

POUTRES DE HAUTEUR CONSTANTE NE PORTANT OU'UNE CHARGE CONCENTRÉE EN UN POINT DU TABLIER. — La fig. 67 , 67 (PI. XIII ) donne le diagramme d'une poutre de hauteur constante portant une charge concentrée en un point quelconque de son tablier, et la f Jîg. 68, 68 (PI. XIV) donne le même diagramme, lorsque la charge est au milieu. Dans ce dernier cas, les réactions des appuis 2 et 3 sont chacune la moitié de la charge 1 ; dans le premier, elles sont données par le polygone funiculaire tracé sur le diagramme.

On déduit encore de ces diagrammes :

i° Que les barres supérieures sont toutes comprimées, les barres inférieures tendues. Ces pressions ou tensions vont en augmentant des extrémités de la pièce jusqu’au point d’application de la charge.

a° Les barres inclinées sont alternativement tendues et comprimées, sauf les deux contiguës à la charge, qui sont toutes deux tendues. Ces pressions ou tensions vont en diminuant depuis les extrémités de la pièce jusqu’au point d’application de la charge.

Remarque I. — Les constructions précédentes 11e supposent en rien que les étrésillons et contrc-étrésillons soient symétriques. Elles s’appliquent, quelles que soient les inclinaisons de ces pièces, et en particulier quand certaines d’entre elles sont verticales, à’ous retrouverons ce cas, qui se présente fréquemment dans la pratique, à l’occasion des ponts suspendus rigides.

Remarque II. — Les diagrammes seraient tout aussi simples à trouver, si les charges étaient appliquées aux sommets supérieurs de la ligure, au lieu de l'être aux sommets inférieurs.

Si des charges étaient appliquées simultanément à tous les sommets, on pourrait faire deux épures, l’une, en ne considérant que les charges sur le tablier, l’autre, en ne considérant que les charges sur les nœuds supérieurs ; mais il est plus simple de ne faire qu’une épure. La chose ne soulfre aucune diûiculté. ÎSous allons en donner un exemple dans le cas un peu plus complexe d’une poutre de hauteur variable.

POUTRE DROITE DE HAUTEUR VARIABLE PORTANT DES CHARGES VERTICALES BUELCONGUES. — Soit \fig- 70 , PI. XIV) une poutre de hauteur

variable reposant sur deux appuis. Elle est formée de poinçons verticaux, d’étrésillons et contre-étrésillons symétriquement placés par rapport au milieu de la pièce. Elle est soumise aux forces verticales

Nous construirons les deux réactions verticales 1 et 9 comme il a été fait précédemment (*). Ces forces connues, d’un point o ( fi g. 7 o) portons bout à bout les forces à partir de la première. Nous aurons le polygone 1.2.3.4,5.6.8.9.10. 1 1 .12. 1 3. 1 4- 15. 16 qui se fermera, c’est-à-dire que nous reviendrons nécessairement au point a.

Cela posé, nous construisons le triangle réciproque du nœud (1,17, 18). A cet eifet nous remarquons que, si l’on traçait sur la figure un polygone funiculaire, les lignes 1,2 et 18 feraient partie d’un polygone fermé. Donc, dans le diagramme réciproque, elles forment un nœud; donc, par le point (1, 2) nous menons une parallèle à 18, et parle point (1, 16) une parallèle à 17.

Nous passons ensuite au nœud (16, 17, 19, 20) dont la figure réciproque est un quadrilatère. Nous connaissons les côtés 16 et 1 y de ce quadrilatère.

Les lignes 16, 15, 20 font partie d’un polygone fermé et donneront, par suite, un nœud dans le diagramme réciproque; donc par (i5, 16) ou mènera une parallèle à 20, et comme 17, 18, 19 forment un triangle, par (17, 18) on mènera une parallèle à 19.

Passons ensuite au nœud (2, 18, 19, 21, 22) qui est, lui, formé de cinq lignes (**) et a pour réciproque un pentagone. On connait les trois côtés 2, i8et 19 de ce pentagone. La ligne 22 faisant partie avec 2 et 3 d’un quadrilatère fermé, les lignes 2, 3 et 22 sont concourantes; donc par (2, 3), on mène une parallèle à 22, et par (19, 20), une parallèle à 21.

On passe ensuite au nœud (15, 20, 21, 23, 24) dont on connait toutes les lignes réciproques, sauf celles des deux dernières. Pour les obtenir, par (i4, i5) on mènera une parallèle à 24, et par (21, 22) une parallèle à 23.

( * ) On cherche la résultante des forces données 2 , 3 , . . , 0 , 10, 10 ( § 50), et on la décompose suivant les lignes I et 0 (§ 51).

(*•) Il faut toujours du nœud primitif, qui a trois lignes, passer ensuite à celui des deux nœuds voisins qui a le moins de lignes.

Ou continuera ainsi jusqu'au nœud (4,20, 27,29,30;. Si de celuici on passait au nœud (13, 28, 29, 31, 33, 34), on ne pourrait pas le construire. Cela tient à ce qu’il contient une ligne de plus que tous les autres. On ne connaît les réciproques que des trois premières de ces six lignes, et le problème consistant à compléter le polygone serait indéterminé.

On construira donc d’abord la figure réciproque du nœud (o, 30, 31, 32), qui, lui, contient au contraire une ligne de moins que les précédents, et admet pour réciproque un quadrilatère dont on connait les deux côtés, 5 et 3o. Pour avoir les deux autres, par ( 29 , 3o), on mènera une parallèle à 31 , et par (5, 6) une parallèle à 32.

Alors on pourra passer au nœud à six côtés (13,28, 29,31 , 33, 34), dont on connaîtra toutes les lignes réciproques, sauf les deux dernières, et l’on poursuivra les constructions sans difficulté sur la seconde moitié de la pièce.

Si les charges sont symétriques, on pourra évidemment se dispenser de cette partie des opérations.

2 ° Ponts suspendus.

PONTS SUSPENDUS RIGIDES. — Soit (fig. 71, PL XV) une chaîne de pont suspendu réunie à son tablier non par de simples montants verticaux, comme on les construit habituellement, mais au moyen de tringles inclinées qui fassent, du tout, un système rigide. (Cela n’empêchera pas qu’il soit bon d’établir la chaîne en forme de polygone funiculaire, comme si elle était déformable.)

O 11 donne les forces verticales agissant sur la chaîne

et celles qui agissent sur le tablier

On connaît les tensions suivant les lignes extrêmes 9 et 17 du polygone funiculaire formant la chaîne, par le tracé même de ce polygone.

On voit qu’ici ces tensions, qui sont les analogues de ce qui, dans

les ponts à poutres droites, constitue les réactions des appuis, sont inclinées. Le polygone des forces ne sera donc plus, comme au paragraphe précédent, une simple ligne verticale.

Pour le former, on portera (fig. 71 ), sur une ligne verticale et bout à bout, les forces 1 , 2 , 3, 5, 6 , 7 , 8 ; au bout de 8 on por-

tera la force inclinée 9 -, puis, au bout de 9 , les forces verticales 10 , 11 , 12 , i3, 14 , 5, 16 , et enfin la ligne 17 fermera le polygone des forces.

Pour tracer le quadrilatère réciproque du nœud (1, 17, 18, 19), dont les deux premiers côtés sont connus, on remarque que, si la figure était complétée par le tracé d’un polygone funiculaire quelconque, les lignes 1, 2, 19 feraient partie d’un quadrilatère fermé, ainsi que celles 16, 17, 18. Donc par(i, 2 ) on mènera une parallèle à 19, et par ( 16 , 17 ) une parallèle à 18.

On passe ensuite à la réciproque du nœud (16, 18, 20, 21), dont 011 connaît les deux lignes 16 et 18 . Les lignes 18, 19, 20 forment un triangle; donc par ( 18 , 19 ) 011 mènera une parallèle à 20 , et par (i5, 16 ) une parallèle à 21 , et ainsi de suite.

AUTRE EXEMPLE DE PONT SUSPENDU RIGIDE. — On voit ( fig . 72, 72 ,

PL XV) un autre exemple de pont suspendu rigide, dans lequel les montants verticaux qui soutiennent le tablier sont renforcés par des étrésillons symétriquement placés par rapport au milieu.

jNous supposons, pour montrer la forme que prend, dans cette nouvelle hypothèse , le diagramme réciproque , que les charges verticales ne portent que sur le tablier. Le polygone des forces se réduit à un triangle, et les lignes réciproques des côtés du polygone funiculaire partent toutes du point O, pôle de ce polygone.

PONT SUSPENDU ORDINAIRE. — La fig. 73, 73 [PL XV) représente un pont suspendu tel qu’on les construit habituellement, c’est-à-dire dont le tablier est simplement soutenu par des barres verticales. La

cliainc est un polygone funiculaire dont le pôle est le point 0 de concours des lignes de la jig. jZ. Le polygone des forces est indiqué en lignes doubles.

Ponts en arc.

FOUT EH ABC AVEC SOH TTMPAH. — Soit ( fig . 74, PL A77) un arc avec son tympan.

11 est soumis :

i° Aux forces verticales 1, 2, 3, . . ., 12 agissant sur le tablier ;

a° A celles 14, 13, 10,. . ., 20 agissant sur l’arc;

3° Aux réactions des culées 27 et 13. Le polygone des forces est représenté comme toujours par des doubles lignes (Jig- 74).

i° On construira le quadrilatère réciproque du nœud (20. 27, 28, 29) dont ou conuait les deux côtés 26 et 27 . Par ( 20 , 26 ) on mènera une parallèle à 29, et par ( 27 , 1 ) une parallèle à 28.

2 0 On passera ensuite au nœud (1, 28, 30, 31 ) ; la réciproque de ce nœud est un quadrilatère dont on connait les côtés 1 et 28 . Par ( 28 , 29 ) on mènera une parallèle à 30, et par ( 1 , 2 ) une parallèle à 31 .

La réciproque du nœud (23, 29, 30, 32, 33) est un pentagone dont on connait les trois côtés 25, 29 , 3o. Par (3o, 3i ) on mènera une parallèle à 32; par ( 24 , 25) une parallèle à 33. De là on passera au nœud (2, 31, 32, 34, 33), et ainsi de suite.

11 est à peine besoin de faire ressortir à quels calculs inextricables on serait amené pour résoudre par la Statique ordinaire le problème qui fait l'objet de ce paragraphe.

Remarque. — Le pont d’Arcole, sur la Seine, à Paris, est fait suivant le type que représente la jig. 73, sauf quelques barres additionnelles qui évidemment, dans la pensée des auteurs de ce bel ouvrage, sont moins destinées à contribuer à la résistance générale qu’à empêcher les barres principales de iléebir.