APPLICATION AUX POUTRES DROITES PORTANT DES CHARGES VERTICALES
— Théorème. — Le moment fléchissant, relatif à une section faite dans une poutre droite horizontale soumise à des charges verticales quelconques , est la portion d' ordonnée que cette section découpe dans un polygone funiculaire dont le pôle est distant, d ’ une longueur égale à l'unité, de la verticale représentant le polygone des forces.
En effet, soit (fl g- 93, PI. XXI ) une poutre soumise à des forces verticales quelconques i, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, les unes ascendantes, les autres descendantes, le nombre et les intensités des forces dirigées dans chaque sens pouvant d’ailleurs être quelconques. Supposons qu’on ait construit le polygone funiculaire Y H 3' 4' 3' 6' 7' 8* 1' relatif à un pôle O situé à une distance OP, égale à l’unité de longueur, de la verticale figurant le polygone des forces (flg- 93). 11 s’agit de déterminer le moment fléchissant relatif à la section quelconque a(3 faite dans la poutre. Je dis que ce moment est l’ordonnée ah =jr que la verticale et fi prolongée détermine dans le polygone funiculaire.
En effet, le point d’application de la résultante R des forces agissant entre la section et l’une des extrémités de la poutre, par exemple l’extrémité gauche, est le point d’intersection I des côtés i"£ et T 8' du polygone funiculaire. Cette résultante est verticale et égale à la longueur wC = 8 — 1 prise sur le polygone des forces. Le moment fléchissant est, par définition, le produit Rxlt de la résultante R par sa distance à la verticale a@. Or, les triangles OcaC et I ab étant semblables, leurs bases sont entre elles comme leurs hauteurs.
D’où
wC nh
ôp “ 17
ou, puisque OP est l’unité de longueur,
ou
R X 1/ = ab,
ce qu’il fallait démontrer.
Remarque. — La construction qui précède donne le moment relatif à une droite a(3 du système des forces parallèles 1 , 2, 3, ... . Ce moment (§ 77) ne change pas si l’on fait tourner ces forces autour de leurs points d’application respectifs sans qu’elles cessent d’être parallèles, alors même que ce mouvement aurait pour effet de faire sortir les forces données du plan qui les contient. On peut donc dire que la construction qui précède fournit le moment de la résultante d’un système de forces parallèles, situées ou non dans un même plan, pourvu que leurs points d'application soient dans un plan, relativement à une droite de ce plan.
Quant aux efforts tranchants, ce sont, par définition, les longueurs du polygone des forces comptées à partir de son origine <•>.
En les reportant en face des sections auxquelles elles se rapportent, on obtient la ligne brisée marquée en traits pleins sur la fig. g3 et, pour une section quelconque a(3, l'ordonnée y'y" de cette ligne brisée, comptée à partir de l’horizontale wto' émanée de l’origine du polygone des forces, est l’effort tranchant.
§ uo.
APPLICATION AUX ARCS PORTANT DES CHARGES VERTICALES. — Supposons qu’il s’agisse d’un arc ou d’une portion d’arc [fig. 100, PI. XXII ) ; les charges qui y sont appliquées sont encore verticales ; mais les deux réactions des culées ou, plus généralement, les réactions des sections extrêmes de la portion de l’arc considérée sont inclinées, en sorte que le polygone des forces comprendra une ligne verticale et deux côtés inclinés (Jig. too).
La résultante de translation des forces comprises entre une section quelconque a/3 et l’extrémité gauche de la pièce est immédiament donnée sur le polygone des forces : c’est le rayon la ou la3, issu du point I d’intersection des deux côtés inclinés de ce polygone.
On aura donc sans difficulté la composante de cette force parallèle à ût|3, c’est-à-dire l’effort tranchant, ainsi que la composante perpendiculaire à a/ 3, qu’il est, en général, aussi utile de connaître.
Pour avoir le moment fléchissant dans la section a(3, c’est-à-dire le moment, par rapport au point g où a/3 coupe la fibre moyenne, de la résultante des forces 8, 1 , 2, comprises entre aj3 et l’extrémité
