ET DES MOMENTS FLÉCHISSANTS

gauche de la pièce, on pourrait tout simplement appliquer le procédé du § 68 ; mais il est peut-être plus commode d’employer le suivant :

Soit A un point quelconque de la ligne d'action 8 ; par ce point, menons une horizontale rencontrant en A' la ligne d’action 7 .

Décomposons la réaction 8 en deux forces passant par A, l’une 8' verticale, l’autre 8" horizontale.

Faisons la même décomposition sur la réaction 7 supposée appliquée en A', de façon à obtenir les composantes 7 ' et 7 ".

Les forces agissant sur l’arc étant en équilibre, la projection de leur somme sur la ligne AA' est nulle, c'est-à-dire que les deux forces 7 " et 8" sont égales et opposées, et l’ensemble des forces verticales

forme, de son côté, un système en équilibre dont le polygone des forces est ( fig. ioo) formé parles lignes

et a pour origine le point o> projection de I sur la verticale ZZ' .

Soit O un point distant de ZZ' d’une longueur égale à l’unité. Si nous construisons le polygone funiculaire BA 0 A, A, A, À» A, A, B' B, relatif au pôle O, des forces verticales

la somme des moments autour d’un point quelconque g de la fibre moyenne des forces verticales 8', t, a comprises entre ce point et l’extrémité gauche de la pièce sera (§ 139 ) l’ordonnée Ay, que la verticale du point g détermine dans ce polygone. Donc, pour avoir le moment fléchissant relativement à la section «(3 passant par le point g , il suffira, d’après la définition de ce moment, et en vertu de ce que le moment de la résultante d’un système de forces est égal à la somme des moments de ces forces, d’ajouter à la longueur Ay celle qui représente, en grandeur et en signe, le moment de la force unique 8" relativement à g ; ce moment est négatif, puisque la force 8" tend à faire tourner son bras de levier en sens contraire de celui dans lequel se meuvent les aiguilles d’une montre ; le moment de la résultante des forces verticales 8', 1, 2 est, au con-

traire, positif; en effet, pour avoir un point de cette résultante et, par suite, sa position, puisqu’elle est verticale, il suffit de prolonger le côté A j A 8 du polygone funiculaire jusqu’à sa rencontre avec la ligne BB' qui ferme ce polygone; ce point de rencontre tombe à gauche du point g-; donc la résultante est elle-même à gauche de ce point; elle est d’ailleurs ascendante, puisqu’elle est égale à la ligne ascendante oui du polygone des forces ; donc elle tend à faire tourner son bras de levier autour de g dans le sens des aiguilles d’une montre et son moment est positif; par suite, on devra de ce moment retrancher celui de la force S".

Pour avoir le moment de la force 8", c’est-à-dire le produit 8" X gi ou couX£t, il suffit, par application du procédé exposé au § 67, de prendre, sur la verticale ZZ', une longueur ww' égale à l’unité, de joindre w'1 et, par le point A, de mener une parallèle AK à w'I.

Si par le point £on mène une horizontale, elle déterminera dans l’angle KAV un segment mn égal au moment cherché. En portant sur l’ordonnée kj une longueur kk' = mn , la ligne k J j représentera le moment fléchissant cherché.

il résulte de là que, pour avoir les moments fléchissants dans les diverses sections d’un arc, il suffira de suivre la règle très-simple que voici : i° par les points g 0 , gngtT • • d’application des charges, menez des verticales qui déterminent, dans le polygone funiculaire des forces verticales

des segments A 0 /oi kij n A*/j,. • • •

a° Par les mêmes points g 0 , g - ,, g . . , menez des horizontales qui déterminent, dans l’angle KAV, d’autres segments.

3° Portez ces nouveaux segments sur les premiers, à partir des points *o, *i, A,,. . . du polygone funiculaire, ce qui détermine un nouveau polygone k\h\k , i ...h\. Les ordonnées k\j^ A A et généralement A ’j de ce nouveau polygone, comptées à partir de la ligne BB' qui ferme le polygone funiculaire, fournissent les moments fléchissants dans toutes les sections.

Toute cette construction demande moins de temps à effectuer qu’il n’en faut pour la décrire.

De plus, les moments iléchissants sont positifs ou négatifs, suivant que les ordonnées k'j tombent d’un côté ou de l’autre de la

ligne BB\ Aux points d’intersection du polygone à’, à', . . .K t avec la ligne BB', les moments fléchissants sont nuis.

Nota. — Si les forces se succédaient d’une manière continue, les divers polygones considérés seraient remplacés par des courbes ; mais on peut toujours, dans les applications, remplacer des forces se succédant d’une manière continue par des forces isolées sufüsa minent rapprochées. Les données des problèmes de la Résistance des matériaux ne sont jamais assez précises pour qu’une telle substitution puisse présenter le moindre inconvénient, et il est plus correct et plus simple de tracer des polygones que de tracer des courbes dont la construction ne peut d’ailleurs jamais se faire que par points.