CHAPITRE XVII

APPLICATION A LA DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS d’oRDRE SUPÉRIEUR DES FORCES PARALLÈLES DONT LES POINTS D’APPLICATION SONT SITUÉS DANS UN MÊME PLAN ET PARTICULIÉREMENT A LA DÉTER- MINATION GRAPHIQUE ET A l’ÉTUDE DBS MOMENTS d’inERTIE DES AIRES PLANES.

§ » il-

DÉFINITION ET DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS D’ORDRE SU- PÉRIEUR OUI FONT L’OBJET DE CE CHAPITRE. — Nous avons défini (§ 77) les moments des forces parallèles dont les points d’application sont situés dans un plan, relativement à une droite de ce plan, les produits de ces forces par leurs distances à la droite, et nous avons vu que le moment ainsi défini de la résultante d’un système de forces est égal, si l’on fait certaines conventions sur les signes des moments, à la somme algébrique des moments de scs composantes. Nous avons, de plus, donné au § 139 le moyen de construire graphiquement le moment de la résultante d’un système de forces parallèles dont les points d’application sont situés dans un plan, relativement à une droite de ce plan. Ainsi, dans les Jig. 93 et q3, les forces données supposées ramenées, comme on peut toujours le faire, dans le plan qui contient leurs points d’application, ont pour lignes d’action

184 DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS D’ORDRE SUPÉRIEUR et pour grandeurs

Le moment de la résultante, relativement à la ligne a(3, de toutes celles qui sont à gauche de ap est ab ; le moment de la résultante des forces t, 2 , 3, 4i 5, relativement à a(3, serait le segment de que les côtés extrêmes du polygone funiculaire de ces cinq forces déterminent sur la ligne a(3, et ainsi de suite.

Soient généralement

des forces données ayant pour lignes d’action les lignes 1, 2, 3, 4, . ..

de la fig. 93 et pour grandeurs les lignes 1 . 2 . 3, 4,. . .

delà fig. ç)3.

Soient

X|, Xj, X 3 , X 4 , . . , X,-f . . . ,x„

les distances de leurs points d'application à la droite a[i : si la ligne ba est le moment de la résultante obtenu graphiquement, cette ligne représente aussi la somme des moments des composantes, c’est-àdire que l’on aura

( a ) ba — P, .r, -4- P,x, -t- P,x, -t- . . . -4- P, t„.

Les fig. 93 et g3 ne fournissent pas seulement le second membre de cette égalité, mais aussi, si on le veut, chacun des termes qui le composent.

Veut-on avoir le terme P, .r, ? On prolongera, jusqu’à la verticale a(3, les deux côtés du polygone funiculaire issus du sommet 3'; on interceptera ainsi, sur la verticale a(3, une longueur 3| qui sera (§ 07) le produit cherché. Supposons qu’on prolonge ainsi jusqu’à la verticale a) 3 tous les côtés du polygone funiculaire, on interceptera sur cette ligne des segments

DES FORCES PARALLÈLES

que nous appellerons

et 1 on aura

Concevons : i° qu’on regarde ces longueurs comme un nouveau système de forces parallèles agissant aux points d’application

des forces données ;

a° Qu’on porte ces forces, en leur assignant des sens différents, suivant que les forces données tendent à faire tourner leurs bras de levier dans un sens convenu ou en sens contraire, sur une verticale quelconque, de façon à former un nouveau polygone des forces analogue à celui représenté sur la Jig. g3 ;

3° Qu’on construise un polygone funiculaire relatif à un pôle distant, d’une longueur égale à l’unité, de la verticale dont il s’agit.

La verticale «(3 découpera, sur ce nouveau polygone funiculaire (que nous ne traçons pas pour ne pas compliquer la figure), un segment analogue à ba et que nous appellerons Z>, <i, . On aura

b, a, — P', J, P'jjr, -4- . . ,

ou, en vertu des expressions (b) des forces P' ( ,

(«') b, a, = P,*; -4- P, x] -+- P ,-rJ ïP ,xl,

c’est-à-dire que la ligne £,< 1 , représentera la somme des produits des forces données par les carrés des distances de leurs points d’application à la ligne a/3. Cette somme est ce qu’on appelle le moment d'inertie des forces données relativement à cette ligne.

De même que le polygone funiculaire de la fig. 93 donne nonseulement le second membre de l’équation (a), mais encore séparément chacun des termes de ce second membre, de même le nouveau polygone funiculaire dont nous venons d’indiquer le tracé donnerait chacun des termes qui composent le second membre de l’équation (a'). Appelons

ces termes, de façon que

En les regardant, à leur tour, comme les grandeurs d’un système de forces parallèles agissant aux points d’application des forces données et cherchant graphiquement la ligne représentant le moment de leur résultante, on trouverait une ligne b t a t telle que

l, 7 a, -- P'x, -i- P'jX, -*- P'x, -+-...

M. = P,.*; -+- p,*î + p,x; ip.xf,

c’est-à-dire qu’on obtiendrait la somme des produits des forces données par les cubes des distances de leurs points d’application à la ligne a| 3. En poursuivant ainsi, on obtiendrait généralement la construction graphique de l’expression

(** = P,x*-i- P,x,‘. . . -+- !*«-*■* = “Pi-*"?.

et, en même temps, la construction graphique de chacun des termes composant cette somme. Soient

ces termes, de telle façon que

Q, = P,xî, Qj = P»x* , . Q.^P.xJ.

Si l’on regarde maintenant

Q.. Qît Qj. • ■ • • Q,

comme des forces parallèles agissant aux points d’application des forces données et suivant des directions perpendiculaires à ces forces, soit, surla figure, parallèlement à une ligne horizontale y5, on pourra trouver graphiquement le moment de leur résultante par rapport à cette ligne. Soit p t+i ce moment; si

■T.. Ji. r. r.

désignent les distances des points d’application

des forces données à la droite yS, on aura

p»+. = Q./i •+■ QîJi -+-•••-+- Q.j.

f*i+i = P,x*/, -4- P,x*/, . . H- P.x* y * = lP(xf Xi-

DES FORCES PARALLF.LES

En continuant à opérer sur les forces, dans la nouvelle direction qui vient de leur être donnée, comme on a opéré sur elles dans leur direction première, on trouverait successivement, et par des constructions graphiques, les quantités

= ïPi^Î/Î;

Cette quantité p (+ j est ce qu’on peut nommer un moment de l'ordre k-h l des forces données. Dans la pratique, on ne fait guère usage que des moments des deux premiers ordres. Ceux du premier ordre sont de la forme

ce sont les moments statiques ou les moments des forces données relativement à une droite af>, tels que nous les avons définis au § 77. Ceux du second ordre sont de l’une des deux formes

îP.x/ OU lP,JT,Xi.

Le premier est le moment d' inertie relativement à la droite a/3. Ainsi l’on nomme moment d’inertie d’un système de forces parallèles dont les points d’application sont situés dans un plan, relativement à une droite de ce plan, la somme des produits de ccs forces par les carrés des distances de leurs points d’application à la droite. On donne au moment d’inertie d’une force le signe de celte force.

Si on pose

SP»r/=:fcr>SP„

r est une longueur que l’on nomme le rayon de gj ration du système des forces données relativement à la droite afi.

Remarque. — On voit que la construction graphique des moments des divers ordres, et, en particulier, celle des moments statiques et des moments d’inertie, n 'offre aucune difficulté et découle d’une façon très-remarquable de l’emploi du polygone des forces et du polygone funiculaire.

Lorsque les forces données, au lieu d’être en nombre fini, sont infiniment voisines, les polygones funiculaires sont remplacés par des courbes. On devra dans ce cas, si l’on veut opérer graphique-

ment, remplacer les forces données par un nombre liai de forces assez voisines les unes des autres pour pouvoir approximativement tenir lieu des forces données ou bien chercher l’expression analytique du moment à déterminer et construire ensuite cette expression.

Nous donnerons plus loin quelques exemples pour indiquer la marche à suivre; mais auparavant nous allons faire une étude plus complète des moments d’inertie si usités dans les applications de la Mécanique aux constructions.

DES MOMENTS D’INERTIE RELATIFS A DES AXES PARALLÈLES OU CON- COURANTS. — On comprend qu’entre les moments d’inertie d’un système de forces donné, relativement aux différents axes que l’on peut tracer dans le plan de leurs points d’application, il doit exister certaines dépendances.

Ces dépendances sont très-utiles à contiaitre : nous allons les exposer succinctement, en nous bornant au cas où toutes les forces sont de même sens.

Théorème I. — Le rajon de gyration d'un système de forces relativement à un axe quelconque est égal à t hypoténuse d'un triangle rectangle ayant, pour côtés de l'angle droit : i° le rayon de gyration relativement à un axe parallèle à celui que l'on considère et passant par le centre des forces parallèles données ; 2 ° la distance entre ces deux axes.

En effet, soient ( fig . 95, PI. XXI ) x t les distances des points d'application des forces données à un axe ZZ'; soient x\ ces mêmes distances à un axe Z, Z', parallèle à ZZ' et passant par le centre G des forces parallèles données ; enfin soit a la distance entre ces deux axes. On aura

d’où

ïP,x,’ = -+-«)’=: SP,^’ 4- ïPj<j’ -+ aïP.Xj a

ou, en mettant en facteur la constante a,

lP,x» = iPixJ'-t-o’lP. -t- aaïPixJ;

mais , en vertu du théorème sur les moments des forces parallèles,

DES FORCES PARALLÈLES

SP.Xj — o •, car cette quantité est égale à Z P, multiplié par la distance du centre des forces parallèles à Z, Z\ : or cette distance est nulle puisque Z, Z', passe par ce centre. Donc

s P,*’ , ïP,r'*

iP/ ïp<

c’est-à-dire que le carré du rayon de gyration relatif à ZZ' est égal au carré du rayon de gyration relatif à ZiZ', plus le carré de la distance entre ZIZ' et Z, Z', , ce qui démontre le théorème énoncé.

Théorème II. — Si, sur les diverses lignes issues d’un point quelconque d'un plan, on porte des longueurs inversement proportionnelles aux rayons de gyration relativement à ces lignes, le lieu des extrémités de ces longueurs est une ellipse.

Soient ( fig . 94, PL XXI) C un point quelconque du plan ; Cx', C y deux axes de coordonnées rectangulaires et C u une droite quelconque formant un angle a. avec l’axe Cx'.

Le moment d’inertie d’une force P,-, relativement à la droite Cu, est, en désignant par x, et y\ les coordonnées de son point d’application ,

P,(/i cos a — x, sin «)*,

et le moment d’inertie de toutes les forces données relativement à C u sera

IP,(/' cos a — x| sin a) 1 .

Si donc on appelle r le rayon de gyration relatif à cette ligne, on aura

/*ïP/ = ïP.Cxî cos « — xJ sin a)*

H IP, = - Pi,/, 1 cos 1 a -r- XP,-.r' , sin 1 a — i ïP,x'/î sinacosa,

et en posant

a'*lP/ = ïP/xJ’ , 6'»lP,= ïP ( ;rJ*, c-lP^ïP.x;/',

(A) = 4' 1 cos 1 a -t- a' 1 sin 1 a — 2 c' 1 cos a sin a.

Portons sur Cm une longueur

d étant une constante que l’on peut choisir arbitrairement. Si x J et y désignent les coordonnées du point M, on aura

, d , rf .

x — - cos a, r — - sm a.

Si on tire de là les valeurs de cos a et de sin a et qu’on les porte dans l’équation (A), r* disparaîtra en facteur commun; et il viendra

où a' et b' sont les rayons de gyration relatifs aux axes des y' et des x‘ et c' 1 le rapport

SP.*lr;

IVi ’

équation d’une ellipse.

ELLIPSE D'niERTIE ET AXES PRINCIPAUX. — ELLIPSE CENTRALE ET AXES CENTRAUX. — Si l’on avait pris deux autres axes de coordonnées rectangulaires Cx et Cy, on aurait obtenu une équation de la même forme, c’est-à-dire une équation telle que

6’x’ -f- a' y ’ — a c'xy—d',

où a et b eussent désigné les rayons de gyration relatifs aux nouveaux axes, et c le rapport

ï. P,- Xi n

Supposons qu’on prenne pour axes des x et desjy les axes principaux de la courbe.

Pour ces axes on aura c = o, c’est-à-dire

La courbe (i), rapportée à ces axes, prend la forme i’x* -t- a* y 7 — d *,

DES FORCES PARALLEl.ES.

et, en faisant la constante d' = a' b',

où a et b sont les rayons de gyration relativement aux axes principaux passant au point c, savoir : a le rayon de gyration relatif à l’axe des y, et b le rayon de gyration relatif à l’axe des x, c'est-à-dire que

a --ïpT’

iPjTi

Remarque. — On donne au moment d'inertie d’une force le même signe qu’à cette force.

Si toutes les forces sont dirigées dans le même sens, on le prend pour sens positif, et alors le moment d’inertie de chaque force, relativement à un axe quelconque, étant positif, il en est de même du moment d'inertie de leur ensemble. En ce cas, a * et b * sont essentiellement positifs, et la courbe (2) ou (1) est une ellipse.

Si, au contraire, les forces données ne sont pas toutes dirigées dans le même sens, il peut arriver que les moments d’inertie du système de ces forces , relativement aux deux axes principaux passant au pointC, soient de signes contraires, c’est-à-dire que l’unedes quantités a * ou b' soit à remplacer par — a' ou — b *. Ces quantités se trouvant alors de signes contraires, la courbe (1) ou (2) est une hyperbole.

La courbe (2), relative à un point C du plan, est nommée la courbe ou conique d’inertie relative à ce point; scs axes principaux sont appelés les axes principaux d’inertie, ou simplement les axes principaux relatifs à ce même point. Lorsque le point C coïncide avec le centre des forces parallèles, la conique d’inertie relative à ce point prend le nom de conique centrale, et ses axes principaux le nom d’axes centraux du système des forces données.

On voit qu’en chaque point les axes principaux sont tels que, si on les prend par axes des coordonnées x et jk, on a

lPiXiJTi=0.

On est certain qu’en chaque point il existe deux axes rectangulaires pour lesquels cette relation est satisfaite.

19 r'-TCRvryAT'ON .GRAPHIQUE DES MOMENTS D'ORDRE SUPÉRIEUR

§ Ui.

EtHt fiT .■■■■■ DES jIAMTTEES CÛNJDSÜÉS DES COmflüES D'UTEETIE. —

Soient {fi g. 96, PL XXI ) deux axes rectangulaires Cx' et C y', passant par un point quelconque C du plan. L’équation de la conique relative au point C peut s’écrire, comme nous venons de 1«

voir,

(« bis)

-I- «'*/> — ae ,, x'/ = d\

OÙ

et d' est une constante.

Prenons un nouvel axe Cy" formant avec CxL un angle 9, et soient x" et y" les nouvelles coordonnées. On aura

(A) y — f' tint, af — x"-t-y'cos8,

en sorte que l’équation (i bis), rapportée aux nouveaux axes, sera

a ’i x "i-u m'i cos 8

— a c' sin 9

a? y* ■+■ «'■ cos’ 9 -+- A' 1 sin’ 8 — ac' , sin9cos9

La formule (A) du § 142 montre, et il est d’ailleurs évident, que le coefficient Ac. y"' est le carré du rayon de gyration relatif à l’axe C y". Soit b , ce rayon. Posons de plus

ZP //

De la formule {b) on déduit

, Y cos 8

d’où

^ ~ sin 8

et xj

— xi — ■— — — ,

sin 9

cos9

'sini* ’

*iJi =

sin 9

ZP.r'r' i ZP.r/ri cos9 ZP/.ri’

ZP( sinfl ZP( sin9 ZP* *

DES FORCES PARALLÈLES

ou enfin

<•'* a' 1 cos9

siu 9 «ni 9

a' 1 cos# — «S’sinO = — c) sin’9.

Donc l’équation (a) peut s’écrire

«'’x"’ — 2sin’9cJ AJ y ~a : .

Si les axes Cx" et Cy " sont deux diamètres conjugués de la conique centrale, le terme en x" y" disparait de cette dernière équation, c’est-à-dire quec, = o.

Ainsi les diamètres conjugués sont caractérisés par la relation

(a) IP.x'jJ — o.

Si les lignes Cx" et C y" sont rectangulaires, la formule (a) caractérise les axes principaux: c’est ce que nous savions déjà.

Remarque. — Si du point dont les coordonnées sont x" et» " on abaisse sur Cx 1 ' et C y" des perpendiculaires q et />, on aura

. P sinO

sine’

donc, x* et y] étant les coordonnées du point d’application de la force P,-, et p, et q t étant les distances de ce point aux axes Cx" et Cy ", on aura