CF = V Ï

Désignons par xety les coordonnées d’un point quelconque C du plan, rapporté aux axes centraux Ox cl Ojr, et soient Ci' et Cy' deux axes parallèles à Ox et O r, passant au point C. Le rayon de gyration relatif à l’axe Cx' est (§ 1 42)

Le rayon de gyration relatif à l’axe C y' est

a — y'tf 3 4- x-.

Soient x’ et y, les coordonnées du point d’application d’une quelconque des forces données P,, relativement aux axes Cx' et C y'. Posons

On a

x[ = Xi — x,

d’où

xi = r. — x<

*\/i — n — x*i — x Xi x x>

1 P, r, r/ 1 P. r, 2 P iYi

~ïe7 — r

Et comme Cx et C y sont les axes centraux, les trois premiers termes sont nuis; donc

d' — xy.

L’équation de la courbe d’inertie relative au point C, rapportée aux axes Cx' et C y', est (§ 143)

b' 3 x' J -t- «’ ! y ' 1 — ac' 3 x' y' = d\ ou

(b* -r y') x' 1 -t- (« 3 + x’; r'' — w/iV-'d 1 .

Soient CX et CY ses axes principaux; si a est l’angle que l’un de ces axes fait avec Qx' ou avec Ox, on a, d’après la théorie des courbes du second degré,

ou bien

tang 2 * =

— 2XY — (rt’-r- x')

— 2-rj

ou, comme

tang 2 a =

- r , = tang CF x,

on a d’où

— — — — tang CF' x,

tang 2 a = tang (CF'x -t- CFx),

a ~ — (CF’x -f- CF.r ) t

a = - — — (CF / x -f- CF x) 2 2 '

Cela siguiGc que, si l’on joint le point C aux deux foyers F et F' de laconique AA'BB' et qu’on mène les bissectrices des deux angles supplémentaires formés par ces rayons vecteurs, ces bissectrices sont précisément les axes principaux cherchés.

On sait que, par tout point C d’un plan, on peut faire passer une ellipse et une hyperbole admettant les foyers F et F' et se coupant à angle droit; les lignes CX et CY sont précisément les tangentes, ou, si l’on veut, les normales à ces lignes.

Ainsi, lorsque des forces parallèles quelconques agissent sur un nombre fini ou non de points pris dans un plan , leurs axes prin-

DES FORCES PARALLÈLES. 197

cipaux d'inertie aux divers points du plan sont les normales aux deux familles de conii/ues homofocales à la conique centrale, que l’on aurait fait tourner d'un angle droit autour de son centre.

DÉTERMINATION GRAPHIQUE DE U GRANDEUR DES AXES PRINCIPAUX RELA- TIFS A UN POINT QUELCONQUE ET DU MOMENT D’INERTIE RELATIF A UNE DROITE QUELCONQUE DU PLAN. — Une fois connue la direction des axes principaux relatifs à un point quelconque du plan, rien n’est plus facile que de déterminer la grandeur de cesaxcs; car on peut facilement trouver le rayon de gyration relatif à une droite quelconque XX' du plan {Jig. 99). Pour cela, du centre O des forces parallèles, on mènera une droite ?$' parallèle à la droite donnée. La perpendiculaire abaissée sur £•(■', de l’extrémitédu diamètre de l’ellipse centrale conjugué à ££', représente (§ 145) le rayon de gyration relatif à celte ligne. Connaissant le rayon de gyration relatif à ££', celui relatif à XX se déduit du théorème I établi au paragraphe 142. Soit b' ce rayon.

On trouvera de même le rayon de gyration a', relatif à l’axe CY'.

La conique d’inertie relative au point C a pour demi- axes, suivant XX', la longueur a' et, suivant CY', la longueur Z>'; cette conique est d’ailleurs inutile à tracer, puisque, à l’aide de la conique centrale, on peut trouver graphiquement le moment d’inertie relatif à une droite quelconque, ainsi que la direction des axes principaux relatifs à un point quelconque.

On voit par là combien il importe de savoir tracer la conique centrale d’un système de forces données. On le peut évidemment, si l’on connait les rayons de gyration relativement à trois axes de directions quelconques passant par le centre des forces parallèles, ou relativement à deux axes seulement, pourvu que l’on sache d’avance que ccs axes sont dirigés suivant deux diamètres conjugués de la conique à tracer. Dans le premier cas, on connait le centre de la conique et trois de ses points; dans le second, on connait, en grandeur et en position, un système de diamètres conjugués.

Voici un cas qui se présente fréquemment, où l’on connaild’avance les directions de deux diamètres conjugués.

Supposons [Jig. 101, PI. XXII) que des forces données soient deux à deux égales ; supposons, de plus, que les lignes aa\ a,fl', ..., qui joignent les points d’application des couples de forces égales, soient parallèles à une direction fixe XX', et qu’enfin les milieux des lignes aa\ a, soient sur une ligne

droite YY'. Nous appellerons cette droite un diamètre du système des forces données.

Si un système de forces parallèles admet un diamètre, le centre G de ces forces est sur ce diamètre (*). Soit X,X', une parallèle menée par le point G à la direction des lignes que le diamètre divise en parties égales ; je dis que les droites X, X’, et YY' sont des diamètres conjugués de la cuniquc centrale, c’est-à-dire (§ 141) que, si l’on rapporte cette conique aux axes GX', et GY', en appelant x" et y" les coordonnées du point d’application de l’une des forces données, on aura

En effet, les points d’application a et a' de deux forces égales ayant même ordonnée et des abscisses égales et de signes contraires donneront, dans la somme ci-dessus, un total nul ; il en est de même des deux forces égales appliquées en a, et eu a ( , et ainsi de suite.

§ ISO.

Habituellement on a à étudier les moments d’inertie d’aires limitées par des contours fermés, en supposant, comme on l’a déjà fait à l’occasion des centres de gravité, ces aires matérialisées et pesantes. Le moment d’inertie (Jig. 98, PI. XXI ) d’une aire (A),

(“) Cela est évident : car le centre de» deux forces appliquées en a et est sur cc diamètre; de même, le centre des deux forces appliquées en a t et a', et ainsi de suite: donc le centre de toutes les forces données s’y trouve aussi, en vertu de la Remarque I du § 74.

DES FORCES PARALLÈLES. 199

relativement à un axe OX, est le moment d’inertie des forces que la pesanteur exerce sur cette aire. Dans ce cas, toutes les forces étant dirigées dans le même sens, la courbe centrale est toujours une ellipse qu’on appelle l 'ellipse centrale d’inertie. Ses axes sont les axes centraux de l’aire donnée. Le carré du rayon de gyration relatif à un axe est le quotient du moment d’inertie relatif à cet axe par le poids de l’aire donnée ou par l’aire elle-même, si elle est homogène et de densité i (*).

Pour trouver l’ellipse centrale et pour connaître par suite (§ 1 18) le moment d’inertie de l’aire donnée, relativement à un axe quelconque pris dans son plan, il suffit, d’après ce qui précède, de connaître ses moments d’inertie relativement à trois lignes de directions quelconques passant par son centre de gravité, ou bien les moments d’inertie relatifs à deux de ces lignes que l’on sache d’avance être un système de diamètres conjugués de l’ellipse d’inertie.

Si une aire est décomposable en plusieurs autres, le moment d’inertie de l’aire totale est la somme des moments d’inertie des aires partielles : il suffit donc de savoir trouver les moments d’inertie de ces dernières.

Si l’aire donnée admet un diamètre rectiligne, cette ligne qui passe par le centre de gravité de l’aire et une parallèle aux cordes qu’elle divise en parties égales, menée par le centre de gravité, forment (§ 149) un système de diamètres conjugués de l’ellipse centrale, en sorte qu’on pourra construire la courbe si l’on copnail les moments d’inertie relatifs à ces deux lignes.

De là on déduit que, si la surface comporte un axe de symétrie, cet axe et sa perpendiculaire, menée par le centre de gravité, sont les axes centraux de la surface.

(*) Plus souvent encore, on définit le moment d’inerlio d’un corps: la somme des produits de la masse (et non du poids) de chacun de scs éléments par le carré de sa distance à une droite. On passe de ce moment d’inertie à celui que nous considérons en multipliant le premier par l'accélération g = 9,8088 à la gravité.

RECHERCHE DES MOMENTS D’INERTIE ET DE LA COÜRBE ftKid*rtiALlî D'INERTIE. — Nous avons déjà vu (§ 141) que, quand on a un nombre limité de forces, leur moment d’inertie relatif à un axe quelconque se trouve graphiquement, sans difficulté, en faisant usage du polygone des forces et du polygone funiculaire. Par suite, on peut trouver graphiquement les éléments nécessaires au tracé de la conique centrale.

Lorsque les forces données sont en nombre illimité, comme cela a lieu pour les forces de la pesanteur agissant sur les divers points d’une surface plane supposée matérialisée, les procédés graphiques permettent encore de trouver approximativement les moments d’inertie. Il suffit de remplacer les forces données en nombre illimité par un nombre fini de forces assez voisines les unes des autres pour pouvoir, approximativement, tenir lieu des forces données.

Dans ce cas, on fait souvent usage aussi du Calcul intégral pour déterminer l’expression analytique des moments d'inertie, sauf à construire ensuite ces expressions par les procédés du calcul graphique.

Si p est la densité au point m de l’aire (A) rapportée à deux axes rectangulaires, le moment d’inertie de cette aire est

l = /fpj r ' djrd Xi

son aire est

et le rayon de gyration r est

Si la surface est homogène, le moment d’inertie de la bande afiafÇi' { fig ■ 98, PI. XXI), de hauteur dy , est

p.«p .y'dy.

“1 5 est une fonction de y, définie par le contour qui limite l’aire donnée (A). Si

“P =/Cr).

DES FORCES PARALLÈLES

le moment d’inertie de l’aire donnée sera

son poids étant le rayon de gyration sera

la densité p disparaît.

p//Cr)4rî

donné par

ff(y)dy ’

On peut parfois remplacer le Calcul intégral parla règle suivante : Soit n la distance à OX du centre de gravité de l’aire (A). Le théorème des moments donne

” SS f Jx d X — SS f y dxdy.

Considérons un cylindre ayant pour base le périmètre de l’aire donnée (A) étayant ses génératrices normales au plan de cette aire, ce cylindre étant limité par un plan passant par OX et incliné à 45 degrés sur le plan donné. Soit r„ la distance à OX de la projection sur le plan (A) du centre de gravité du cylindre. Le volume de l’élément cylindrique ayant pour base dxdy sera ydxdy, son poids pydxdy ; son moment py'dx dy. Donc le théorème des moments donnera

« I S Sfr de djr = ffpy 'drdy.

Multipliant membre à membre les deux dernières égalités et supprimant le facteur J ' f pydxdy commun aux deux membres, il vient

TiTi, sSf drd r — S Sfr' tlxti r<

d’où

SSf y ,dx ei r

JSfdrdj-

Ainsi le rayon de gyration cherché est la moyenne géométrique entre les distances rj et w,. M. Bresse donne ce procédé dans son Cours de Résistance des matériaux professé à l'Ecole des Ponts et Chaussées.

RECTANGLE HOMOGÈNE. — Appliquons-Je à la recherche du moment d’inertie d’un rectangle homogène YY'ZZ' (Jig. 102, PL XXII)., relativement à l’un de ses côtés, au côté YY' par exemple. Soient YY ' = a, Y’ 7! — b.

On a, pour la distance r, du centre de gravité du rectangle à l’axe YY',

Maintenant élevons en Z et Z ' des perpendiculaires ZZ, , Z'Z', jusqu’à leur rencontre en Z, et Z',, avec un plan incliné à 45 degrés, mené par YY'. Nous formerons un prisme ; son centre de gravité sera sur la ligne gg' joignant les centres de gravité des triangles YZ,Z et Y'Z',Z'. La projection g t g\ de cette ligne sera à une distance de YY'

Donc

Le Calcul intégral fournirait le même résultat ; car, en considérant une bande de hauteur dy, distante de y de la ligne YY', son

moment d’inertie sera ay 1 dy, et le moment d’inertie du rectangle sera

ay'dy

ah *

Donc le carré du rayon de gyration, égal au moment d’inertie divisé par la surface ab du rectangle, sera

Ayant le rayon de gyration de l’aire d’un rectangle relativement

DES FORCES PARALLÈLES

à l’un de ses côtés, on en déduit immédiatement celui qui est relatif à une parallèle YY' (Jig. 103, PL XXII) à ce côté, passant par le centre du rectangle. Ce dernier sera donné (§ 1-12) par la formule

De même, le rayon de gyration relatif à un axe Z, Z',, perpendiculaire au précédent et passant par le centre du rectangle, serait

Ces résultats se déduiraient aussi facilement du Calcul intégral.

11 est évident que les axes de symétrie du rectangle sont les axes

principauxd’incrtie (§ 131 ). Donc l’ellipse centrale durcctangleascs

axes dirigés suivant Y , Y’, et Z, Z', , et les grandeurs de ses demi-axes

sont — — et — — ; son équation sera donc

a 7 j 7 -f- b 7 jr* —

TRIANGLE. — Pour avoir le rayon de gyration d’un triangle ABC (Jig. 104, PL XXII) relativement à l’un de ses côtés, à BC par exemple, nous remarquerons que la distance r, du centre de gravité du triangle au côté BC est

en appelant h la longueur de la perpendiculaire AP abaissée, du sommet A, sur le côté BC. Élevons en A une normale au plan du triangle et prenons sur cette normale une longueur AA' égale à AP. Le centre de gravité du tétraèdre ayant pour sommets B, C, A et A'

204 DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS D'ORDRE SUPÉRIEUR (§ 102) est au milieu O de la ligne IJ qui joint les milieux des arôtes opposées 15C et AA'. La projection de O sur le plan du triangle sera, par suite, au milieu de la médiane AI. Donc

ni = — *

et, par suite, le rayon de gyration r sera

c’est ce que le Calcul intégral indiquerait aussi. Soit, en effet, BC = b la longueur du côté BC. Considérons la bande aji a'fi' de hauteur dy, distante d cy de la ligne BC. On aura

Donc le moment d’inertie de la bande a (3 a'{3' est

“P X dj (A

-r)y*djr.

et le moment d’inertie du triangl

b / hy y y* \ * AA 1

Le rayon de gyration étant r, on aura donc

bh h h'

d’où

Sachant trouver le moment d’inertie d’un triangle relativement à un de scs côtés, on en déduit [Jig- 105, PL XXIII) son moment d’inertie relatif à un axe de direction quelconque Bu passant par

DES FORCES PARALLÈLES

un de ses sommets; car ce moment d’inertie est, suivant les cas, la somme ou la différence des moments d'inertie des deux triangles BÀD et BCD, relativement à l’axe Bu qui est un de leurs côtés.

Si l’on veut maintenant trouver le moment d’inertie d’un triangle ABC, relatif à un axe quelconque xx \ on cherchera son moment relatif à un axe parallèle Bu, passant par un sommet B du triangle. On en déduira, par le théorème du § 142, le moment d’inertie relatif à un axe parallèle à Bu et passant par le centre de gravité G du triangle.

Enfin, de là et par le môme théorème, on déduira le moment d’inertie cherché.

Si l’on veut trouver l’ellipse centrale d’un triangle ABC, il suffit de remarquer qu’une médiane AI (fig. 106, PL XXIII ) étant une ligne diamétrale conjuguée au côté BC, qu’elle divise en deux parties égales, les lignes GA et GX, passant par le centre de gravité du triangle et dont la dernière est parallèle à BC, sont des diamètres conjugués de l’ellipse centrale (§ 161 ).

Donc on n’aura qu’à chercher les moments d’inertie relatifs à ces deux lignes, pour tracer l’ellipse centrale.

Le carré du rayon de gyration relatif à BC étant g , le carré du

rayon de gyration relatif à une parallèle à BC menée par le centre de gravité du triangle sera (§ 142)

Le carré du rayon de gyration du triangle ABC, relatif à la médiane AI, est double du carré du rayon de gyration relatif à AI du triangle AIC. Ce dernier, en appelant h la longueur de la perpendiculaire

abaissée de C sur la médiane, est -g- : le premier est donc •

On a ainsi les éléments nécessaires au tracé de l’ellipse centrale. Si le triangle est isosccle, les lignes GA et GX étant perpendiculaires sont les axes de l’ellipse centrale. Si b est la base et h la hauteur du triangle, les carrés des deux rayons de gyration principaux

206 DÉTERMINATION GRAPHIQUE DES MOMENTS D’ORDRE SUPÉRIEUR seront

Si le triangle est équilatéral, une médiane quelconque est axe principal, ce qui exige que l’ellipse centrale se réduise à un cercle. C’est ce qui a lieu aussi pour un polygone régulier quelconque, de même que pour un cercle ou un anneau circulaire.

iB Ct 3 — 3 — Ï2