OG X 01 ~ OA

ce qui permet de construire le centre des forces parallèles données.

Remarque. — La relation (3) montre que le point G, centre des forces parallèles données (i) et le pôle g de l’axe neutre ZZ', relativement à la conique centrale des forces fictives ( 2 ), sont deux points symétriques par rapport au centre de ces forces fictives ou, si l’on veut, que le point cherché G est l’antipôle de l’axe neutre.

CAS DE FORCES EN NOMBRE ILLIMITÉ AGISSANT SUR DES POINTS SE SUC- CÉDANT D’UNS MANIÈRE CONTINUE DANS UN PLAN. — Supposons maintenant que les forces données P,-, au lieu d’être en nombre fini, soient

NOYAU CENTRAL DES AIRES PLANES

réparties d’une manière continue sur les différents points d'une portion de plan limitée par un contour quelconque MXM'M'; alors les coefficients / , sont donnés pour tous les points intérieurs à ce contour. Rien n’empèclie de supposer l’aire MX M'N' matérialisée et de lui attribuer en chacun de ses points A,- une densité proportionnelle à la valeur qu’acquiert en ce point le coefficient Cette valeur sera celle que prendra une certaine fonction donnée

des coordonnées des points du plan, pour les valeurs particulières :r, et J, de ces coordonnées.

D’après cette considération, le point O sera le centre de gravité de l’aire l’ellipse Aü sera son ellipse centrale, et l’on

peut énoncer le théorème suivant :

Théorème. — Si aux divers points d' une surface plane, matérielle, homogène ou non, on applique des forces parallèles, proportionnelles à une densité arbitrairement attribuée à la surface en ce point et à la distance positive ou négative de ce point à une droite fixe, le centre de ces forces parallèles et l’antipôle de cette droite relativement à l'ellipse centrale de la surface donnée.

Remarque. — Si l’on veut appliquer ce théorème aux pressions que subit une aire plane plongée dans un liquide, il faut supposer à l’aire, en chaque point, une densité égale à celle du liquide ; si on veut l’appliquer à une section transversale faite dans une des pièces que l’on étudie en Résistance des matériaux, il faut supposer, n chaque point de la surface, une densité égale au coefficient d’élasticité de la pièce eu ce point, en sorte que, si celle-ci est homogène, la densité sera constante en tous les points de la section, et ainsi de suite.

NOYAU CENTRAL D'UNE AIRE PLANE. — Lorsque l’axe neutre est situé en dehors de l'aire MNM'JN', les distances u des divers points de l’aire à cet axe sont toutes de même signe ; et, comme la densité k est une quantité essentiellement positive, on voit que les forces

NOY AU CENTRAL DES AIRES PLANES

parallèles égales à Au qui agissent sur les divers points de l’aire seront toutes de même signe, c’est-à-dire qu’elles seront toutes dirigées dans le môme sens. Si, au contraire, l’axe neutre occupe une position telle qu’il coupe le contour MNM'R', alors les distances u, à l'axe neutre, des points situés de part et d’autre de cet axe sont de signes contraires, et les forces appliquées en ces points sont aus-i de signes contraires, c’est-à-dire qu’elles sont dirigées dans des sens opposés. Lorsqu’il s’agit de forces élastiques par exemple, si celles situées d’un côté de l’axe sont des tensions, celles situées du côté opposé sont des compressions, tandis que toutes sont de môme nature (tensions ou compressions) si l’axe neutre est extérieur au contour de l’aire donnée. Il y a donc un grand intérêt à distinguer les cas où l’axe neutre coupe ou non le contour M N M'N'. La démarcation entre ces deux cas a lieu pour les positions de l’axe neutre tangentes au contour. Ainsi supposons que, l’axe neutre étant en ZZ', lecentre des forces parallèles agissant surfaire donnée soit en G. Si ZZ' se déplace parallèlement à lui-même de façon à se rapprocher de la courbe MNM'N', le point G parcourra le diamètre XX', et s'éloignera du point O, comme l'indique la formule ( 3 ). Quand ZZ sera arrivé à être tangent à MNM'N', le point G aura pris une certaine position G, ; si ZZ' continue à se rapprocher jusqu’à se confondre avec OY, le point G s’éloignera indéfiniment. S’il dépasse OY de façon à arriver en Z, Z',, le point G reviendra à une distance finie, mais il ne sera plus du côté OX' de l’axe XX'. Si l’axe neutre vient à se confondre avec la tangente Z 4 Z' t à la courbe, le poiut G occupera, par exemple, le point G», puis, à mesure que l’axe s’éloignera, le point G se rapprochera de O jusqu’à venir se confondre avec lui.

O11 voit par là que tant que, l’axe est en dehors de la courbe MNM'R', le poiut G est compris entre les positions G, et G* qui sont les points symétriques des pôles des tangentes Z, Z', et Z 4 Z\ à la courbe MN M'A' relativement à l’ellipse centrale.

Ce que nous venons de dire pour la direction parliculièreZZ', ou peut le répéter pour toute autre direction 5 on obtiendra ainsi une courbe telle que G, G t a| 3 , jouissant de cette propriété que, tant cjue la résultante des forces parallèles agissant stir l’aire donnée tombe à 1 intérieur de cette courbe, l’axe neutre est extérieur au périmètre * de 1’ aire donnée et, par suite, toutes les forces agissant sur cette aire

NOYAU CENTRAL DES AIRES PLANES

sont nécessairement de même signe ; si au contraire la résultante de ces forces tombe en dehors de la courbe GiG*a|3 l’axe neutre coupe le contour de l’aire donnée, et les forces situées de part et d’autre de cet axe sont de sens contraires.

L’aire comprise dans le périmètre G* G* »{3 est ce qu’on nomme le noyau central de l’aire donnée. Tout point du périmètre G t G*a(3 étant l’antipôle d’une tangente au périmètre donné, on voit que le premier de ces périmètres est une courbe symétrique par rapport au point O, de la polaire réciproque du second relativement à l’ellipse centrale de l’aire donnée.

MÉTHODE GÉNÉRALE FOUR LA RECHERCHE GRAPHIQUE DU NOYAU CENTRAL D’UNE AIRE QUELCONQUE. — D’après ce qui précède, rien n’est plus facile que de construire le noyau central d’une aire donnée. On peut en construire graphiquement l’ellipse centrale O ( fig . 112, Pl. XXIV). Menons le rayon OM jusqu’à sa rencontre en M avec le périmètre de l’aire donnée; soit m le point où cette ligne coupe l’ellipse centrale; si l’on construit la longueur

on aura un point G du périmètre du noyau central. On peut l’obtenir encore en construisant la corde tl' qui sous-tend les tangentes à l’ellipse centrale issues de M, et prenant le point G symétrique par rapport à O de celui où cette corde coupe le diamètre MO.