FIGURES RÉCIPROQUES DÉDUITES

cond degré, par rapport à laquelle les polyèdres (P) et (P') sont réciproques, a été prise au hasard, et si le plan sur lequel on les a projetés est lui-même quelconque; mais je dis qu’elle se trouve acquise si la surface, par rapport à laquelle on a fait la transformation polaire, est un paraboloïde de révolution, et si, de plus, le plan de projection est perpendiculaire à l’axe de ce paraboloïde.

Eu effet, M. Chasles a démontré en i8at) ( Bulletin de Férussac ) cette propriété très-simple et facile à vérifier : que la projection, sur uu plan perpendiculaire à l’axe d’un paraboloïde de révolution, de la courbe de contact de ce paraboloïde avec un cône est un cercle ayant pour centre la projection du sommet du cône.

D après cela, soient (d) et (3) deux droites réciproques, relativement à un paraboloïde de révolution.

Supposons, pour fixer les idées, que la droite (d) soit extérieure au paraboloïde, en sorte que ( 3 ) est la ligne de contact des deux plans tangents au paraboloïde menés par (d). Circonscrivons au paraboloïde un cône ayant son sommet en un point quelconque s de la droite (d) et soit t la trace de cette droite sur le plan de contact. Si nous projetons, sur uu plan perpendiculaire à l’axe du paraboloïde, la courbe de contact et les deux lignes (3) et (</), la projection de la courbe sera un cercle ayant la projection du point s pour centre, en sorte que la projection de ( d ) sera un diamètre ( d ') de ce cercle. Soit t' la projection du point t.

Si par le point t' on mène des tangentes au cercle, la ligne de conctact de ces tangentes sera la projection (3') de (3); donc les droites ( d ') et (3') sont perpendiculaires entre elles, puisque l’une est un diamètre d’un cercle et l’autre la corde de contact de deux tangentes issues d’un point de ce diamètre.

Ainsi, dans la transformation relativement à un paraboloïde de révolution, deux droites réciproques se projettent à angle droit sur un plan perpendiculaire à l’axe du paraboloïde.

Par suite, les projections de deux polyèdres réciproques sont des figures telles, qu’à chaque ligne de l’une d’elles correspond une ligne perpendiculaire de l’autre et qu’à chaque système de ligues concourantes de l’une répond, dans l’autre, un pdygone fermé. Il suffit donc de faire tourner l’une des figures d’un angle droit pour que les deux figures soient des figures réciproques de la Statique graphique. Une fois cette proposition établie, on cil déduit immédiatc-

DE LA TRANSFORMATION PARABOLIQUE, ment, comme nous l’avons fait au chapitre XX, les principales propriétés des polygones funiculaires et des figures réciproques. On pourrait de celte façon exposer très-succinctement les principes de la Statique graphique; mais, bien que cette méthode n’ait rien que de très-élémentaire, nous avons préféré suivre une marche plus élémentaire encore, mettant les applications usuelles de la Statique graphique à la portée de tous ceux qui ne possèdent, en fait de Mathématiques, que les principes de Géométrie et de Statique enseignés dans les cours professionnels.

SLR LA RECHERCHE DES TENSIONS