PL 1 3AR

Pour avoir le volume V de matière nécessaire pour porter simultanément une charge permanente et une surcharge, celle-ci dans toutes les positions qu’elle peut occuper, il suffit d’ajouter les volumes \ p et V,, afférents à chacune de ces charges, c’est-à-dire que

SYSTEM BO I.T.MAU , — Description. — Une semelle unique AA', divisée en m parties égales {Jig- C); aux points de division, des

Fi B . C.

poinçons de hauteur constante A, B, ; l’extrémité de chaque poinçon reliée aux deux extrémités de la semelle par deux tirants.

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES. i'JI

Charge permanente. — Cherchons d’abord le volume de madère nécessaire pour porter la charge permanente.

Nous appelons toujours L la longueur de la semelle, p la charge permanente par mètre, en sorte que la charge permanente totale est

Sur chaque poinçon A, B, repose une charge

et, aux deux points extrêmes A et A', une charge égale à ^ • Il en résulte que la réaction de chaque appui est

2 2 III 2 \ m j

La distance entre deux points de division consécutifs A,- et A, +l

Considérons le poinçon A,- B; occupant le i" m ' rang à partir de la gauche. La charge q se reporte évidemment tout entière sur ce poinçon, qui subit une compression q et a pour volume

qh R '

Le volume total des poinçons, au nombre de m — i, est donc

. , nh m — i PA

D^=- m x ir

Les tensions t, et l t des tirants issus de B, s’obtiennent en décom*

SUR LA RECHERCHE DES TENSIONS

posant la force q suivant la direction de ces tirants, ce qui donne, eu observant que AA,- = ia et A, A, = [ni — i) a,

fiai r. ;

Les volumes des deux tirants sont donc

£ (m ï\ht x

et la somme de ces deux volumes

[A* 4- /(m — i) a>] — ~- h [A’ -h Uni — i) «>];

d’où, j>our le volume total de toutes les paires de tirants, au nombre de ;« — i ,

<7 (. T m’fm — i) (m-i)m(im-ini

aÂ|( m - , ) A - + - fl L — ; g J r

q {m — I ) I" . mi m i ) 1

Maintenant, la tension développée dans la semelle par les barres issues de B,- est la projection de t, ou de t, sur la semelle, soit

La tension totale de la semelle est la somme des termes semblables où i varie de i h ni — i , somme égale à

qti , \~m’[m — i) ( m — — i)"1

(nm — i) ~|

qa 7 m .

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES

PL m* — i 6Â X — m r ~

Le volume de la semelle sera donc

PL’ m’ — i bRÂ X m- ’

d’où à la

, pour le volume total \ p de matière nécessaire pour résist charge permanente,

3 ni

CHARGE ROULAHTE. — Lorsque la charge roulante Q passe sur un poinçon A,- B,-, elle produit le même effet que si le triangle A B. A', avec le poinçon A. B,, résistait seul. On en déduit facilement, en raisonnant comme dans le cas de la charge permanente, que le volume \\ nécessaire pour porter la charge f), dans quelque position que ce soit, est donné par la formule

, / , ni 4- t L ! \

d’où, pour le volume total V de matière nécessaire pour résister à la fois à la charge permanente et à la charge roulante,

, , (ni — i) / P \ / ni 4- r L’\

(4o) y = jj— - (“ + Q) + "3^T X T ).

Ce volume devient minimum, quel que soit le rapport entre la charge permanente et la charge roulante, pour

d’où

t I, . /m { m 4-il

Pour

SUR LA RECHERCHE DES TENSIONS

A „ aL/P

On voit que le volume augmente rapidement quand le nombre m des divisions augmente; mais ce nombre de divisions est, comme nous l’avons déjà dit, commandé, pour chaque v aleur de la portée L, par la condition de ne pas avoir des parties trop longues de la semelle soumises à la compression et par suite exposées à fléchir ; mais

la valeur de m une fois admise, le rapport ^ de la hauteur de la

poutre à sa portée, qui donne la plus grande économie de matière, est celui que donne la formule (4i)i souvent la valeur fournie par ce rapport dépasse ce que l’on a jusqu’ici admis dans la pratique; il convient alors de s’en rapprocher le plus possible; mais nous ne nous arrêtons pas quant à présent à celte discussion, qui sera mieux à sa place plus loin.

SYSTEMES A TRIANGLES ET EN PARTICULIER SYSTÈME WARREN. — Description. — Considérons maintenant fi g. D) une poutre formée de in triangles tels que A„ A| A„ tous égaux, mais d’ailleurs de forme quelconque, reposant sur deux appuis ayant entre eux un écartemeut L.

Fig. D.

Cette poutre est symétrique par rapport à la verticale mn passant par son milieu.

Nous appellerons

les sommets inférieurs, ceux qui sont censés porter la charge;

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES

r h ^l** • M r 7 II— ,)».•• 1 T" JH— 7

les tensions des barres horizontales supérieures, c’est-à-dire opposées à ces sommets -,

Ai, A,, A,. . . . , A,/— les sommets supérieurs, et

^ 1 » * 3 » r ii— !••••

les tensions des barres horizontales inférieures ; enfin

les tensions des barres inclinées parallèles à la première, à partir de la gauche ;

celles des barres inclinées parallèles à la seconde, à partir de la gauche.

Pour trouver simplement les tensions des diverses barres d’une telle poutre, soit pour des charges comme celles que nous considérons, soit pour des charges quelconques, faisons-y une section verticale pq en un point quelconque d'une barre inclinée A,,., A,,-. Cette section coupe les trois barres dont les tensions sont représentées par

r«, t,ii r M -, .

Ces tensions doivent faire équilibre à toutes les forces, y compris les réactions des appuis, appliquées entre la section pq et l’une des extrémités de la poutre, celle de gauche par exemple. Or, la Statique fournissant trois équations pour exprimer cet équilibre, les trois tensions r, ; , se trouvent déterminées. On peut

inème trouver chacune d’elles séparément. En ellet, si l’on exprime que la somme des moments de toutes les forces qui doivent se faire équilibre est nulle par rapport au point A !( ,, comme les moments des deux tensions inconnues t u et r, ( -, par rapport à ce point, sont nuis, on aura une équation où n’entrera que la seule inconnue si de même on applique le théorème des moments aux points A,,, on aura une équation où n’entrera que la seule inconnue r,,-. Enfin, si on projette les forces en équilibre sur une verticale, comme

SUR LA RECHERCHE DES TENSIONS

les projections des deux forces /-,,■ et sont nulles, on aura une équation ne contenant que la seule inconnue t u .

Si la section pif était faite entre les deux points A,., et A, ; |, on déterminerait de mente les tensions f w , .

Ce procédé est beaucoup plus simple que celui que l’on emploie le plus souvent, et qui consiste à faire des décompositions successives de forces en commençant par le point A 0 , décomposant la réaction de l’appui suivant les deux barres issues de ce point-, puis passant au sommet A,, et décomposant la tension maintenant connue t, et la force directement appliquée en A,, s’il y en a une, suivant A, A, et A| A,, et aiusi de suite.

Ce procédé a, de plus, l’avantage d’introduire dans la question les éléments usités en Résistance des matériaux, à savoir : le moment fléchissant et Y effort tranchant, définis au § 137 de cet Ouvrage.

Appelons généralement Xj et Ti le moment llécbissaut relativement au sommet Aj et l'effort tranchant en ce point. En comptant positivement les forces descendantes, en comptant aussi positivement les moments des forces descendantes lorsqu'elles sont à gauche du centre des moments, on obtient immédiatement, par la méthode que nous venons d’indiquer,

— hr„ -t- X,/ ~ o,

/„ cos> 4- T„, — o,

— /„• , cos*' 4- T„, = o.

où/t est la hauteur de la poutre, a' et a les angles que les pièces A„ A, et A, A, font avec la verticale.

Si l’on désigne par L la longueur de la semelle inférieure divisée en a 7i parties égales

et que c désigne le segment de gauche de l’un des triangles égaux,

cos * “ — = — »

tels que A 0 A, A„ on aura h

cos a — > ç/e 4- c‘

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES

— T Tji-j

et cela quelles que soient les charges que porte la poutre.

Charge permanente. — Supposons d’abord que la poutre porte une charge permanente de p kilogrammes par mètre courant sur la semelle inférieure, en sorte que la charge totale soit

Chacun des sommets, sauf les deux extrêmes, portera

et chacun des deux sommets extrêmes portera en sorte que les réactions des appuis sont

s='-! = î(,-iV

En appliquant les formules générales du paragraphe précédent, on trouve sans difficulté

P sj h' -4- f 3 / i A

I '-= pst'-» (- ^) + U(' + r*~ ;)• ; r "

SUR LA RECHERCHE DES TENSIONS

Maintenant, si R est la tension ou la pression que l’on veut faire supporter à la matière (nous supposons toujours qu’elle résiste également bien à l’extension ou à la compression), la section d’une

barre qui supporte une tension est et son volume

Donc la somme des volumes des barres parallèles à celles de gauche sera

RÂ

Rff(A’+ c*) 2R h~

On trouverait de même, pour le volume v t des barres inclinées parallèles à la seconde à partir de la gauche,

pour le volume des barres horizontales inférieures,

ÎS|

PL’(/7 — i)(4«4-x) PcL

4 /ai’

et enfin, pour le volume w t des barres supérieures,

PL»(/? — i) (4wh-i) , PL / L \ 4 d« 5 RA ”^4 ka / '

d’où, pour le volume total \ p de matière nécessaire pour résister à la charge permanente,

v, = /** -4- 2c’— — -f- — 4- ■■ y P ^ -Tr(w--l)(4^4-l)-f-3/»],

r 2 R /1 \ /1 4 nJ 24 /î*R/*-' 7 J

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES

P f V(n 4- l) (4 « l) 2 4” Jc f~~ c ^~l (45) + ,4^ - - I

Le produit c — cj devient maximum pour

et alors le volume V p devient minimum. Ainsi :

Théorème. — Quel que soit le nombre des triangles et quel que soit le rapport ^ de la hauteur de la poutre à sa portée, les trian-

g les isoscèles sont plus favorables à la résistance que les autres , lorsque la charge à supporter est uniformément répartie sur toute la longueur de la poutre.

Et l’on a alors

Ce théorème est loin d’èlrc évident, et, romme nous le verrons, il n’a plus lieu pour une charge roulante.

Pour c = 0, ainsi cjuc pour c = ~ » on obtient le même volume

En comparant ees volumes pour n = 1 , par exemple, on trouve

Triangles isoscèles

Triangles rectangles. . .

SUR LA RECHERCHE DES TENSIONS

L io’

PL’ / i 3o\ PI,’

V ' = TT i75 + 76j =, ’9’ir enT,ron ’

, PL’ / i i o\ - PL 1

On voit donc qu’à prendre les triangles rectangles on péril

2,60 — 1 ,qn o,63 , , 1

— = > égal a près de 33 pour 100 du volume de ma-

tière.

O 11 peut aussi cherclier, pour une valeur donnée de «, la valeur de h qui rend \ p minimum, etc. ; nous ne nous arrêterons pas quant à présent à ces discussions, sur lesquelles nous reviendrons.

CHARGE ROULAHTE. — Considérons maintenant [f‘g- II) une charge roulante Q au moment où elle est appliquée au point A,,-. La réaction sur l’appui sera Q ^ 1 —

Il en résulte, en appliquant les formules (43) du § 30 et ne s’occupant que des valeurs absolues des tensions ;

*° Si / > * — 1 ,

Si / < i — 1 ,

h \ an/’

~ /, X Tn

Donnons à la charge roulante Q la position qui donne à la tension la plus grande valeur possible.

Les deux plus grandes valeurs de et de t \ f , ont lieu, la première pour j — », et la seconde pour j = i — 1 , d’où

DANS LES SYSTÈMES DE BARRES

Il faut prendre la plus grande de ces deux valeurs, c’est-à-dire la première; car, dans la moitié de la poutre que nous considérons (la seconde moitié étant symétrique, il est inutile de s’en occuper), i est inférieur ou au plus égal à n ; d’où résulte

an an

Cela signifie que le moment où la charge roulante produit la plus grande tension de la barre inclinée est celui où elle atteint l’extrémité inférieure de cette barre. Il résulte de là que le volume v\ des barres parallèles à la première de gauche est

J ss n

ÂR

, Qf/»* + c’)(3n -

'• — aAR

On trouverait de même, pour les volumes des barres parallèles à la seconde à partir de la gauche,