CHAPITRE IV

EMPLOI DES OBSERVATIONS OU DONNÉES DE LA STATIS- TIQUE. COORDINATION. DÉDUCTIONS ET INTERPRÉTA- TIONS (Suite).

Les moyennes. — Quételet et les moyennes dans les observations astronomiques. — Insuffisance des instruments d'observation. — Moyenne arithmétique. — Danger de rendre homogènes des faits qui ne le sont pas. — Moyennes de consommation par tête. — Abus des moyennes. — Utilité de les accompagner de leurs éléments. — La normale. — Formation des groupements. Le rôle du tâtonnement. — L'homme moyen est-il une moyenne arithmétique ou une normale ? La médiane. Elle se prête à toutes sortes d'approximations. — Moyenne géométrique. Moyenne harmonique. — U interpolation. Son utilité, ses dangers. — Part d'arbitraire de cette méthode. — V extrapolation. Abus qu'en a fait Stanley-Jevons au sujet de l'épuisement des houillères en Angleterre.

Les moyennes, auxquelles nous avons fait déjà maintes fois allusion, sont le procédé de coordination le plus employé en statistique. Elles ne sont pas spéciales à cette méthode d'observation. Quételet qui, on le conçoit aisément, a beaucoup étudié la question des moyennes, fait remonter très haut leur emploi. On s'en est servi tout d'abord instinctivement en quelque sorte. Puis plusieurs savants de l'antiquité ont été conduits à utiliser le système des moyennes dans les recherches d'ordre mécanique. C'est ainsi qu'Archimède a établi sa théorie du centre de gravité des corps. Méton, quatre ou cinq siècles avant notre ère, ne put reconnaître la durée d'une lunaison que grâce

au calcul des moyennes. Ce sont, en tout cas, deux applications du procédé des moyennes quelque peu différentes. Quételet n'a pas manqué de donner un exemple — plus moderne et devenu classique — de leur emploi : celui des déterminations, en temps, de l'ascension droite de l'étoile polaire, suivant les observations faites à l'observatoire de Greenwich. Dans les cas de cette espèce, l'imperfection des instruments d'observation fait que, si l'on opère un certain nombre d'observations, aucun des résultats que chacune d'elles donne n'est égal aux autres. Les différences sont petites le plus souvent, mais n'existent pas moins. Or, Quételet fait remarquer que le nombre des observations donnant des différences en plus est, la plupart du temps, égal à celui des observations donnant des différences en moins. On s'approche donc de la réalité en prenant la moyenne arithmétique de toutes ces observations, c'est-à-dire en additionnant tous les résultats et en les divisant par le nombre total des observations. Il en serait de même pour la mesure d'un édifice élevé. En ces circonstances, la moyenne sert à pallier l'insuffisance de nos instruments d'observation ; elle est, suivant le nombre des observations, un acheminement de plus en plus approché vers une réalité concrète existante. Elle traduit un ensemble d'opérations portant sur un même objet. Cette moyenne-là est une moyenne dont on peut faire en toute sécurité — et dans la limite de l'erreur infiniment petite qu'elle comporte — une base assez certaine de calcul. Mais si, pour continuer les exemples de Quételet, nous cherchons, par exemple, la hauteur moyenne des maisons dans une ville, nous créons, entre des éléments plus ou moins homogènes, que sont des maisons, quoi qu'en dise Quételet, une moyenne purement virtuelle ne répondant à rien

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d'objectif. C'est une conception de notre esprit. Tout dépend donc, pour que la moyenne soit acceptable, de la légitimité scientifique de cette conception.

Il s'agit ici de la moyenne arithmétique, que tout le monde connaît et que nous avons définie un peu plus haut. Calculer une telle moyenne, c'est donner un dénominateur commun aux chiffres sur lesquels on opère et que l'on réunit en un bloc, supposé homogène, alors que les faits qu'ils traduisent ne le sont pas toujours. C'est assigner, a priori, à ces faits des causes identiques, combinées dans des proportions égales; c'est, en un mot, unifier les causes et leurs intensités, pour simplifier des phénomènes dont c'est le caractère de ne pas être simples. Certes la comparaison devient plus facile. Dire que la consommation moyenne, en alcool, d'un habitant de Paris, était par exemple de 1/2 pour 100 plus élevée en 1875 qu'en 1900, c'est faciliter le rapprochement de deux nombres. Ce n'est là néanmoins qu'un chiffre abstrait. Les éléments de cette moyenne sont tirés d'un calcul où entre l'élément population, lequel est loin peut-être de présenter, en 1875 et en 1900, des conditions identiques de répartition et de nature dans la consommation de l'alcool. Dans ce chiffre, entrent les enfants et les vieillards ; l'alcool peut être employé à des usages externes en plus grande quantité qu'auparavant, etc., etc. La catégorie de personnes qui se livre plus particulièrement à la passion de l'alcool n'a-t-elle pas seule accru sa consommation, par rapport à celle qui n'en absorbe que peu ou point ? Alors l'augmentation de la population tend à diminuer la moyenne de consommation chez ceux pour lesquels il serait intéressant de connaître l'étendue croissante du fléau, afin d'y porter remède là où il se manifeste avec

le plus d'intensité. En somme, pour juger de la valeur des moyennes, il faut envisager quels résultats Ton entend étudier lorsqu'on les établit. Si un savant a simplement en vue de faire une investigation, il sait pour quelles raisons personnelles il a calculé sa moyenne, et il la soumet à la critique que lui suggère le but qu'il veut atteindre. Mais lorsque cette moyenne doit être publiée pour servir d'élément de travail et, surtout, d'élément d'appréciation au public, il est nécessaire de la faire suivre — comme certains produits dont on exige le certificat d'origine — d'une sorte d'extrait de son état civil. Dans le cas de la consommation de l'alcool par tête, si l'on tient à frapper les esprits simplement par le chiffre croissant de cette consommation, on n'y arrivera guère si, par le système de la moyenne par tête, on ne trouve qu'un chiffre relativement très petit. S'il est au contraire très grand, on ne saurait l'offrir, dans sa brutalité, sans éclairer le public sur ses éléments. Dans les deux cas, il faut quelques commentaires. En statistique, chaque fois quel'on s'éloigne des résultats bruts, les avantages de la synthèse étroite, du chiffre symbole, disparaissent. Il ne peut plus voyager seul à travers le monde sans passeport lorsqu'il est un chiffre composé, déduit de beaucoup d'autres, sans quoi il est presque certain qu'il fera beaucoup dedupes.

En laissant de côté le procédé des moyennes appliqué à la mesure, par tâtonnement, d'une grandeur réelle, comme la hauteur d'un édifice — procédé dont on n'a guère l'occasion d'user en statistique — il reste donc, en ce qui regarde l'étude que nous poursuivons, la recherche d'une quantité, d'une grandeur qui est la fusion de quantités nombreuses. Deux conditions sont nécessaires pour que cette grandeur puisse être légitimement employée dans un raisonnement: 1° que toutes

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ses composantes soient homogènes ; 2° qu'elles ne soient pas soumises à des variations trop brusques. En statistique, l'homogénéité des éléments ne peut souvent être que relative. Ses observations portent sur des produits et sur des êtres dont les qualités et même la nature sont loin d'être identiques. Tout au moins, sans exiger une égalité mathématique, doit-on ne rapprocher entr'elles que des grandeurs suffisamment comparables. La moyenne vaut surtout par l'homogénéité de ses éléments. La moyenne du prix du blé, en un pays donné, est à priori une moyenne plus proche de la vérité que la moyenne des salaires pour les ouvriers d'une industrie donnée, la métallurgie par exemple. La seconde condition d'une certaine fixité des éléments est aussi toute relative. Assurément tout varie, et la vie en général n'est qu'un perpétuel mouvement ; néanmoins, il serait oiseux d'établir une moyenne sur des chiffres qui, en quelques jours, arrivent à devenir le passé. Le mieux serait de connaître la tendance de ces variations et de donner des moyennes appuyées sur des limites. Mais qui peut prétendre — sauf des cas très rares — à une telle précision ?

La moyenne arithmétique est d'un emploi courant en statistique. On en use et on en abuse. Elle est simple et facile à calculer. Mais cette simplicité dénote une faiblesse. C'est une niveleuse implacable, violemment égalitaire. Elle supprime l'originalité, le caractère propre aux unités, elle fait disparaître les différences, ces créatrices de la vie et du mouvement. L'on a donc compris qu'elle ne répondait pas à toutes les nécessités d'un raisonnement statistique un peu profond, ni au point de vue purement logique, ni au point de vue des résultats pratiques. L'on s'est donc ingénié à grouper les observations sur lesquelles on voulait

édifier des synthèses, de façon diverse. Ainsi, Ton a essayé, pour les index numbers, de corriger ces imperfections à l'aide de coefficients plus ou moins arbitrairement choisis, dits coefficients différentiels } dont nous nous occuperons dans le chapitre suivant, lorsque nous traiterons de ce procédé. C'est aussi pour la même fin que Ton a déterminé ce que Ton appelle la normale et la médiane.

La normale, ou le chiffre normal, peut se définir de la façon suivante. Supposons que, dans une série d'observations statistiques de même nature, portant, par exemple, sur des salaires, on fasse des groupes compris entre les salaires a et by bbiy bib2) b2bZ) . . . bm bn, suivant un ordre croissant du taux des salaires, puis que l'on écrive, en regard de chacun de ces groupes, le nombre d'individus auxquels s'appliquent les salaires compris entre les limites de chaque groupe, soit A, A4, A2, A3... Am , c'est au plus grand de ces derniers nombres que correspond le chiffre normal des salaires. Si l'on constate que A3 est plus grand que A4, A2... Am le salaire normal sera compris entre b2 et i>3. En réalité, on pourrait dire que ces groupes représentent chacun un candidat qui brigue les suffrages des salariés et que c'est celui des groupes de salaires — ici b2bz — auquel correspond la majorité relative, qui est l'élu c'est-àdire le chiffre normal. Voici un exemple concret de nature à faire mieux comprendre cette conception.

Nombre d'ouvriers Salaires compris entre : touchant ces salaires.

fr. 50 et 3 fr,

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Le chiffre normal sera ici compris entre 5 fr. 50 et 6 fr. 50 puisque le nombre des ouvriers qui touchent ces salaires est le plus élevé de la série soit 2 200. Le salaire moyen de ce groupe étant de 6 francs sera le salaire normal.

Il serait facile d'élever de nombreuses critiques sur cette façon d'opérer et sur les résultats qu'elle donne. Mais il faut tenir compte de ce fait qu'on ne saurait avoir, en statistique, la prétention d'arriver à une précision indiscutable. L'emploi de la normale est donc très légitime pourvu qu'on ne veuille pas en faire une formule ayant en soi toute sa signification. Ces procédés sont bons pourvu qu'ils soient utilisés à bon escient et avec prudence. Dans ces conditions, ils font partie d'un ensemble de moyens d'investigation bien qu'ils ne se suffisent pas à eux seuls. Leur donner une portée plus haute, une influence décisive, c'est les compromettre aux yeux de ceux que n'entraîne pas trop loin des réalités l'attrait des abstractions. Il est, en effet, possible de modifier les groupes de salaires, de rendre plus petites ou plus grandes les différences entre les catégories, de décider par exemple que ces différences seront de 0 fr. 50 ou même de 0 fr. 25, etc. On obtiendra ainsi un déplacement de la normale. C'est pourquoi l'on recommande, en général, d'user, pour former les groupements, de la méthode de tâtonnement. On relève, par exemple, à plusieurs reprises, les chiffres en groupes s'élevant peu à peu jusqu'à ce que l'on arrive à une certaine régularité. On cherche ensuite si la normale se déplace lorsqu'on change la limite inférieure des groupements. Si la normale est déplacée, les groupes ne sont pas assez larges ; dans le cas contraire elle doit se trouver dans l'un des groupes commun à tous les groupes qui la contiennent. Un autre incon-

vénient est qu'on ne tient pas compte des limites. Ce que Ton pourrait appeler le droit des minorités n'est pas, ici, envisagé. Le nombre des ouvriers gagnant plus de 6 francs peut être assez considérable et ne pèsera d'aucun poids dans le résultat final. Le mot normale lui-même n'est pas très juste. Il semble que ce soit une expression servant à désigner un type dont s'écartent toutes les autres catégories de salaires, quand, en réalité, chaque salaire, ou catégorie de salaire plutôt, répond à un travail déterminé dont les conditions sont différentes de celles des autres catégories et ne se pénètrent que très peu. La normale se comprend, mais lorsqu'elle porte sur la rémunération de travaux identiques accomplis dans un même milieu. C'est toujours, en somme, la question de l'homogénéité qui intervient. On ne doit rapprocher que des unités comparables c'est-à-dire des faits dont les causes aient la même nature. Le danger des combinaisons et coordinations statistiques vient précisément de ce que, en s'éloignant de la donnée brute, on en altère par des triturations déductives et de plus en plus généralisées l'essence même. La normale manque donc de précision. Son utilité est, par conséquent, assez limitée et son emploi doit être l'objet d'une grande circonspection. Elle est du reste, comme toutes les méthodes d'approximation, d'un maniement délicat qui demande à être éclairé par un sens critique très éveillé.

On s'est posé la question de savoir si l'ouvrier moyen, l'employé moyen, l'homme moyen, étaient le produit de la moyenne arithmétique ou de la normale. Ce sont là de pures conceptions de l'esprit, des abstractions dont il est fort dangereux de se servir dans la solution des problèmes d'ordre économique, hygiénique, etc. L'inconvénient n'est pas le même en météo-

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rologie ; l'homme n'ayant point d'influence sur la conduite des éléments qui concourent à faire varier la température, l'état hygrométrique, la pression barométrique, etc., on peut établir une température moyenne ou normale sans troubler le monde. Il n'en est pas ainsi en matière sociologique où les idées les plus fantaisistes, les plus éloignées de la réalité, prennent corps dès que les intérêts ou les passions croient bon de s'en emparer et d'en poursuivre l'application. L'homme moyen ou l'ouvrier moyen n'existent pas ; ils représentent une entité métaphysique fort variable suivant la méthode qui a servi à l'échafauder. Cependant on repousse généralement l'homme moyen, constitué d'après la moyenne arithmétique des qualités semblables ou supposées telles ; on préfère l'homme moyen produit par la normale parce que les mêmes qualités se retrouvent chez le plus grand nombre des individus observés.

Mais de quelque façon qu'on l'obtienne, l'homme ou l'ouvrier moyen n'est qu'une abstraction dont il serait dangereux d'abuser dans la confection des lois ou des réglementations. Les conceptions de cet ordre appartiennent au domaine des hypothèses purement spéculatives. Bien mal inspirés seraient ceux qui tenteraient de les en faire sortir. Elles sont certes un élément d'analyse, mais subtil et attirant dont il faut, comme pour certains poisons, mesurer la dose à admettre dans le raisonnement avec un soin infini. Elles ont, en certains cas spéciaux, et particulièrement en matière de mensurations anthropologiques, des applications utiles et limitées ; elles ne sont point toutefois, en l'état actuel de nos moyens d'investigation sociologique, des bases fondamentales sur lesquelles on ait le droit scientifique d'édifier des systèmes sociaux.

Liesse. 6

La médiane est, comme la normale, une moyenne sans rapport avec la moyenne arithmétique. Elle est, pourrait-on dire, une moyenne de « position ». Voici en quoi elle consiste. Si l'on écrit des données statistiques dans Tordre croissant des nombres, la médiane est représentée par celui de ces nombres qui divise le groupe des intéressés de telle sorte que le nombre de ceux qui ont un salaire supérieur s$it égal à celui des salariés rémunérés à un taux inférieur. Si l'un des salaires indiqués marque exactement cette division en deux groupes égaux, il donne de suite la médiane cherchée ; si la division en groupes égaux se produit à Tintérieur de Tune des tranches de salaires, on divise cette tranche proportionnellement à la répartition des individus qui réalise l'égalité du groupe supérieur et du groupe inférieur. Supposons que Ton ait dans une industrie la série de salaires suivants :

2 fr.

3 fr.

Dans cet exemple, 195 ouvriers ont un salaire inférieur à 3 fr. 50 et 295 un salaire supérieur à 4 francs; la médiane se trouve donc comprise entre 3 fr. 50 et 4 francs. Pour obtenir la répartition des ouvriers en deux fractions égales, on joint au groupe inférieur 240 unités de la tranche 3 fr. 50 à 4 francs, et au groupe supérieur 140 unités seulement. La répartition proportionnelle de la différence des salaires extrêmes de cette tranche 1 montre que la médiane est 3 fr. 81, alors que,