Soit de 50 centimes entre 240 et

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pour le même groupe, la normale est 3 fr. 75 et la moyenne arithmétique 3 fr. 84. Les différences sont peu sensibles. Le choix entre les divers procédés est souvent affaire de commodité. A cet égard, la médiane a cet avantage que, pour la calculer, il n'est pas nécessaire de connaître, exactement, la répartition en tranches de tous les ouvriers. Dans le cas qui précède, il suffît de savoir que 295 ouvriers ont un salaire supérieur à 4 francs sans connaître les différences entre eux. On voit que la médiane, pas plus que la normale g ou la moyenne, ne tient compte des différences de répartition existant entre les ouvriers des groupes qu'elle sépare, in globo. La même médiane peut correspondre à des répartitions très différentes. Yoilà ce que les synthèses de chiffres n'expriment pas et ce que, d'ailleurs, il est très difficile d'exprimer en l'état actuel de nos connaissances. C'est, du reste, le caractère propre de la normale et de la médiane d'éliminer, pour ainsi dire, à peu près, les extrêmes. La moyenne arithmétique impose, en effet, ces extrêmes, dans le calcul avec leur importance brutale et apparente, sans donner les véritables limites de leur action. Elle est, avons-nous dit, une niveleuse implacable. Cependant, les corrections apportées à la moyenne arithmétique par la normale et la médiane ne sauraient satisfaire, même en tant que procédé d'approximation, un esprit scientifique avisé. Supposons qu'il s'agisse d'une série de données relatives aux différentes catégories de revenus dans un pays déterminé, la médiane ne tiendra pas compte des revenus des millionnaires qui sont, dans les extrêmes, du côté des maximums. Elle se rapprochera de la médiane d'un autre pays, où il y aura très peu de millionnaires. Or, cet élément, cette donnée extrême peut avoir une influence considérable sur le juge-

ment à porter au sujet du pays considéré. S'il s'agit des États-Unis, cet élément est un élément majeur, dominant, dans bien des cas, parmi les autres facteurs économiques. Pour la médiane, enfin, comme pour la normale, le mombre des données a une influence sur le résultat. On peut le faire varier, trop facilement, à sa fantaisie, suivant que Ton accepte ou que Ton élimine telle ou telle donnée. Il est facile évidemment de faire ce reproche à tous les calculs statistiques et en particulier à la moyenne arithmétique ; mais, dans le cas qui nous occupe, Terreur, de ce chef, prend une importance considérable, d'autant plus qu'on la corrigerait difficilement avec des coefficients différentiels.

La médiane se prête, on le voit, à toutes sortes d'approximations. Elle ressemble, à certains égards, à ce que l'on appelle des « réussites », c'est-à-dire aux arrangements et combinaisons obtenues avec des cartes à jouer. M. F. Galton l'a utilisée pour l'approximation d'une quantité incommensurable, l'intelligence d'écoliers ou d'étudiants. C'est le classement par notes des élèves. Les plus intrépides, parmi les constructeurs de ces combinaisons, ont reculé devant l'estimation en pour cent de l'intelligence des élèves ; ils se sont contentés de recourir à ce procédé simple et ici absolument défectueux de la médiane.

On devait forcément être conduit à établir une relation ou à chercher les différences existant entre la moyenne arithmétique et la normale. Les résultats de ces rapprochements n'apportent pas, en beaucoup de cas, des éclaircissements de nature nouvelle. On constate, le plus souvent, des faits que la simple observation et la connaissance des conditions dans lesquelles ils se produisent suffisent à faire connaître à l'investi-

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gateur attentif et versé dans la science dont relèvent ces faits. Pour les salaires, par exemple, si différents suivant le travail accompli, suivant sa nature et la base de sa rémunération, suivant aussi les aptitudes de l'ouvrier et le perfectionnement de l'outillage mis à sa disposition, les jugements à porter sur leurs tendances, eu égard aux diverses catégories d'ouvriers, sont relativement faciles à dégager à la suite d'observations personnelles directes. L'esprit préparé à ces sortes d'investigations se trouve en contact avec les causes productrices des faits : qu'elles soient économiques ou psychologiques, il les détermine facilement, comme l'on analyse avec plus de sécurité la composition chimique d'une eau au point d'émergence de la source. Les travaux entrepris pour découvrir des méthodes d'ajustement ne sont pas toutefois de vaines recherches spéculatives. Il faut en retenir entre autres avantages, les représentations graphiques qu'elles provoquent et au moyen desquelles on peut se représenter à « vol d'oiseau », suivant l'expression de Rûmelin, la tendance des phénomènes d'après les observations plus ou moins coordonnées de la statistique. D'ailleurs, ces méthodes ne donnent pas, la plupart du temps, dans les solutions des problèmes de moyennes, des écarts bien considérables. Leurs résultats ne peuvent être appréciés que par ceux qui les ont obtenus et dont l'oreille a, pour ainsi dîre, ausculté chaque chiffre utilisé.

Nous n'en avons pas fini avec les moyennes. Il en est une, la moyenne géométrique, que l'on fait — quoique rarement — intervenir pour contrôler en quelque sorte la moyenne arithmétique employée universellement. L'usage de la moyenne géométrique est beaucoup plus restreint. On sait en quoi consiste cette

moyenne. Supposons que nous ayons une suite de quantités telles que a4 a2 #3... an au nombre de n9 la moyenne géométrique sera exprimée par la formule 1 :

M = \/a1cî2^3 a .

On calcule cette moyenne à l'aide de logarithmes. Lorsque l'on compare un à un les résultats donnés, pour les mêmes quantités, par la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique on constate de notables différences. L'ensemble des nombres les plus forts donne des résultats moins élevés avec la moyenne géométrique qu'avec la moyenne arithmétique; le contraire se produit pour les chiffres faibles. Elle est donc moins niveleuse parce qu'elle est plus complexe que la moyenne arithmétique ; elle atténue et tempère l'action brutale de celle-ci. A priori et pour ces raisons d'ordre très général, il semblerait qu'elle doive être préférée à la moyenne arithmétique. Il n'y a cependant pas, à notre connaissance de raison spéciale, bien déterminée, qui en indique l'emploi dans tel ou tel cas. Quelques statisticiens l'ont utilisée, et entre autres, Stanley Jevons, dans ses recherches sur la baisse de l'or. Il n'a point donné les raisons de ce choix. Il est probable, qu'après comparaison des résultats offerts par l'une et l'autre moyenne, il se sera décidé pour la moyenne géométrique parce qu'elle offrait des solutions plus conformes à la marche ordinaire du phénomène étudié. La moyenne géométrique présente donc cet avantage de permettre le contrôle des solutions tirées de la moyenne arithmétique. Souvent, en cas.

i. Nous rappelons que la moyenne arithmétique des mêmes

quantités serait : m= a[ 0,2 a3 ' * ' "*~ a" .

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de désaccord, il vaudrait mieux ne prendre aucune des solutions offertes. On a cependant préféré parfois celles de la moyenne géométrique à celles de la moyenne arithmétique.

Nous signalons, à titre de simple renseignement, une moyenne d'une autre espèce, plus rarement employée encore que la moyenne géométrique, c'est la moyenne harmonique1 .

Quételet a beaucoup conseillé l'emploi des moyennes et il a particulièrement étudié les moyennes arithmétiques. Mais il ne sépare guère les moyennes de leurs limites et il ne manque pas de signaler les grossières erreurs qu'elles peuvent faire commettre en certains cas. Parlant de la « vie moyenne » obtenue par ce procédé élémentaire, il écrit2: « Par exemple, de ce que la vie moyenne en France et en Belgique serait exactement de même longueur, il ne faudrait pas se hâter de conclure que ces deux pays sont dans les mêmes circonstances sous le rapport de la mortalité. Qu'on enlève à un homme dans la force de l'âge, à un père de famille, dix années de sa vie pour les ajouter à la vie d'un de ses enfants, mort immédiatement après sa naissance, cela ne changera rien à la durée de la vie moyenne ; mais cette transposition de dix années aura une influence immense sur le sort de la famille, qui, ayant perdu son soutien et son appui, comptera une

t. Elle a pour origine l'expression — = ~ . Si on résout

tac c b~"c par rapport à b} on a: b = ^ ^ formule à laquelle on peut

donner la forme m =

2. Lettres sur la théorie des probabilités, appliquée aux sciences morales et politiques, p. 68.

personne de plus à nourrir. Le chiffre de la vie moyenne ne donne qu'un aperçu général de la mortalité et ne peut être employé qu'avec circonspection. » C'est un conseil sage dont on ne saurait trop se souvenir, surtout en matière économique.

Sans prétendre examiner ici l'emploi que Ton peut faire de la méthode mathématique pour déterminer la marche des phénomènes en utilisant les éléments plus ou moins complets offerts par la statistique, il nous paraît utile, avant de terminer ce chapitre, d'indiquer en quelques lignes la valeur toute relative du procédé connu sous le nom d'interpolation. Interpoler c'est compléter une série d'observations présentant des chiffres discontinus, entre lesquels il existe, si l'on nous permet de nous exprimer ainsi, des régions que l'observateur n'a pu explorer. Cependant, bien que les observations recueillies présentent des points de repère précieux, la ligne très accidentée que l'on obtient en joignant ces points de repère ne donne pas la marche régulière du phénomène. Il faut trouver des points intermédiaires, et l'on ne peut y arriver qu'avec des raisonnements à priori pour lesquels, en cette occurrence, l'analyse mathématique intervient avec sa souplesse et ses merveilleuses ressources. On n'use pas seulement de cette méthode en matière économique et, surtout, dans les questions démographiques. Elle sert aussi dans les mathématiques appliquées à l'astronomie et à la physique. En ces derniers cas, bien qu'elle ne s'appuie que sur des approximations, et soit, en réalité, arbitraire par ce côté, elle trouve dans la régularité des phénomènes mécaniques une justification et une probabilité assez grande de sécurité. Mais lorsqu'il s'agit de phénomènes économiques et sociaux, si souvent troublés par les fantaisies psychologiques des

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êtres humains, le terrain est beaucoup moins sûr. Aussi, convient-il de signaler cet écueil à tous ceux qui, ne possédant point une éducation économique susceptible de leur donner un esprit sagement critique, seraient entraînés à l'abus de ce procédé d'autant plus dangereux qu'il est plein d'attraits et qu'il séduit par son ingéniosité et sa précision. Car, c'est en vue de représenter la marche de la variable continue dont on n'a pu se procurer que certaines valeurs ou positions qu'on se sert de l'interpolation. On cherche ainsi une courbe plus simple que celle obtenue avec quelques données incomplètes. En un mot, on tend à régulariser le phénomène pour mieux en apercevoir la loi. Cette rectitude est dans notre esprit et nous la poursuivons souvent malgré nous. L'interpolation a donc pour but de combiner les écarts entre les chiffres observés, afin d'y découvrir un ensemble d'éléments nouveaux à travers lesquels s'effaceront peu à peu les causes accidentelles, troublantes de l'harmonie instinctivement désirée. A vrai dire, le problème de l'interpolation est un problème arbitraire et ne peut aller à la main du premier venu. Un mathématicien peu préparé aux questions économiques, fût-il un génie, arriverait facilement à tirer de quelques éléments sociaux, au moyen de cette méthode, des conséquences absurdes. Comme en toutes ces matières, il faut, avant de mettre en marche la machine précise du raisonnement mathématique, bien poser le problème et choisir avec perspicacité ses hypothèses. Il importe donc de connaître très à fond les matières auxquelles on applique l'interpolation. A cette condition, l'interpolation est une méthode précieuse pour compléter des observations insuffisantes et pour simplifier les résultats d'un problème.

On a appliqué assez souvent l'interpolation à des questions de démographie et Ton a beaucoup travaillé, en se livrant à des applications pratiques, au perfectionnement de cette méthode. Parmi les obstacles les plus difficiles à surmonter, se trouve le fait d'une variation brusque dans une série d'observations. Tout d'un coup, les naissances, par exemple, augmentent considérablement dans l'unité de temps envisagée. Il y a là Tindice de causes nouvelles et l'on ne peut répartir l'action de cette cause sur les chiffres antérieurs. On a proposé alors de procéder par voie d'interpolation partielle dans les intervalles séparés par la variation très fortement accusée. Il suffit de cet exemple, pour montrer avec quelle délicatesse doit être manié cet instrument de généralisation, qui exige aussi de profondes études mathématiques pour être utilisé avec quelque efficacité *.

Quant à ce que l'on appelle Y extrapolation, c'est-àdire la continuation de la courbe au delà du dernier point connu, c'est une extension de la méthode d'interpolation. Elle contient beaucoup plus d'arbitraire que l'interpolation elle-même. Cela se conçoit aisément. Comme elle a pour fin de prévoir des événements futurs, elle rentre dans la sémiologie ou étude des symptômes dont nous allons nous occuper dans le

4. On s'est beaucoup occupé en Italie des applications de l'interpolation à la démographie, à la météorologie, etc. M. V. Pareto a écrit, sur ce sujet, une excellente étude technique dans le Journal de la Société de statistique de Paris (novembre 1897). Un savant italien, M. Schiaparelli, est très sceptique au sujet de l'emploi de cette méthode à la démographie et pense qu'elle ne fera pas faire « un pas de plus vers la connaissance de la vraie loi de ces phénomènes ». Gonsult. un article très intéressant de M. R. Benini (Giornale degli Economisa, janvier 1904 sur l'interpolation.

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! chapitre suivant. Il est un exemple célèbre d'une extrapolation hardie opérée par Stanley Jevons dans son livre The Coal Question publié en 1866, au sujet de l'épuisement des houillères anglaises et du prix du charbon dans l'avenir. En s'appuyant sur des données antérieures, démographiques et économiques, Jevons admettait que la consommation de la houille irait toujours en augmentant suivant une progression géométrique dont la raison était de 3,5 pour 100. Cette consommation devait s'élever à 100 mille millions de tons de 1861 à 1970; c'était donc l'épuisement complet en un peu plus d'un siècle. Les faits ont amplement démenti ces prévisions. Le taux d'accroissement des prix établi par Jevons ne s'est pas non plus maintenu. Le principe que les prix devraient tendre à augmenter au fur et à mesure de la plus grande profondeur des mines est juste, mais Jevons n'avait pas tenu compte des perfectionnements apportés dans les procédés mécaniques pour diminuer les dépenses que devaient occasionner l'exploitation des houillères à des profondeurs de plus en plus grandes. Bien d'autres facteurs devaient encore troubler les prévisions de l'économiste anglais. Il en résulte que ces sortes de vues sur l'avenir ne sauraient être considérées souvent, lorsqu'elles reposent sur des bases aussi fragiles, que comme de simples jeux de l'esprit.