Peu importe ici leur genèse

4. Sur la question des géométries non euclidiennes et de l’espace à 7 dimensions, voir plus loin, pp. 388-389.

Et maintenant, si le principe d'identité s’applique, dans le temps et dans l’espace, au phénomène, — considéré en tant que multiple et non comme offrant telle ou telle qualité, — que va-t-il se produire? Il en résultera la mathématique, science pure de l’espace et du temps.

La mathémalique apparaît comme la science qui étudie les propriétés de la grandeur numérique et figurée. Que faut-il entendre par là? Voici, sans doute : la mathématique, prenant pour point de départ un élément de l'espace et du temps, considère les accroissements qu'il peut recevoir dans le multiple de l'espace et du temps et les combinaisons qui peuvent résulter de ces accroissements. Comme l’espace et le temps rayonnent à partir du moi qu'ils enferment et prolongent, ainsi la grandeur se dénombre et s'étend à partir d’une unité — d’ailleurs arbitraire dans la pratique ‘, mais qui dans la pensée est l'unité, et dont l'office, comme son nom l'indique, dérive du rôle joué par le moi. L'unité mathématique — l’un ou le point — devient, en quelque sorte, le substitut du moi : par ce mouvement qui est l'addition ou par cette addition qui est le mouvement se forment le nombre et la figure ?; et dans le nombre et la figure la pluralité se trouve traitée d’une façon particulière, — dans son rapport avec cétte unité qui est le substitut du moi, et avec le temps et l’espace qui en sont l'extension. — Si tout cela est exact, voici ce qu'implique, en définitive, la mathématique. L'unité

1. On peut voir sur l'unité de longueur et de temps Sir W. Thomson, Conf. scientifiques, Il, Unités électriques.

2. « Le mouvement d’un objet dans l’espace ne fait pas partie d'une science pure, ni par conséquent de la géométrie; parce que nous ne pouvons pas savoir & priori, mais seulement par l'expérience, que quelque chose est mobile. Mais le mouvement comme description d’un espace est un acte pur de la synthèse successive de la diversité dans l'intuition externe en général par limagination productive et n’appartient pas à la géométrie seulement, mais encore à la philosophie transcendantale. » Kant, Crit. de la Raison pure, Log. transc., $ 169, note. Cf. $ 152 : « Si je veux connaître quelque chose dans l’espace, par exemple une ligne, je dois la tirer, et par conséquent exécuter synthétiquement une certaine liaison de la diversité donnée, de telle sorte que l’unité de cette action soit en même temps l’unité de con-

science... » Cf., d’ailleurs, toute l’'Esthétique transcendantale. Toute cette analyse formelle de Kant, il faudrait la reprendre en la rendant ontologique.

mathématique est quelque chose, pour ainsi dire, d’incorruptible comme le moi; se multiplie-t-elle dans le nombre et la figure, son incorruptibilité se communique au nombre et à la figure : on retrouve l’unité identique à elle-même au cœur de la figure et du nombre, et les propriétés qui résultent de sa multiplication dans tel nombre et telle figure se retrouvent elles-mêmes dans n'importe quelle partie du temps et de l’espace. Mais la mathématique, dans sa plus haute généralité, peut se définir par rapport au temps et à l’espace tout ensemble : n’applique-t-elle pas aussi bien le temps à l’espace que l’espace au temps ', et peut-on concevoir temps et espace l’un sans l’autre °? Se

La mathématique, d'une façon générale, met la continuité dans le discontinu; elle est une sorte de projection du moi dans une sorte de simplification des phénomènes : création mitoyenne qui doit relier moi et non-moi, si elle y réussit,

1. « Descartes eut cette idée de génie que Le rapport établi par les géomètres anciens entre les formes et les nombres : 1° pouvait être retourné, de telle sorte qu’au lieu de tirer seulement des conclusions numériques de l'étude d’une figure de géométrie on pourrait encore tirer des conclusions géométriques de l’examen d'une formule; et 2° qu’il pouvait être généralisé, de telle sorte qu’à toute figure correspondit une équation et à toute équation une figure. » Lalande, Lectures sur la philosophie des sciences, p. 91.

2. M. Bergson, dans son Essai sur les données immédiates de la conscience, a fort ingénieusement distingué la durée concrèle et le temps homogène. Le temps homogène, dit-il, c’est l’espace introduit dans la durée. — Qui, mais l'espace est lui-même la durée concrète introduite dans le multiple : ou plutôt c’est le concret, le moi, l’un, appliqué au multiple; et, d’autre

part, le moi, l’un, n’est durée concrète que par le multiple : sans le multiple du non-moi, il n’y a pas de multiplicité interne, il n’y a pas de moments, il n’y a pas de durée. Qu'est-ce que la durée pure? Il ne faut pas dire que le temps homogène est créé à l’insiar de l’espace homogène : car celte homogénéité de l’espace provient du moi, — M. Bergson lui-même le montre finement, p. 13, — et ce n’est pas l’homogénéité qui passe de l’espace au temps, mais la multiplicité. M. Bergson estime que le temps, c’est la durée extériorisée, spatialisée, si l’on peut dire; mais le temps diffère de la durée, ou plutôt de la mémoire, de la même façon que l’espace diffère de la cœnesthésie. Le temps et l’espace sont le prolongement du moi continu — qui déjà implique le non-moi — introduit sous le multiple extérieur pour Vunifier comme le multiple intérieur s’unifie dans le moi. La mathématique est une méthode pour retrouver partout la réalité une de la conscience; comme dans l’espace le multiple est plus apparent, la mathématique spatiale — la géométrie — y fait plus sentir la continnilé; comme dans le temps la continuité est plus apparente, la mathématique temporelle — l’arithmétique — y fait plus sentir la distontinuité. Dans la mathématique générale, dan Panalyse, c’est surtout l'identité qui éclate.

gg. | DE LA MÉTHODE ACTIVE.

elle prolonge par là même dans le non-moi l’être du moi. Et voici, en définilive, ce que la mathématique est destinée à

prouver par un biais : Hors du moi ce qui est est, et ce qui est hors du moi ne fait qu'un avec le moi. Elle est la science

de l'unité statique.

Science parfaite dans l'esprit, puisqu'elle est faite de

l'essence même de l'esprit et d’un minimum emprunté au

non-moi, — abstrait et transformé par l'esprit’, — il n’y a pas

‘à s'étonner qu’elle soit née de bonne heure, qu'elle ait pro-

gressé assez vite, qu’elle ait été nommée la science par excellence. Il n’est pas nécessaire ici d'insister sur ses méthodes et. ses divisions, sur le.caractère des définitions et des axiomes,

— analytiques ou synthéliques, — sur la nature de la démons-

tralion mathématique * : dans le progrès de ses méthodes

1. Pas plus que l’1 ou le point, le nombre et la figure n’existent en réalité dans l’objet.

2. Un des mérites de la Revue de mélaphysique et de morale est d’avoir publié un certain nombre d'articles intéressants sur la mathématique. Pourtant la plupart se rapportent plutôt à la méthode qu'à la philosophie des mathématiques. Je dois ajouter que, lorsque ces pages étaient écrites, j'ai cru en trouver la confirmation, sinon en ce qui concerne la portée nouménale de la mathématique, du moins sur des points importants, dans un travail de MM. E. Le Roy et G. Vincent sur la Mélhode mathématique (sept. et nov. 1894) : j’en ai été d'autant plus heureux que je ne m’avance ici qu'avec quelque appréhension; ce sont questions qui n’appartiennent pas aux seuls professionnels des mathématiques, mais qui intimident nécessairement les profanes. « La conscience, dans son progrès, élimine autant qu’elle le peut le contenu ou matière (de la perception) qui ne dépend pas d’elle en tant que faculté de connaitre et d'opérer mentalement et qui dès lors échappe à ses prises... (p. 510). Le concept du nombre entier est la perception de pluralité réduite à l’état schématique... (p. 512). L’unité.., c’est la forme sous laquelle est perçu le moi : c’est donc une fonction logique, indéfinissable en elle-même et servant à tout définir. L’unité est le type de ces intuitions élémentaires, de ces atomes de pensée qui doivent seuls entrer dans la construction d’une forme pour que celle-ci soit ce que nous avons appelé une forme pure. On peut dire que l’objet mathématique, la donnée sur laquelle le calcul opère, c’est Punité.…. (p. 516). L'unité est forme pour la perception, mais matière pour la raison. (p. 522). La valeur de l’analyse est la valeur même de l'esprit humain, puisqu'elle en vient tout.entière au point de n’en être en quelque sorte qu’une extériorisation et qu’elle est construile uniquement à l’aide de la loi fondamentale de la raison. (p. 528). L'analyse achevée serait comme notre raison même étalée devant nous avec les creux constitutionnels.dans lesquels doivent se placer et se mouler les choses pour être entendues de nous (p. 530). » Ils semblent avoir raison en disant que la géométrie est, à considérer son expression graphique, une 'athématique appliquée dont la solidité repose sur une géométrie plus wstraile. Considérées dans la pratique, les figures ne sont que des graphiques:

LES CATÉGORIES DE LA CONNAISSANCE. à 345

comme dans la constitution de ses algorithmes, la mathématique cherche. à toujours acquérir un degré plus haut de généralité, une souplesse croissante : elle devient plus propre à s'appliquer, plus elle est épurée, sur la réalité même, comme un réseau ductile; et plus est réduite la matière extérieure sur laquelle elle opère, plus elle manie un schème surabstrait, mieux elle fait éclater la continuité, l'identité, l'égalité. Ce petit signe —, c’est un symbole commode qui étend à tout, qui insinue partout le moi.

* Peut-être y a-t-il quelque subtilité ou quelque chose de puéril en apparence dans cette remarque : c’est parmi les mathématiciens que l'hérédité semble jouer le plus grand rôle *, et c'est chez eux aussi que l'aptitude se révèle le plus tôt; Pascal, Clairaut, Gauss, Jacques, Jean et Daniel Bernouilli étaient déjà des géomètres à un âge où d'habitude on apprend encore les éléments des choses. Or, — si l'influence du monde extérieur est variable et la connaissance du monde extérieur lente, — ne conçoit-on pas, au contraire, qu'un cerlain sentiment intense de l’être et de sa continuité puisse se transmettre aisément etse manifester d'assez bonne heure? Et, pour considérer non les seuls individus, mais un peuple enlier, le génie mathématique des Hindous, la passion avec laquelle ils cultivèrent le calcul algébrique ou analytique, ne sont-ils pas bien en rapport avec leur obsession spéculative de l'Étre, avec leur hallucination du multiple, — mais unifié par la notion de cet être qui apparaît dans le moi, — avec leur histoire — ou plutôt leur absence d'histoire et leur immobilité contemplative? Il n'y a rien pour les Hindous que cela qui est; et, en fait de science, on ne peut découvrir chez eux que

et des noms qui revêtent pour la commodité la mathématique de l’espace. Mais considérées génétiquement, ces figures appartiennent bien dans lesprit à la mathématique spatiale pure.

1. 8 Bernouillis; Léonard et Albert Euler; Clairaut, fils d’un professeur de mathématiques, etc. Voir de Candolle, Hist. des savants, et Galton, Hereditary genius.

2. Voir Rev. gén. des sciences, 15 août 1894, Léon Autonne résumant Moritz Cantor : Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, I, 2° Auflage.

celles qui traitent de l'Éternel ‘. Cherchez donc la mathématique chez le Japonais primitif, toujours tout entier à la sensation présente : « C’est dans ses yeux que s’est réfugiée son âme, ne lui laissant de pensée que pour ce qui est capable d'un aspect visible et matériel ? »; cette petite âme distraite s’égare et se laisse prendre à chaque phénomène. Comme on pourrait appliquer au Japonais cette phrase de Montaigne : « Je ne peins pas l’être, je peins le passage »! — Il ÿ aurait à faire une psychologie concrète de la mathématique, qui serait, semble-t-il, singulièrement instructive.

La mathématique, dans son complet épanouissement, appliquant l'unité du moi au Temps et à l'Espace tout entiers, implique, appelle l’unité de l'Être : Unité absolue, tel est le postulat et tel serait l'achèvement de la mathématique. Un Descartes, un Spinoza ont voulu clore par un coup de génie l’entreprise en cours d'exécution, et — malgré les difficultés qu'introduit dans leur système du monde la notion de l'infini — ils ont, l’un créé, l’autre complété une conception mathématique des choses. Or, à considérer le « Monde » et |’ « Homme » de Descartes, il y a, sans doute, une étrange témérité dans cette imperturbable déduction qui prend pour point de départ l’être découvert dans la conscience : il n’en est pas moins vrai que la mathématique s’applique à un nombre toujours croissant de phénomènes et qu’elle s’achemine patiemment vers celte prise de possession totale que le génie de Descartes avait pressentie avec raison et à tort voulu précipiter. Faut-il rappeler, d’une part, combien de découvertes soupes — qui, d’ailleurs, ne sont devenues définitives qu'en se rattachant dans l'esprit à la mathématique abstraite — sont nées de constatations empiriques; et combien, d'autre part, les déductions de la mathématique abstraite ont fait réaliser de découvertes expérimentales *?