Énergie absorbée par le phénomène d'hystérésis

— Si le circuit dans lequel s'établit le flux ne comporte pas

de fer, en supprimant le courant on annule complètement le ^y^^^^^''^ flux et l'énergie {intrinsèque du

y^/^ courant est totalement restituée

y/^ / sous forme de courant induit.

/ / Mais, lorsque le circuit c^m-

/o porte du fer, l'énergie OBGF

/ " {fig, 24) n'est pas entièrement

>< restituée à cause de Vhystérésis.

p,j, 24. Seule la partie GHF est resti-

tuée et l'autre partie, donnée par l'aire OBGH, est transformée en chaleur dans le fer. Dans le cas particulier où le noyau de fer subit de véri-

tables cycles complets d aimantation dans les deux sens (c'est le cas du noyau d'induii dans toutes les dynamos), la perte d'énergie par cycle et par centimètre cube de matière est donnée avec une approximation suffisante, d'après Steinmetz, par la formule :

~--r,tB«.«, (il)

dans laquelle r^ est le coefficient (Physlérésis, qui varie entre 0,001 6 et 0,0026, et 55 Tinduction maximum dans le fer par cycle.

24. Expression générale de l'intensité du courant dans un circuit. — De ce qui a été exposé précédemment, il résulte que la valeur de Tintensilé du courant dans un circuit dépend, pendant la période variable, non seulement de la force électromotrice de la source, mais aussi des forces électromotrices d'induction qui sont dues aux variations mômes de rintensité. Ces forces électromotrices d'induction sont seulement dues h la self-induction si le circuit est unique ; mais, si le flux rencontre sur son parcours un second circuit, que Ton peut admettre fermé sur lui-môme ou sur une résistance donnée, il se produit alors dans ce second circuit un courant qui donne lieu également à la production d'un flux qui s'ajoute algébriquement, à chaque instant, h celui que produit le premier circuit. La force électromotrice totale qui réagit sur rétablissement du courant est due aux variations de ce flux combiné. On a déjà vu que ce (lux secondaire est de sens opposé au flux principal lorsque l'intensité du courant augmente et qu'il est, au contraire, de môme sens lorsque l'intensité diminue. Alors, si «1 est l'intensitr du courant qui, à un moment donnée parcourt la bobine A et «Scelle du courant qui, au même instant^ circule dans la bobine B, le flux embrassé par le premier circuit est

tandis que celui qui coupe le second circuit est

S'il ny a pas de fuites magnétiques, pratiquement ^^ = *^, parce que Ls^ = L»^ = L^* En un temps infiniment court A/, ces flux auront subi une variation A<I>| et A*2, et les forces électromotrices induites dans le premier et dans le second circuit seront

La force électromolrice^j s'ajoute algébriquement à la force électromotrice de la source pour faire circuler le courant dans le premier circuit; dans le second circuit, au contraire, la force électromotrice e^ est seule à agir.

Pour simplifier la question, on peut considérer comme constants les coefficients de self-induction et d'induction mutuelle; alors les variations des flux sont dues aux variations des intensités de courant et Ton peut, par suite, écrire en ce qui concerne le premier circuit:

De mAme, pour le second circuit, on a

En indiquant, pour abréger, par i[ et t'^ les variations moyennes des intensités ij et û dans un temps très court A/, on a les deux équations :

Ces deux formules ne sont autre chose que l'interprétation algébrique qui avait été déjà déduite du raisonnement exposé pages 51 et suivantes du tome I.

En multipliant la première par L,.,, la seconde par L„, et en

PHÉNOMÈiNES D'INDUCTION MUTUELLE ET DE SELF-INDUCTION 49

eiïecluant la soustraction, on a

Inversement, en multipliant la première par L,„ et la seconde par L,p on a

Ces deux expressions, en permettant de calculer les variations successives de Tintensité dans les circuits, servent à déterminer leur allure par rapport au temps. On peut appliquer ces données aux deux circuits A et B dont on a déjà déterminé les coefficients de self-induction et d'induction mutuelle.

25. Il y a lieu d'observer que, dans le cas particulier qui vient d'être développé, on a admis qu'il n'y avait pas de déperdition de flux et que, par conséquent, on avait

Dans ce cas particulier, les dénominateurs des deux expressions i[ et i!j s'annuleraient et, en conséquence, on aurait i[ et 1*2 toujours égaux h Tinfini, ce qui est absurde. C/est pourquoi, si pratiquement il est possible de réaliser la condition L,, = L,.^ en ayant deux bobines identiques et disposées symétriquement sur un même noyau, on ne peut obtenir L;„ = \/L,,L,^ ; si, pour obtenir cette dernière condition, on superposait les deux circuits, on n'aurait plus alors L«, = L,.^, parce que, dans ce cas, une des deux bobines devrait occuper exactement la place de l'autre pour obtenir le résultat cherché, ce qui est matériellement impossible. Donc l'égalité L,jZ/«.^ =L^, est purement théorique. Dans la pratique on peut obtenir que Lg^Lg, — L,J soit très petit, mais jamais nuU. Ainsi, pour développer l'exemple cité, on pourra prendre / = 0,95.

1. Dans les bobines, dites sans seif-induction, les couches de fil sont en nombre pair et chacune de ces couches est roulée en sens inverse de la précédente. On a ainsi pratiquement L» = 0 ; on peut obtenir le môme résultat en enroulant un fil doublé.

50 I-V TECHNIQUE DES COUR-iNTS ALTERNATIFS

26. Applications numériques. — 1* Dans un circuit ayant une résistance ohmique égale à 2 ohms et dont le coefficient de self-induction est de 0,50 henry, on fait agir une force électromofrice de 10 volts. Au moment où Ton ferme le circuit, la force éleclromolrice commence à agir et le courant est nul. Dans ce cas, la première formule; 12' donne, puisque

10 = 0 -r 0,06/', de laquelle on tire

c'est-à-dire que le courant commence à s'établir dans le circuit, son intensité augmentant à raison de 166,66 ampères par seconde.

Lorsque le courant a atteint une valeur déterminée, par exemple 3 ampères, la même formule donne

de laquelle on déduit

c'est-à-dire qu'à ce moment Tintensité du courant augmente à raison de 66,66 ampères par seconde.

Il est facile de voir que, lorsque l'intensité du courant a atteint la valeur

la variation t" s*annule, c'est-à-dire que l'intensité, à partir de ce moment, se maintient constante.

2* Lorsque Ton a deux circuits placés à proximité l'un de Tautre pour lesquels

E --- 10 volts,

r^ =ir^z=z^ ohms,

L„ = Lsi = 0,05 henry,

Lm = 0,04 henry,

les calculs doivent s'effectuer do la manière suivante.

Puisque f\ = r2= r et L^^ = L^.^ = L, les formules (12 bis) et {\2ter) se réduisent à

V' L(E — ri<) 4- L,„rii

Remplaçant les lettres par leurs valeurs, on a

^ = i; = 555,5 - 277,7i, + 222,2i„ ^=ii=^ 444,4 4- 222,21, -277,7 fj.

A rinslant ^ = 0, on a t'i = 0 et f, = 0 et, par consi^quent, la variation de l'intensité du courant est en raison de i\ = 555,5 ampères dans le premier circuit et de 2*2 = — 444,4 ampères dans le second, par unité de temps, c'est-à-dire par seconde.

Si, comme on Ta déjà admis, on suppose que, dans un temps très court A/, les intensités restent constantes avec leurs valeurs moyennes, Tintensité prendra la valeur de 0,5 ampère après un intervalle de temps donné par

d'où Ton déduit

0 5 ^' = ^rrz = 0,0009 seconde, 55 0,5

et, dans ce même temps, Tintensité dans le second circuit augmente de

d'où

Aia = — 0,40.

Après ce premier intervalle de temps, on a

ù = 0,5, ta =r — 0,40

et, par conséquent, pour l'intervalle de temps qui suit, les

formules deviennent

tf z=z 555,5 — 277,7 . 0,5 — 222,2 . 0,40 = 328,

En d'autres termes, après un temps de 0,0009 de seconde à partir de la fermeture du circuit, l'intensité du courant varie, dans le premier circuit, dans le rapport de 328 ampères par seconde, tandis que, dans le second circuit, cette intensité varie à raison de 223,32 ampères par seconde.

L'augmentation suivante de 0,5 ampère se produit dans le premier circuit dans un temps de

1^ = 0,0015 seconde,

et, dans ce même temps, Tintensité du courant dans le second circuit augmente de 0,0015 (— 223,32) = — 0,334 ampère. Donc, après 0,œ09 + 0,0015 =- 0,0024 seconde, Tintensité du courant dans les deux circuits est

t, =1= I , ij = 0,734.

En substituant, on obtient deux autres valeurs pour i\ et pour i'o et il faudra un autre intervalle de temps It pour permettre au courant d'augmenter encore do 0,5 ampère. On calculé ensuite l'augmentation de i\ et ainsi de suite. En traçant un diagramme des valeurs successives, on obtient deux courbes analogues à celles de la figure 25, et Ton peut ainsi déterminer le temps nécessaire pour que l'intensité du courant atteigne sa valeur normale de

2 ampères z=z - = — -

dans le premier circuit.

A la rigueur, la courbe de Tintensité peut être considérée comme asymplotique ; mais, pratiquement, elle atteint sa valeur définitive lorsque les variations tendent à s'annuler. Il ne faut pas oublier qu'il s'agit d'une approximation, parce que l'intensité du courant varie d'une façon continue et non par à-coups. Mais, dans la pratique, celte approximation est plus que suffisante.

27. Si le second circuit n'existait pas, le phénomène se produirait avec une allure différente, comme l'indique la ligne point! liée [fig. 25).

Dans ce cas, on aurait simplement

E — ri

: = n + Li*,

d'où

de cette expression, on déduit, en Tintégrant,

dans laquelle e est la base des logarithmes naturels.

Vî

/ Millièmes desecmdp

\> À 6 8 fil ^^^

UiG. ru

Lorsque le circuit est interrompu, Téquation de Tintensité du courant devient au contraire

Comme le temps nécessaire pour que le courant s'établisse ou s'annule dépend directement de L et inversement de r, on a

donné le nom de constante de temps du circuit au rapport -•

Comme on le voit, on peut réduire cette constante de temps, soit en diminuant la valeur de L, soit en augmentant celle de r. La présence d'un circuit soumis à l'induction mutuelle correspond à une diminution du coefficient de self-induction du premier circuit, toujours sous la réserve faite page 52 du tome I.

NOTE SUR LA VALEUR DU COEFPICIKNT d'iKDUCTION MUTUELLE

Soient deux circuits A el B de forme donnée et disposés dans une position déterminée; lorsqu'un courant i circule en A, il produit toujours un flux * qui agit sur le circuit B; le même courant i circulant en B donne toujours naissance à un flux 4»^ agissant sur A.

Pour simplifier la démonstration, on peut supposer que les deux circuits sont parallèles [fig, 26), et soit *^ au lieu de 4> la valeur du flux agissant sur le circuit A lorsqu'un courant i circule en B, les deux circuits étant parcourus par des courants constants t.

Fio. 26. FiG. 21.

Si on déplace le circuit B de manière à Tamener dans un plan perpendiculaire à celui de A {fîg. 27). la variation de flux qu'il subit est 4>, puisque, dans cette position, il n'est plus traversé par le champ provenant de A. Le travail elTectué est, comme on le sait, égal à <l>î.

En replaçant B dans sa position primitive, on déplace ensuite A, comme on Ta fait pour B, de manière qu'il soit situé dans un plan perpendiculaire à celui de B. I^e travail elTectué dans les mêmes conditions, par suite de ce déplacement, est égal à ^^i.

Mais, si les positions respectives finales des deux circuits sont é gales après leur déplacement, l'énergie potentielle du système doit varier dans les deux cas d'une même quantité. Par conséquent, ^i =r <I>^i et, par suite, * = 4>|, comme on l'avait énoncé.

Cette démonstration, exacte pour deux circuits qui sont d'abord parallèles, puis disposes dans un plan perpendiculaire l'un par rapport à l'autre, n'est pas générale; il faudrait pour cela la preuve qu'il existe une position pour laquelle on obtient une valeur nulle tant pour 4» que pour <!>{. Cette position est celle pour laquelle la distance entre les deux circuits est égale à l'infini.