CHAPITRE IV
COURANT ALTERNATIF ET IMPÉDANCE D'UN CIRCUIT
28. Valeur de la force électromotrice nécessaire pour qu'un courant alternatif de valeur déterminée s'établisse dans un circuit. — Si un circuit n'agit pas par induction mutuelle sur un autre circuit placé sur le parcours du flux, on sait, d'après ce qui a été exposé à la fin du chapitre précédent, que, pour un courant dont l'intensité varie à tout instant, on a
e = n ' + Li.
Dans ce cas, e est également variable.
Si Tintensité du courant varie suivant une loi harmonique, comme on peut le supposer pour simplifier l'explication, cette intensité, à Tinstant /, aura une valeur que Ton peut exprimer d'une manière générale par
i =^ /osin (w^ — ç), (t6)
dans laquelle 1q est sa valeur maximum (amplitude de la si-
nusoïde), w la pulsation -— ^*> T la période et 9 le retard de
phase du courant par rapport h la force électromotrice principale que l'on peut représenter par
e z=z Eq sin (^it. (17)
Soit, en effet, une spire {fig. 28) se déplaçant d'un mouvement uniforme dans un champ magnétique d'intensité cons-
tante 3it et soit % le flux maximum qui la traverse aux temps
/ = 0, t =^T, r, etc. Après un certain temps, cette spire
aura décrit un angle a = tat et, à ce moment, elle sera traversée par un flux
* = 4>Q cos tût.
\cC
FiG. 28.
Par suite, la force électromotrice induite sera
d4> , d C08fa)t H. / • *, I A • .
Pour (1)/ = 5» sin ^ = 1 et ^ prend sa valeur maximum ; donc
e z= Eq sin wf ,
j^Q étant égal à o)*o- Il faut remarquer que
e — Li
et que, à la limite.
At
devient la dérivée t- de la fonction ; en substituant, en inté-
Qt
grant et en admettant L constant, on a
sin (tuf — ç).
COURANT ALTERNATIF ET IMPÉDANCE D'UN CIRCUIT
Des expressions (16), (17) et (18) on déduit aussi
e = Jo \^r' + w^l»* sin wf.
29. Les considérations développées dans le chapitre iv du tome I permettent d'arriver au résultat voulu sans qu'il soit nécessaire de faire usage du calcul inPinitésimal.
La force électromotrice principale, la force éleclromotrice de self -induction, la force électromotrice résultante, Tintensité sont autant de grandeurs vectorielles alternatives d'amplitudes et de phases déterminées, mais ayant toutes la même période. On peut les représenter sur un diagramme unique au moyen de leurs vecteurs tournants correspondants.
Soient OA {fig. 29) le vecteur de la force électromolrice résultante et OA' celui de Tintensité en concordance de phase avec le premier:
OA = r . OA'.
La force électromotrice de self-induction est en retard de
- de période par rapport à cette résultante et, par suite, son
vecteur OB est décalé de 90° en arrière par rapport à OA. BA donne en grandeur et en phase la valeur équipollente du vecteur OC qui représente la force électromotrice alternative nécessaire cherchée.
Il faut remarquer que OA' = Iq et que, par suite, OA = rl^. Il s'agit maintenant de déterminer la valeur OB. Dans le chapitre i, § 3, on a vu que la variation instantanée d'une fonction harmonique est représentée par un vecleur dont l'amplitude^ est égale à celle de la fonction multipliée par la pulsa-
FiG. 29.
58 r.A TEGHNIQUK DES COURANTS ALTERNATIFS
tion. Le cas développé dans le paragraphe précédent en est un exemple et, alors, la fonction harmonique variable est le flux
* =: LIq sin a et, par conséquent,
OB = (oLIo,
en admettant que L soit constant.
Le vecteur de la variation instantanée est décalé de - de période par rapport à celui de la fonction variable, qui est ici en retard, parce que, à tout instant, la force électroraotrice de
self- induction est égale h ry
Connaissant OA et OB ainsi que leur phase, le vecteur OC est parfaitement déterminé en grandeur et en phase. On indique par 9 Tangle COA, donnant le retard de l'intensité par rapport à la force électromotrice principale, et on pose
e = Eq sin wf .
On peut donc écrire
i=z /,)(sintut — çp),
sachant déjà qu'il s'agit d une fonction ayant môme période, mais ayant une amplitude et une phase difi'érentes.
D'autre part, dans le triangle OCA, CA = wA/q ; on a donc :
0A=0Ccos9
et aussi
vIq —EqCos^.
AG= OC sin 9
et aussi
(oLIq^zEq sinf.
GA= 0AUing9
et aussi
o>LIo=:rIo tang<p
En élevant au carré et en ajoutant les deux premières expressions, on a
(r/o;2 + (oiLio)=^ = Eq^ (sin2? + cos^ç) =: EJ, c'est-à-dire
/2(r2 + to2L2)=rEî
et, par conséquent,
Io =
V^r2 + toU»
COURANT ALTERNATIF ET IMPÉDANCE D'UN CIRCllT 59
Finalement, la valeur Je Tintensité du courant est donnée par l'expression
fin
sin(wf — ç).
La valeur du décalage en retard 9 est
c'est-à-dire
tangç:..— ,
tang?^^. (19)
Ces deux résultats sont ici exprimés sous une forme algébrique et, par conséquent, quantitative, (andis que, dans le chapitre iv du tome 1, on était arrivé aux mêmes résultats simplement par le raisonnement et par un procédé simplement qualitatif.
11 convient de compléter les considérations précédentes en faisant remarquer que la quantité lùL est homogène à une résistance et, comme telle, doit pouvoir s'additionner avec une résistance et donner un nombre abstrait si on divise la résistance par ce nombre. En exprimant L en henrys, w en radians, wL représente des ohnas et wL/q une force électromotrice en volts. Le produit wL est appelé 7*éactance. Le radical v^^^ + w^^*^ est désigné sous le nom d'impédance ou de résistance apparente.
30, AppLiCATiOiN KLMÉKiQLE. — Soit unc forcc électromotrice
e =z 150 sin wf,
agissant sur un circuit dont la résistance est égale à 2 ohms et dont le coefficient de self-induction L = 0,01 henry. La pé-
riode T = — seconde.
On voit d'abord que
tD=zj = 2,2,U .50 = 314.
La réactance est
loL = 314 . 0,01 = 3,14 ohms; rimpédance a pour valeur
Vr» -f- t^L^ = \ 4 -f 3,14;* = \ 13,86 = 3,-2 ohms. Le décalage de phase est
h>L 3,14 d'où
«angr == "7 ~ "2" "^ *'^^*
La valeur de Tintensité maximum du courant est la suivante :
- Efl 150 , 3,
I* = ^ = = T--7 r= 4i, 1 1 ampères.
^ra-fc«2tï 3J4
L'intensité du courant dans le circuit à un moment quelconque / de la période est
I — 47,77 sin >»( — 57'» 30';.
Pour calculer un certain nombre de valeurs de î\ il suffit d'exprimer / en fonction de la période
(T T T T \ t = 0, -. 2-, 3-, 4-- etc.)n n n n )
Dans le cas où L est égal à zéro, c'est-à-dire nul, tang ^ = 0 et rintensité est alors en concordance de phase avec la force électromotrice agissante ; sa valeur est donnée à chaque instant par l'expression
