DIVISEUR DE TENSION POUR COURANTS ALTERNATIFS
La représentation des grandeurs électriques alternatives au moyen de nombres complexes permet de résoudre très rapidement un très grand nombre de problèmes ; ce mode de représentation est particulièrement utile quand il s'agit de grandeurs différant très peu entre elles et faiblement décalées Tune par rapport à Tautre, la méthode graphique étant, dans ce cas, incertaine et confuse.
Le but de cette note est d'appliquer la méthode des nombres complexes au diviseur de tension pour courants alternatifs, appareil qui a reçu de nombreuses applications, principalement dans les installations d'éclairage par lampes à arc.
Cet appareil se compose essentiellement d une bobine d'induction ayant plusieurs bornes de prise de courant. Entre ces différentes prises de courant, on a une tension disponible à peu près égale
à n ^» n étant le nombre de spires comprises entre les deux bornes
considérées, U la tension aux bornes de l'appareil et N le nombre total de spires. Chaque partie de la bobine agit non seulement comme une simple bobine d'induction, mais encore comme bobine d'induction mutuelle sur l'autre partie de l'enroulement. Son action est donc double.
Il y a lieu d'abord de remarquer que, si les diverses parties de la bobine, au lieu d'être roulées successivement le long du circuit magnétique, sont superposées les unes aux autres, on peut
admettre que le flux est identique pour toutes les spires, ce qui permet de faire abstraction dans le calcul des fuites magnétiques qui, quoique très faibles avec un circuit magnétique fermé, existent néanmoins.
IjPX
Lsrx
IM
1$ fS vTi
Ux
Fio. 285. . •
Soit un diviseur de tension à trois bornes {fig, 285] : deux bornes extrêmes et une borne intermédiaire reliée au milieu de Tenroùlement, ce qui est le cas le plus fréquent, c'est-à-dire celui où il faut diviser la tension en deux parties égales. Les deux parties de la bobine sont identiques : elles ont la même résistance, même coefficient de self-induction et leur coefficient d'induction mutuelle est égal à celui de self-induction. Par conséquent, si «o représente la pulsation, on a
X = mLs = û)L/,i , et la pulsation est
Si on intercale entre les points A et B et entre B et C deux résistances inductives dont les impédances sont
et représentées symboliquement par
il s'établit entre ces deux points deux tensions Ua et U^^ et les enrou-
lements du diviseur de tension sont parcourus par deux cou^
rants ^^ et i.,. D'après les données du problème, le flux ayant la même valeur dans les deux enroulements, on a, en se servant de la notation symbolique,
\Uo,]==r[û]+[e] (i)
[Vp]=r[i,]+[e], (2)
expressions dans lesquelles e est uue force électromotrice qui tient compte de Faction de la self-induction et de celle de Tinduction mutuelle et qui est égale pour les deux sections de Tenroulement, puisque wL, = (»Lm- D'autre part, on remarque que
[UJ-MM (â)
Pour simplifier, on peut dès maintenant supprimer les parenthèses en se rappelant que toutes les grandeurs sinusoïdales ainsi que rimpédance sont exprimées symboliquement.
Des formules (1) et (2), on déduit
Mais, comme il s'ensuit que
et Ton peut poser d'où
et Ton a finalement
£« — y ^4 (r + Zj) 2s __
Cette expression montre que, pour obtenir pratiquement Va = ?7p, quelles que soient les valeurs de z^ eiz^, il faut rendre r, résistance ohmique de la moitié de la bobine, très faible et que, dans tons les cas, le rapport des tensions dépend de la résistance du diviseur et de rimpédance des deux circuits d'utilisation.
Cette expression peut se mettre également sous la forme suivante :
On voit immédiatement que, si z^ est très grand, le dénominateur est très près de Tunité et que, par suite,
ce qui montre également que, même dans le cas le plus défavorable {z^ = œ ), le rapport entre les tensions sera presque égal àl pourvu que r soit très petit par rapport à z^. C'est ce qui se vérifie toujours pour les diviseurs utilisés dans la pratique.
Il faut calculer maintenant le rapport -^ des intensités dans les
deux branches du circuit.
En indiquant par z' et z" deux impédances convenables, on peut toujours poser, étant convenu que les grandeurs sont exprimées symboliquement,
Va = (z — z) t^
d'où il vient
z =ir — jx
qui est Timpédance de chacune des deux moitiés de Tenroulement. On peut, par conséquent, poser
Vol = rii — jxii — z'i^ (/p = n'j — j.rt2 — 2'i2*
La partie de tension absorbée par la résistance ohmique est ri^ ; xi^ est la force électromotrice de self-induction et z'i^ ne peut qu'être égal à la force électromotrice d'induction mutuelle. Mais cette dernière a pour valeur
En substituant, on a, en remarquant que le cas est analogue pour la tension l/p.
d'où
Va zi^--jxi^
En substituant à p sa valeur déjà trouvée, on a
zij — j>4 (r + ^4) ^3 zi^—j'Vii (r + Z3)z4
et, par conséquent,
zt'i — jxi.2 =^ pzi^ — py.r| t^ (z + p;.r) = i^ (/.r + pz)
U j£+tz h z {- pj,r
On peut en conclure que les mleiuilés dans les deux parties du diviseur sont presque égales si le rapport p est voisin de l'unité.
Ayant ainsi déterminé les rapports entre les tensions U^ et U^ et entre les intensités i^ et t^, il faut maintenant calculer chacune de ces quantités en grandeur et en phase.
En désignant par
Zx = z-- z z^ = z-z'
les impédances apparentes des deux branches du diviseur, pour une condition de charge donnée, étant déjà déterminées par les calculs précédents, on a
zi\ == jàn^
d'où Ton tire
h ri
Z. =jxf=jxri.
On a donc les équations suivantes :
5 î/a = ^ah l'a. = ^3^3
qui permettent de trouver les valeurs de ?/«, CT^, ip «V On a aussi et, en substituant, on obtient, par conséquent,
en posant Uf^= U — Ta, en développant et en conservant le facteur commun Vg^^ on a
et finalement on en déduit
Zp z,
En rappelant, comme on Ta dit précédemment, que
on voit que les deux tensions sont parfaitement déterminées en grandeur ainsi qu'en phase.
Dans le cas où ^3 = ao , on a alors
^gS|
* + z. (zj, + 2,)
Les valeurs des deux tensions, exprimées en grandeurs symboliques, sont données par des équations de la forme suivante :
^> = wp+;wp; leurs valeurs absolues seront donc
Les valeurs symboliques des intensités sont: '. = 7^ = «i' + /«î
et en valeurs absolues :
En ce qui concerne les phases respectives, il faut remarquer que les impédances apparentes Zg, et Tp sont de la forme
-? = R? - J^^ et que leurs valeurs absolues sont
Dans ces conditions, les intensités i^ et i^ font avec les tensions respectives Ï7« et Z7p des angles :p, et o), dont la Valeur est donnée par
lang?< — —
tangçj = ^-^' R?
Au contraire, les courants {3 et i|, par rapport aux mêmes tensions^ Ua et LTj^, sont décalés des angles 03 et (p4 dont la valeur est donnée par
tangîp3=:^ tang?j = ^.
Les deux tensions ZJ^ et CTp, comme on Ta déjà fait remarquer, forment entre elles un angle tel que la relation, bien entendu symbolique,
doit être toujours satisfaite.
Les phases respectives de la tension U et de ses composantes f/a et U^ sont ainsi déterminées.
11 ne reste maintenant qu'à déterminer / et ea phase par rapport à r/. Il faut remarquer que Timpédance multiple entre les points- A et B est
lu-i 1 + i z» ' h zfi Z4
620 LA TECHNIOUE DES COURANTS ALTERNATIt-JS
Par conséquent
Zt~Ri-JXi
L'intensité totale / est décalée en retard par rapport à U d'un angle V dont la valeur est donnée par
tang^- = |^.
INDUCTANCE DANS LES LONOUES LIGNES DE TBAN8MISSI0N ^
Les transmissions d'énergie, dans lesquelles les conducteurs se trouvent placés sur les mêmes appuis ou bien sur deux rangées d'appuis rapprochées Tune de Tautre, constituent des systèmes de courants dont la somme algébrique, à tout instant, est constamment nulle en un point placé à une distance déterminée de Vorigine ou de l'extrémité de la ligne. Ce fait s^applique naturellement aussi bien au courant continu qu'aux courants alternatifs, que ces derniers soient simples ou polyphasés. .
Dans le cas d un circuit à courant alternatif simple, la détermination du coefficient de self-induction est simple ; mais la détermination de ce même coefficient pour une ligne triphasée est un peu plus complexe, parce que chaque conducteur de la ligne peut être considéré comme conducteur de retour pour les courants qui circulent dans les deux autres. On doit aussi tenir compte des phénomènes d'induction mutuelle et, en traitant le problème dans sa généralité, on doit calculer la force électromotrice induite dans chacun des conducteurs par les variations du llux propre des courants qui le parcourent; de cette force électromotrice on déduit les valeurs des coefficients de self-induction et d'induction mutuelle en se rappelant que
1. Extrait d'une note de l'auteur publiée dons VElettricisla, mars 1900.
li étant rintensité du courant dans le conducteur considéré et le les intensités dans les autres conducteurs.
Soient deux conducteurs parallèles ifig, 286) de rayon r dont les centres de leurs sections respectives soient à une distance d\ un des conducteurs fst parcouru par un courant d'intensité // et Tautre par un courant d'intensité /<? et Ton suppose que ces deux courants ont le même sens.
FiG. 286.
On considère dans le premier conducteur un élément filiforme p. Si les deux courants, en un temps déterminé, se réduisent à zéro, on peut admettre que les lignes de force sont absorbées par leurs conducteurs respectifs; un certain nombre Nde ces lignes viendront couper réiément filiforme /> pendant leur absorption et de leur nombre dépendra la grandeur de la force électromotrice induite de self-induction et d'induction mutuelle. II est évident que ce nombre N comporte les lignes de force comprises dans les circonférences de rayons p et r et dans celles de rayons r et R/ pour le premier de ces courants, en supposant qu'à la distance R/ le champ magnétique devienne pratiquement nul, et, pour le second courant, les lignes de force comprises dans les circonférences de rayons dp et R^.
Il faut remarquer que le champ magnétique de p à r a sa valeur exprimée par
3C ^ iU ^,'.
tandis que les intensités des champs magnétiques entre r et R,- et entre dp et Rc ont pour valeur
^le — 21 -.
et cela en prenant [jl = i et en admettant toujours pour ces longues lignes de transport d'énergie des conducteurs en cuivre ou en aluminium.
Les flux élémentaires correspondant aux augmentations élémen-
iaires des dislances considérées sont
de p à r df = 3e . dp ç , =z T 3e . d?
de r à Ri d? = 3e . dar ç, = T 3e ,dx
de d^ à R^ dç = 3e . dx ç., = T 3e . dx.
Le flux total est
En intégrant dans les limites indiquées, on a
„=/-«.ap=j"'=iM,=f(|p-);=..,^-,
/a 2/, ^ = 2/ê (log-r)*^/ == 2// log yS
2J, ^ = 2Ie (log^j;; = 2/. loge 5j.
Par suite
N =z iJ^^-^ + 2/, logR/ - 21/ logr + 2/, logR, - 2/, logrf^.
Mais il y a en général plus d'un courant /< ; il y aura donc autant •de termes en le qu'il y aura de courants le moins un et l'expression de N devient dans ce cas
N =: h ''^ ^ ^^ + 27/ log R, - 2/,- log r + 2S/, log R, - 2SJe log (i^.
Si on prend pour K une grande distance, on peut admettre qu'elle est approximativement la même pour tous les conducteurs et alors on peut poser
27, log R/ + 2S7. log R, z= 2 log R (7/ + S7.).
Mais, pour que, dans un pareil système, la somme de tous les cou- . rants It + S/c reste constamment nulle, il faut que
■2 pa
27/logr — 2S7jogd^.
Pour trouver la valeur de la force électrorootrice moyenne induite dans le conducteur pendant l'absorption des lignes de force, il faut considérer la valeur moyenne de N étendue à tous les éléments filiformes p du conducteur.
Les termes variables de N sont le premier et le troisième.
La valeur moyenne du premier terme est
La valeur moyenne de log dp pour un conducteur déterminé parcouru par le courant le est log d. On peut donc finalement écrire
N,n=:|-2r/Iogr-2S/, logrf.
La force électromotrice moyenne (de self-induction et d'induction mutuelle) induite pendant Tabsorption des lignes de force sera, par conséquent,
dN„
dt
-(|-21ogr)f + 2Slogrf.f.
Cette formule montre que, dans le cas d'un système de courants dont la somme est nulle à tout instant, le coefficient de self-induction d'un conducteur a pour valeur
et que le coefficient d'induction mutuelle due à Faction de Tun des autres conducteurs n — 1 sur le premier est
Lm = — 2log«d,
expression dans laquelle d est la distance qui sépare les centres des deux conducteurs considérés.
Ces valeurs, bien entendu, sont exprimées en unités absolues par centimètre de longueur du conducteur considéré. Par conséquent, dans un système de conducteurs de longueur /,
L, =/(i 21ogr) L,n = — 2/ loge d.
624 L\ TECllMQUK DES COURANTS ALTERNATIFS
L'exactitude des résultats ainsi obtenus peut être contrôlée en les appliquant au cas d'un circuit à courant alternatif simple, parce que les deux courants (aller et retour) sont égaux et de sens contraire et constituent un système de courants dont la somme est toujours nulle à chaque instant, ainsi qu'on Ta déjà fait remarquer.
Pour le premier des conducteurs, la force électromotrice induite due aux variations du courant est, par centimètre de longueur,
/j dl . . d(~/)\
/et( — /) étant les deux intensités de courant; on a, pour le premier conducteur,
et, pour le second, la valeur de la force électromotrice analogue est
Cette seconde force électromotrice est, par rapport à la première, dirigée en sens contraire. Dans le circuit complexe, ces forces électromotrices s'ajoutent et c'est pourquoi la force électromotrice totale due à rinduction et agissant sur le circuit est
En remplaçant Ls et Lm par leurs valeurs données précédemment, on a
et, pour la totalité du circuit, de longueur l,
- + 2 loge - j est précisément la valeur du coefficient de self-induction d'un circuit constitué par deux conducteurs parallèles [Voir formule (45)].
On va appliquer maintenant les résultats obtenus à un système triphasé unique et équilibré. Soient
/i z= Iq sin {(Mt — ç) =: Iq sin a
/a — /o sin ^o« — 9 — -j j — lo sinf a — y)
/a zzz Jq sin Lyt — ç + ^j =n /o sin U -f =^'\
les trois intensités et soient a, 6 et e les distances de centre à centre des trois conducteurs (fig. 287) que Ton admet avoir le même rayon r.
sr
Fir. 281.
On a immédiatement pour le premier conducteur
c^=2 i — L^fo/o cos a
>/o|/-'mi.2 COS^a— yj + ^'"»-3 ^^^ (* + l)| UÏ'
expression dans laquelle Lg est le coefficient de self-induction du conducteur n° 1 et L,„,.2, !/,«,., les coefficients d'induction mutuelle entre les conducteurs n^* 1 et 2 et n°* 1 et 3. Mais, puisque
sin a
oos ( a \z=z — - ces a + -— si
cos^a -h - ) z= - - cos a - — sm a,
on a aussi
— a)[o j Ls COS a — — -^ COS a + Lm^..) -;^ sm a —
Si les trois conducteurs occupent les sommets d'un triangle équilatéral, alors a =: 6 = c, et Ton a
