A3 sin3'-oi + B3 cos3a)f + A.j sin4oj« + B, cos4wi

58. Ce qui précède s'applique au cas général. Mais, pour le cas particulier de grandeurs électriques alternatives (force électromotrice, intensité, différence de potentiel, etc.), la formule

précédente est susceptible d'une notable simplification, parce que, comme on va le démontrer, dans les courbes admettant un axe de symétrie, les harmoniques d'ordre pair sont nuls. En ce qui concerne les grandeurs électriques, l'axe des temps est toujours un axe de symétrie.

Fio. 56.

Soit une courbe périodique quelconque, symétrique par rapport à Taxe des temps {fig. 56). On divise la période en deux parties égales AB et BC et on transporte la partie BG sur AB ;

dans la partie AB, la somme des ordonnées est constamment nulle. On emploie la môme construction pour deux courbes, une de fréquence égale, l'autre de fréquence diflerente.

On voit immédiatement que, pour la courbe de fréquence égale {fig. o?), en effectuant le transport de la partie BG sur AB, les ordonnées s'ajoutent, tandis que.

Fio. 57.

Fio. 58.

pour la courbe de fréquence inégaie [fig. 58), les ordonnées se retranchent réciproquement. On doit en déduire que la courbe donnée (fig, 56) admet seulement des composantes d'ordre impair. C'est là précisément le cas des grandeurs électriques mentionnées , parce

que toutes les demi-périodes sont égales, ce qui fait qu elles peuvent être représentées par la formule simplifiée :

f[t) = A^ sin wf -|- B< cosayt + A3 sin3c)f + B3 cos3iof + A5 sin5cof

+ B5 cosr>«o« -f A7 sinTwf + B7 cosltDt + ...

Pratiquement, toute courbe de force électromotrice, de tension , d'intensité , de Ihix peut être représentée par 6 termes, c'est-à-dire par 3 courbes : 1 courbe fondamentale et 2 courbes harmoniques, Tune du troisième ordre, l'autre du cinquième ordre. La courbe étant donnée graphiquement, pour Texprimer algébriquement il suffit de trouver les 6 coefficients, A^, B^, A3, B.„ A.,, B5. Si l'on désire obtenir une plus grande précision, on peut déterminer un plus grand nombre de coefficients et, par suite, d'harmoniques.

59. Il existe plusieurs méthodes pour déterminer les coefficients Aj, Bj, A3, B3, etc. ; une des plus simples est certainement la suivante.

On divise la demipériode de la courbe en 6parties égales (^y. 59).

Soient 0, e^, eo^ ^3, 64, ^5, 0, les ordonnées correspondantes. (Si Ton voulait 8 coefficients, il faudrait di-

FiG. 59.

viser la demi-période en 8 parties; pour 10, on diviserait en iO et ainsi de suite.)

Les valeurs correspondantes de w^ pour les 6 points obtenus sont

En rappelant que

sin 30« = cos 60* = -» cosBO* =: sta 60« = V

on a, en introduisant les différentes valeurs dans la formule générale, les six équations suivantes :

wf = 0 B^ + B, + B3 = 0 [a]

^t= l lA^-fy B^+A3 + ^A5-^^B5 = «^ [bj

fot=z ^ ^A^+|B,-B3-^A5 + ^B3z=e, [c] «< = l A< — A3 + A5 = 63 [dj

"* = f T^^-|«^ + «3-YA5~|B3 = e, [e]

Ces équations permettent de trouver les valeurs des six coefficients exprimés en fonction des quantités connues e^, e.^, e^y

En additionnant [b] et [f] ainsi que [cj et [e], on a :

A< + 2A3 + A5 = e, + es [g]

V'3 A< — v^ Ag = €2 + 64. [h]

L'équation [dJ peut alors s'écrire

En additionnant [g] et [i], on a

FORME DES COURBES DES GRANDEURS ALTERNATIVES i03

et, en divisant par v3 et en additionnant avec [h], on obtient :

2 V3 A< = ^2 4- ^4 + ~ {^i + 2*3 + Cs) ;

d'où Ton déduit :

[i] A^ =r i I C^ + 263 + 65 + VÎ (^2 + ^4) î'

Des autres équations on tire :

A3 = ^ i «< + 263 + C5 — V 3 («2 + Ci)

Maintenant, en retranchant [(] de [b] et [c] de [e], on obtient : V 3 B< - V 3 B3 = e^ - e.v

Ces deux équations, conjointement avec l'équation [a] , donnent B< = J ea — e, + v^(e< — e-J j

Ainsi, par exemple, pour la courbe de force électromotrice,

FiG. 60.

représentée par un trait plein sur le diagramme {fig. 60), on trouve :

En substituant, on obtient :

La fonction sera, par conséquent, représentée par l'expres-

sion

8 sineof + 6 cas tôt — 6 cos3wt + sinSfot.

Les deux premiers termes qui représentent deux fonctions harmoniques simples d'égale période peuvent être réunis en un seul, parce que {fit/. 61)

Fw- 6i- V8*^ + 6»=10,

et Ton peut donc écrire

8 sin w( + 6 cos wt =1 10 sin (tôt + ç)

d'où

6 3 tangç = 5 = p

Par suite, la fonction est

c = 10 sin ((.»( -h ç) — 6 cos3ri>f + sin 5m^

Les trois courbes, une fondamentale, les deux autres harmoniques, sont tracées en pointillé sur le diagramme i/ig. 60).

60. Si Ton veut exprimer symboliquement la valeur efficace de cette force électromotrice, il faut chercher les composantes

du vecteur, en faisant d'abord u)/ = 0 et puis 0)/ = ^; on divise

ensuite les valeurs obtenues par \/2 ou on les multiplie par 0,707.

On trouve ainsi :

e\ =z 0,707 , iO sin 37« =: 4,242 e';' = 0,707 , 6 cos 0» = 4,242 e] = 0,707 . 1 sin 0« = 0

el z=: 0,707 . 10 cos 37<» = 5,G4 e"l = 0,707 . 6 cos 270° = 0 el — 0,707 . 1 sin 90« = 0,70

et, par conséquent,

(E,) = (4,242 4- j, . 5,64) + (4,242 + ;, „ . 0) -f (0 + jy . 0,70).

(Les indices i, m, v dont sont affectés les symboles des quantités imaginaires indiquent que leurs vecteurs respectifs ont pour période T, -? - j •

61. Analyse graphique d'une grandeur électrique alternative. — La méthode de représentation à Taide de vecteurs, qui donne d'intéressants résultats, se prête aussi, comme Ta indiqué M. Wedmore^, à l'analyse d'une courbe de force électromotrice, de tension, d'intensité ou de flux. C'est pourquoi, si une courbe peut être représentée par trois ou plusieurs sinusoïdes, ces dernières à leur tour peuvent être représentées par leurs vecteurs. Dans l'exemple précédent, on les a aussi individualisées.

Fie. 62. Fie. 63.

Or, pour un vecteur qui tourne avec une fréquence /, si on

!. Journal of the Institution of Elecirical Ent^ineers^ vol. XXV, p. 224.

considère les positions qu'il occupe au t^out du temps 0,

•7- 2 ^ififf' 62), on reconnaît que la somme des trois vecteurs 1,

2 et 3 est nulle. Cela montre que, si on divise une sinusoïde abcd {fig, 03) en trois parties égales et que- Ton transporte les portions hc et cden h'c' et en cV, la somme des ordonnées des trois courbes aô, 6 V et cVest constamment nulle. Mais si le vecteur, au lieu d'avoir une fréquence /", a une fréquence 3/*

r T {fig. 64), alors, aux temps T, - et 2 ~» le vecteur passe de nou-

veau par la même position et la somme des vecteurs est trois

fois plus grande. Il en est de môme pour tout vecteur ayant

une fréquence multiple de 3. Il en résulte qu'en divisant la

période d'une courbe en trois parties égales et en ajoutant les

Fig. 64.

Fio. 63.

ordonnées de ces trois parties, on obtient une nouvelle courbe

qui contient les harmoniques du troisième ordre et des ordres

multiples de trois, mais ayant une amplitude triple. Aucune

harmonique d'un autre ordre ne peut entrer dans cette courbe.

En réalité, étant donné qu'il existerait un harmonique du

5* ordre, son vecteur preiïdrait aux temps 0, r- et 2 ^ les

trois positions respectives indiquées figure 65; comme ces positions sont à 120° l'une de l'autre, leur somme est nulle. Mais il y a lieu d'observer que les harmoniques de Tordre 6, 12, 18, etc., ne peuvent être compris dans la courbe si cette dernière est symétrique par rapport à Taxe des

temps, comme on Ta déjà vu § 58: par conséquent, des harmoniques de fréquence 9, 15, etc., pourront, au contraire, être compris dans cette courbe.

Pourtant, si la courbe qui résulte de Faddition des ordonnées est une sinusoïde parfaite ou pouvant être pratiquement considérée comme telle, alors Tharmonique triple n'en contient pas d'autres. Si la courbe, au contraire, diffère beaucoup de la sinusoïde, il faut alors diviser la courbe fondamentale en 9 parties, les transporter toutes sur un se^^ent unique et faire la somme des ordonnées. La courbe résultante est un harmonique du 9" ordre, mais avec des amplitudes qui sont, par suite de la méthode employée, 9 fois plus grandes.

La courbe de fréquence 9 une fois tracée, en retranchant ses ordonnées de celles de la courbe de fréquence 3, précédemment trouvée, on obtient ainsi une simplification de cette dernière, car elle se résout de la sorte en deux sinusoïdes, une de fréquence triple et Tautre de fréquence 9. Ordinairement rharmonique du 9* ordre est négligeable et, en ce qui concerne les harmoniques du 3* ordre et leurs multiples, la première méthode de division en 3 parties est plus que suffisante.

Mais la courbe donnée peut contenir aussi, comme on Ta

dit ci-dessus, des harmoniques de Tordre 5, 7, 11, etc. Pour les

déterminer, on suit la môme méthode, mais en ne perdant

pas de vue ce qui se passe pour un vecteur de fréquence 5/.

T T T Si on prend des intervalles de temps de-> 2 — ' 3 p» •••> ce.

vecteur repasse par les mêmes positions aux temps considérés, et il en est de môme pour tout vecteur de fréquence multiple de 5. La courbe donnée est alors divisée en 5 parties égales que Ton transporte sur un même segment et on fait la somme des ordonnées ; si la somme obtenue est constamment nulle, on doit en conclure que la courbe donnée ne contient pas d'harmoniques du 5" ordre ni de ses multiples. Si, au contraire, le résultat de Taddilion est une courbe, celte courbe comprend des harmoniques de Tordre 5, 10, 15, etc., avec une amplitude cinq fois plus grande et, dans ce cas, ceux de

l'ordre 10 doivent ôtre supprimés; la décomposition de la courbe s'effectue alors comme on l'a indiqué précédemment.

Le même procédé est appliqué pour les harmoniques du ?• ordre et leurs multiples.

Eniin, une fois que l'on a obtenu tous les harmoniques composants, on additionne, instant par instant, toutes leurs ordonnées et l'on soustrait le segment obtenu des ordonnées de la courbe donnée. Les points obtenus sont ceux de la sinusoïde fondamentale de fréquence f.

On a déjà remarqué que, dans la pratique, les courbes de force électromotrice et d'intensité contiennent rarement plus d'un harmonique du 3" ordre et plus d'un harmonique du 5° ordre. La méthode est, par suite, très simplifiée, surtout si, pour transporter les diverses portions de courbe sur un segment unique, on emploie du papier à calquer, ou mieux du papier calque divisé au millimètre.

FiG. 66.

A titre d'exemple, voici un graphique [fig, 66) à échelle réduite, d'une courbe de force électromotrice dont on a obtenu les diverses composantes par la méthode graphique qui vient d'être indiquée et dont les résultats ont été ensuite contrôlés par la méthode algébrique.

La courbe représente la fonction

^ (r) = iOO sin cof + 20 sin n^f — j\ — lo sin U^^t + j]-

62. E£Fet8 dus aux harmoniques. — Soit à analyser une courbe donnée de force électromotrice en déterminant la sinusoïde fondamentale ot>les harmoniques composants et soit à déterminer la forme de la courbe de Tintensité dans le circuit sur lequel agit celte force électromotrice.

D'après le principe de la méthode de superposition des efiFets, on peut dire que la courbe résiîltante est, à chaque instant, la somme des intensités des courants produits par les diverses forces électromotrices agissantes de fréquence i, 3, 5, 7, etc.

Si le circuit ne comporte seulement qu'une résistance ohmique, alors, sauf la différence d'échelle, la courbe de la force électromotrice peut représenter celle de Tintensité et, dans ce cas, la courbe de Tintensité a la même allure que celle de la force électromotrice agissante. Les valeurs successives de l'intensité s'obtiennent en divisant les ordonnées de la force électromotrice agissante par la résistance du circuit.

Mais il n'en est plus de môme si le circuit présente des phénomènes d'induction ou bien s'il comporte une capacité.

Pour le moment, on va considérer seulement le cas d'un circuit présentant de la self-induction. On sait que la réactance n'est pas indépendante de la fréquence comme l'est la résistance^ Plus la fréquence est grande, plus sensibles sont les effets de la self-induction, effets qui se traduisent par une réduction de l'intensité du courant et par un décalage de phase de l'intensité par rapport à la force électromotrice.

L'exemple numérique donné précédemment (v$ 03) montre comment il faut proci'der pour obtenir la courbe de l'intensité. Toutefois, il y a lieu de remarquer que, si les harmoniques ont pour effet de rendre pointue la courbe de force électro motrice, celle de l'intensité, au contraire, prend une forme aplatie. En examinant le cas limite, c'est-à-dire celui d'un circuit dans lequel la résistance est négligeable par

!. Cette propriété de la résistance n'est pas rijçourcusement exacte, car, comme CD le verra dans Tétude des lignes de transmission, les conducteurs de grande section ne sont pas exempts d'inductance.

rapport à riaductance [Tintensité est alors décalée d'environ 90** par rapport à la force électromotrice [fig. 67)], on voit que

rlz=:E - W devient alors

E = Li,

FiG. 67.

c'est-à-dire que les valeurs de T ( T = y variation de i pendant Funité de temps) sont proportionnelles à E.

Il en résulte que l'intensité augmente d'autant plus brusquement que la forme delà courbe de force électromotrice est plus pointue; mais la courbe de l'intensité s'aplatit lorsque la force éleclromotrice tend à être annulée. Réciproquement, si la forme de la courbe de force électromotrice est aplatie, par suite de la présence de certains harmoniques déterminés, et si la réactance du circuit est grande par rapport à la résistance, la forme de la courbe do Tintensité devient pointue.

Lorsque le circuit présente une perméabilité constante, ce qui se produit pour l'intensité se produit également pour le flux. Or, le fer n'ayant pas une perméabilité constante, il en

FORME DES COURBES DES GRANDEURS ALTERNATIVES lU

résulte qu'en général la courbe du flux diffère de celle de l'intensité et a ordinairement une forme plus aplatie.

A égalité de valeur efficace, une courbe d'intensité affectant une forme aplatie est préférable, en ce qui concerne les phénomènes dJhystérésis, parce que les pertes dues à ces phénomènes dépendent de la valeur maximum du flux. A cet égard, les courbes de force électromotrice ayant une forme allongée sont préférables à celles qui ont une allure parfaitement sinusoïdale.

63. Exemple numérique. — Trouver l'expression de l'intensité du courant dans un circuit pour lequel r = 0,001 ohm, L = 0,5 henry et / = 50, lorsque la force électromotrice agissante est de la forme

50sin(i>t 4- 20 sin

in(3,..t + |).

En développant, comme on l'a précédemment indiqué, on obtient

luQ =1 0,042 Ça ~ 890 52'

L'équation de l'intensité est donc

i = 0,32 sin (tôt — 89'» 38') + 0,042 sin Utot + | — 89T>2'y

64. Courbes sinusoïdales équivalentes. — Signification de l'expression facteur de puissance. — Dans le paragraphe 62, on a admis le principe de la superposition des effets ; on peut maintenant compléter cette étude en disant que chaque courant produit dans le circuit un effet particulier, comme si les autres n'existaient pas et que l'effet résultant est la somme des effets particuliers. En se fondant sur cette assertion, si on a un courant d'intensité

i = f,^ sin (wf — ç,) + Imo sin (3a>i — çy»,

112 LA TECHNIQUE DES œURANTS ALTERNATIFS

la valeur efficace de i sei*a, d'après ce qui a été déjà dit,

expression qu*il est facile de démontrer. En effet, on a

4« = /içSin»(wf~(p,)-f r„?<,sin2(3^je— 03) + 2iiormoSin(o>f--ç^)sin(3wf--ç3)

et, par conséquent,

valeur moyenne i^ = /J — - /» + - Q^ +

+ ^lo'iuo ^'^^^^^ moyenne | 2 sin (fot — 9i)sln (3fof — çs) j. En général, on a

2 sin X sin f; =z ces (a — p) — cos (a + js),

différence de deux fonctions sinusoïdales. Puisque leur valeur moyenne particulière par période est nulle, la valeur moyenne de leur différence reste également nulle. On a donc, par conséquent,

ce qu'il fallait démontrer, résultat que Ton peut étendre h, un nombre quelconque d'harmoniques composants. Eu effectuant l'extraction do la racine, on a

^^^:;î^''o + ^uv

On arrive ainsi à ce résultat important que ia valeur efficace (ftme fonctionpériodiqtie complexe est égale à la racine carrée de la somme des carrés des amplitudes de ses sinusoïdes composantes divisée par sj'Z. Celle valeur dépend uniquement des amplitudes et est tout à fait indépendante de leurs phases respectives.

Pour le cas de la puissance, on arrive à cet autre résultat important: La puissance (Tun courant alternatif quelconque est égale à la somme des puissances particulières de ses harmoniques composants.

Alors, à l'aide de trois instruments : voltmètre, ampèremètre et wattmètre, on relève les valeurs efficaces de la tension agissant dans le circuit, de l'intensité du courant qui le traverse et de la puissance moyenne développée ; quoique Ton sache que les courbes de la tension et de l'intensité ne sont pas sinusoïdales, on peut admettre que le phénomène est dû à une tension et à une intensité de courant sinusoïdales décalées entre elles d'un angle dont le cosinus est le rapport entre les watts utiles et les watts apparents. Ces deux courbes ont reçu le nom de courbes équivalentes^ précisément parce que leurs valeurs efficaces correspondent à celle de la fonction complexe dont, en réalité, dépend le phénomène. C'est pour cela que le facteur de puissance /î, exprimé comme le cosinus d'un angle de retard, n'a aucune signification lorsque les courbes représentatives de la tension et de l'intensité sont plus ou moins déformées, telles qu'elles se présentent en réalité dans les circuits parcourus par des courants alternatifs; mais ce facteur de puissance peut prendre une signification, lorsque Ton considère les courbes équivalentes qui, ayant les mêmes valeurs efficaces que les courbes réelles, produisent la même puissance vraie.

Donc, en général, à une courbe déformée représentant une grandeur électrique alternative, on peut substituer une courbe équivalente ayant même valeur efficace, mais de phase convenable. C'est à ce point de vue que l'on peut, d ores et déjà, considérer les diverses grandeurs électriques (force électromotrice, tension, intensité, flux) comme ayant une allure simplement sinusoïdale. Cela facilite énormément la solution des divers problèmes, en ce sens que, si le phénomène a réellement une allure simplement harmonique, il n'est pas nécessaire d'effectuer de substitution; si, au contraire, l'allure est complexe, il faut substituer à la courbe une courbe sinusoïdale

équivalente, ayant une valeur efficace identique, mais convenablement décalée de phase. Il ne faut pas oublier que cette simplification ne peut être employée lorsque les courbes sont fortement déformées, principalement si le circuit présente de la capacité et de la self-induction, c'est-à-dire s'il alimente des moteurs synchrones.