II
Fio. 1.
fait avec une ligne prise comme origine et avec un segment proportionnel à sa dimension.
« Un segment quelconque OA [fig. 1) est la représentation
géométrique d'un vecteur ayant pour direction OA et pour valeur Q ^^.^----^ numérique la longueur de OA prise
à une échelle convenable. Dans la représentation d'un vecteur, le choix du point d'origine 0, duquel part le segment, est entièrement arbitraire.
(( Deux vecteurs sont égaux, lorsqu'ils ont la même grandeur et la même direction.
« Comme exemples de quantités vectorielles, on peut citer la force appliquée à un point matériel, l'accélération que cette force lui imprime, la vitesse du mouvement de ce point et le déplacement qu'il subit.
« Lorsqu'on considère le déplacement d'un point matériel dans deux directions, déplacement que l'on peut représenter par deux vecteurs, il en résulte la notion de la somme de deux quantités vectorielles.
« Si on fait subir à un point matériel un déplacement OA {fig. 2) et ensuite un autre déplacement AB, on peut dire que Ton ajoute ainsi les deux déplacements OA et AB. L'elîet obtenu est d'amener le point 0 en B ; mais on peut aussi l'obtenir directement en déplaçant ce point suivant UB. Il est donc logique d'admettre que OBest le vecteur résultant des deux vecteurs OA et AB.
« Le vecteur OB peut également être considéré comme la somme des deux vecteurs OC et GB qui, au point de vue vectoriel, sont respectivement égaux à AB et OA. Donc la somme de deux vecteurs est indépendante de Tordre dans lequel ils sont considérés.
. « Comme on le voit, la somme des vecteurs est une opération identique à la composition des forces. OB peut être appelé indifféremment somme des deux vecteurs OA et AB ou bien vecteur résultant^ OA et AB étant les vecteurs composants,
c( Par suite, on peut énoncer les propositions suivantes :
« Le vecteur total ou résultant de deux vecteurs donnés est le vecteur représenté par la diagonale du parallélogramme ou par la ligne qui ferme le triangle dont les côtés sont respectivement égaux et parallèles aux vecteurs donnés.
« Le vecteur total ou résultant de plusieurs vecteurs est le vecteur représenté par le segment qui ferme le polygone dont les côtés sont parallèles et égaux aux vecteurs donnés pris dans un ordre quelconque.
« La somme des vecteurs est nulle lorsque le polygone des vecteurs composants est fermé sur lui-môme.
« Comme cas particulier, la somme des deux vecteurs OA, AB est nulle lorsque le point B vient en 0 ; par suite :
OA + A0 = 0, d'où OA=z — \0.
« Deux vecteurs égaux, mais de direction opposée, doivent être considérés comme étant de signe contraire et leur somme est nulle.
« En s'appuyant sur les considérations qui précèdent, on peut appeler vecteur différence la différence de deux autres vecteurs. Ainsi, d'après les propositions et définitions déjà énoncées, on a {fig. 3)
AB rr: AO + OB = OB + AO = OB — OA.
« Le vecteur AB peut donc être appelé vecteur différence des deux vecteurs OB et OA.
« Enfin on peut ajouter que la projection sur une ligne d'un vecteur total est égale à la somme des projections des vecteurs composants. »
FiG. 3.
2. Mouvement circulaire uniforme et mouvement harmonique simple» — Rappelant ce qui a été dit dans le tome I, § 13, on peut maintenant compléter les notions exposées en disant que, v étant la vitesse linéaire d'un point P se déplaçant circulairement d'un mouvement uniforme, w la vitesse angulaire et r le rayon OP, on a
et
Comme exemple de mouvement harmonique simple, on a défini celui d'un point P', projection de P, c'est-à-dire, d'une manière générale, la projection sur un diamètre du mouvement uniforme d'un point sur un cercle dit cercle attxUiaire.
Les positions des points P et P' ififf' *) peuvent être représentées à l'aide de vecteurs : la première par le vecteur OP de longueur constante, dont une extrémité est fixe et l'autre mobile et animée d'un mouvement uniforme ; la seconde à l'aide du vecteur OP', projection du vecteur OP sur une ligne (diamètre). On peut appeler le premier, .
comme Ta indiqué le professeur Ferraris, vecteur tournant et le second, vecteur alternatif. A chaque vecteur alternatif correspond un vecteur tournant qui peut servir à représenter le premier.
Un vecteur tournant a une longueur constante, mais une direction variable; un vecteur alternatif a une longueur et un sens variables, positifs ou négatifs ; mais sa direction est toujours celle d'une môme ligne droite.
Soient maintenant deux vecteurs alternatifs ayant mi^me période le long d'une môme droite. A ces deux vecteurs alternatifs correspondent deux vecteurs tournants; à chaque instant les vecteurs tournants font un angle de valeur déterminée avec la ligne des vecteurs alternatifs correspondants.
FiG. 4.
Si ces angles sont égaux, on dit que les vecteurs alternatifs sont en concordance de phase. Si, au contraire, les angles n^ont pas la même valeur, leur différence constante est appelée différence de phase des vecteurs alternatifs, c'est-à-dire que l'un d'eux est en retard ou en avance par rapport à Tautre.
3. Variation instantanée d'un vecteur alternatif et manière de la représenter. — De ce qui précède, il est évident que l'expression algébrique d'un vecteur alternatif est
Rsina ou Rcosa,
a étant un angle dont la valeur varie d'une manière constante avec le temps. Si u) est la vitesse angulaire,
l'origine des temps étant choisie de manière que pour elle le vecteur alternatif soit zéro. Si l'origine des temps est prise arbitrairement, on a d'une manière générale
a = wf + ? »
cette quantité ç est appelée pha^e du vecteur. Deux vecteurs alternatifs sont dits en concordance de phase si, ayant la même origine des temps, ils ont des j^l ases égales. On appelle période le temps T lel que
wT — 2n, (1)
d'où
Si / est le nombre de périodes par seconde, c'est-à-dire la fréquence,
a> = 2nr. (2)
La résultante de deux vecteurs alternatifs en concordance de phase sur la môme ligne est aussi un vecteur alternatif repré-
sentant la somme algébrique des vecteurs tournants correspondants.
Si les deux vecteurs alternatifs ne sont pas en concordance de phase, leur résultante est encore un vecteur alternatif auquel correspond un vecteur tournant qui est la somme géométrique des vecteurs tournants composants. La phase du vecteur alternatif résultant est intermédiaire entre celles des vecteurs composants.
Lorsqu'un v-ecteur alternatif varie d'une quantité àv pendant un temps très court A/, Texpression
donne la valeur de la variation du vecteur pendant Tunité de temps.
Si un vecteur a pour expression
t; = R sin a r= R siii wf , la variation instantanée est
et cette variation instantanée peut être représentée par un vecteur alternatif d'amplitude (j)R et dont le vecteur tournant
1 . Pour les lecteurs qui ne sont pas familiarisés avec le calcul différentiel, on peut faire remarquer que
Av = R sin (a -f Aa) — R sin a.
En développant, on a
Ad = R (sin a cos Aa + sin Aa cos a — sin a) ;
Aa étant très petit, cos Aa peut Hre considéré comme étant égal à 1 et Aa être substitué & sin Aa.
Par suite, on a
Ai; = RAa cos a;
mais Aa = wA^ et, en substituant, il vient
Ai; = Ro)A/ cos a,
c'est-à-dire :
-r- ::= toiR COS a = tt)R COS u>/.
correspondant précède de ^ = 90"* le vecteur touirtant principal en ce qui concerne la phase.
Cela signifie aussi que les vecteurs
V et -^ ont entre eux une différence
de phase de ^- En effet, on peut écrire :
coR cos G.f = ojU sin ( a>< + -- ),
\ 2/ FiG. 5.
V représentant la vitesse d'un mouvement harmonique et y son accélération. La figure 5 se rapporte à ce cas.
4. Lignes dérivées. — II arrive souvent que Ion a à tracer des courbes dont les ordonnées représentent les variatioas instantanées successives d'une fonction déterminée donnée
graphiquement. Ces courbes sont appelées courbes ou lignes dérivées^ parce que c'est avec une dérivée que Ton trouve la variation instantanée d'une fonction donnée anaiytiquement.
Ainsi , par exemple , ^ dans le cas de Tinduction
si on construit une courbe on portant en ordonnées les valeurs de e correspondant à des temps successifs très courts (/î^. 6), on obtient la ligne dérivée du llux<I>. Lorsque A/ est très petit, ac se confond avec la tangente en
Fio. 6.
a et, par suite, à la limite, — égale la tangente trigonomé-
trique de Tangle formé par la tangente géométrique en a avec Taxe des temps; ce résultat est bien connu.
En prenant un certain nombre de points sur la courbe *, en traçant les tangentes, calculant leurs valeurs et les portant aux temps correspondants en grandeur et en signe, on obtient les points de la ligne dérivée.
5. Manière de représenter les grandeurs alternatives sinusoïdales. — On peut avoir recours èi deux méthodes pour représenter les grandeurs alternatives sinusoïdales : la méthode graphique et la méthode symbolique.
Méthode graphique. — Une grandeur qui varie avec le temps comme un sinus peut être représentée par une sinusoïde ou encore par un vecteur alternatif représentant, à son tour, le vecteur tournant qui lui correspond. Il ne faut pas perdre de vue que les valeurs instantanées d'un vecteur alternatif sont données par la projection du vecteur tournant sur une ligne perpendiculaire à la première. Le mouvement est toujours considéré comme se produisant dans le sens dans lequel on mesure les angles, c^est-à-dire dans le sens opposé au mouvement des aiguilles d'une montre.
On peut avoir une seconde grandeur sinusoïdale de même période, mais dont les valeurs maxima et minima sont décalées en retard d'un temps t par rapport à la première. Cette seconde grandeur se représente par un second vecteur décalé de langle ^ = 0)7 par rapport au premier [fig. 7). Quelquefois la quantité w, qui représente la vitesse angulaire des vecteurs tournants, est appelée Fio. 7. pulsation. Il convient de rappeler
que OP est décalé en avance par rapport à OQ, tandis que OQ est décalé en retard par rapport
à OP. Dans le mouvement de rotation des deux vecteurs circulaires, on les suppose toujours décalés entre eux de Tangle ç.
La somme de plusieurs vecteurs alternatifs ayant même pulsation est représentée par la somme géométrique des vecteurs tournants correspondants. En réalité, la projection du vecteur tournant résultant est la somme des projections des divers vecteurs tournants composants.
Les valeurs successives d'un vecteur alternatif peuvent également être représentées par la corde d'une circonférence ayant pour diamètre Tamplitude du vecteur [fig. 8). 11 faut démontrer que OP' = 0P{.
OP'=:OPsina.
Fig. 8.
Dans le triangle OP,Q, on a
OP; = OQcos
OQsiiia.
Comme OP = OQ, il en résulte que
