OP'^OP

Par conséquent, les segments du vecteur tournant interceptés par les deux cercles intérieurs représentent les valeurs instantanées d'une grandeur sinusoïdale d'amplitude OQ.

Cette manière de représenter les, grandeurs alternatives sinusoïdales est d'un grand secours dans l'étude de nombreux cas qui se présentent dans la pratique.

La méthode graphique, consistant à représenter à Taide de vecteurs tournants des grandeurs dont les variations suivent une loi harmonique, permet de résoudre très rapidement un grand nombre de problèmes, tandis que la méthode analytique,

OÙ les grandeurs sont exprimées par des fonctions trigonométriques, est toujours assez longue et laborieuse. La raison en est que les fonctions analytiques donnent les valeurs cherchées en fonction du temps, c'est-à-dire donnent leurs valeurs suc" cessives instantanées, tandis que les diagrammes polaires fournissent les valeurs maxima et les relations de phase, qui sont les éléments les plus intéressants au point de vue de la pratique, tout en permettant de déterminer aussi les valeurs successives instantanées des diverses grandeurs considérées lorsqu'on fait tourner le diagramme polaire et que Ton projette les vecteurs sur un axe fixe.

6. Méthode symbolique. — Il arrive parfois que la méthode graphique appliquée à la détermination de certaines valeurs donne des résultats incertains, par exemple lorsque les vecteurs présentent une très petite différence de phase ou encore lorsqu'un des vecteurs a une très petite amplitude et l'autre une très grande. Dans ce cas, la méthode symbolique peut être employée avec avantage, car elle possède l'exactitude du calcul analytique et la clarté de la représentation graphique.

Une fonction sinusoïdale exprimée trigonométriquement par

i =: 1q COB dit

est représentée en grandeur et en phase par un vecteur tournant 01 (fig. 9), déterminé analytiquementpar les coordonnées

rectangulaires du point I :

a = rocosa et 6 = Iosinflt

An^,^^"^ ' si a = 0)/.

^^^ \ Lorsque les fonctions sinu-

^^'""^ \* ! soïdales sont semblables à tout

^ ^ instant, on peut les addition-

FiG. 9. ner ou les soustraire, en addi-

tionnant ou en retranchant algébriquement leurs composantes rectangulaires et composant ensuite les deux nouvelles coordonnées qui, dans le cas des

deux fonctions, seraient

^0 = ^4 + ^» àQ=zb^ + 62.

Quant à Tamplitude et à la phase du vecteur /q {fig. 9), on a :

Jo=: va2 + 62, tanga=:-

Donc la grandeur alternative peut être exprimée sous la forme abrégée

dans laquelle le symbole j accompagne la composante verticale pour permettre de la distinguer de la composante horizontale.

Cela constitue une méthode abrégée d'écriture. Le vecteur alternatif d'amplitude 1q est représenté par un vecteur tournant dont les projections orthogonales, au moment considéré, sont aei b qui, additionnées géométriquement (loi du parallélogramme), donnent pour résultante Iq et dont le rapport

des valeurs absolues - donne la tangente trigonométrique de

l'angle mesurant la phase.

Il est important de retenir que les quantités a et b sont vectorielles et non scalaires et que leur somme est un nombre complexe. Le symbole j ne peut pas être un coefficient numérique, mais seulement une racine de Téquation

comme on le verra exposé plus complètement dans la note qui se trouve à la fin de ce chapitre.

On peut démontrer qu'il est rationnel d'appliquer le symbole y =v^ — 1 à un segment vertical, si Ton porte horizontalement les segments positifs et négatifs correspondant aux quantités réelles.

Si PQ {/ig. 10) est une perpendiculaire abaissée sur le dia-

mètre AB de la circonférence BPA, on sait que

c'est-à-dire

BQQP QP " QA*

BQ . QA = (QP)2.

Celle propriété s'applique également au rayon vertical 7; par conséquent

Or, si Ton considère comme positives toutes les quantités portées sur OA, et comme négatives toutes celles qui sont portées sur OB, on a pour le rayon

d'où

Puisque toutes les quantités positives peuvent être affectées du coefficient -f- 1 et les quantités négatives, c'est-à-dire opposées, du coefficient — 1, les quantités tracées le long de la verticale pourront être affectées du symbole yj — i = j qui n'a aucune signification, du moins dans le cas de l'idée que l'on se fait ordinairement des quantités positives et négatives, mais qui comporte néanmoins une conception générale d'une très grande portée (voir la note à la fin du chapitre).

Une expression contenant le symbole \l — 1 est appelée çi/û/ilùé imaginaire^ mais il serait plus rationnel de la désigner sous le nom de quantité vectorielle^ puisqu'elle sert à repré-

senter un vecteur. Pour distinguer les expressions de ce genre des grandeurs réelles (positives ou négatives), on les place entre parenthèses.

En résumé, pour une grandeur alternative, on a :

valeur symbolique (/q) = a + jb (en grandeur et en phase); (3) amplitude =1 valeur réelle /© ^ v/a^ + b^ (en grandeur seulement); (4)

phase CL = arc lang -• (5)

Une grandeur alternative a + Jb ayant même amplitude qu'une autre, mais dont la phase diffère de 180°, est représentée symboliquement par un vecteur de direction opposée, — a — jb, ce qui veut dire qu'en multipliant un vecteur alternatif exprimé symboliquement par — 1, on donne à ce vecteur une avance d'une demi-période.

D'autre part,

j {a + jb) = Ja — 6 = — b+ja,

qui représente un vecteur d'égale amplitude \a' -+- b', mais décalé de 90'' en avance par rapport au premier. Donc, en multipliant un vecteur alternatif par j, on lui donne une avance de 1/4 de période, et en le multipliant par — y, on le retarde de la même quantité.

On peut écrire

eJ^ = cosa + jsina.

Par suite, pour

(h) = « +j6=: Jo(cosa +;sina),

on a immédiatement

(/o) = VV», (6)

qui est une autre expression symbolique d'une grandeur sinusoïdale d'amplitude Iq et de phase a.

Quant à la rotation que les lignes représentant les grandeurs alternatives sinusoïdales sont supposées avoir, on peut les exprimer h l'aide d'un facteur tournant (if) consistant en un segment égal à l'unité et dont la direction est donnée

à chaque instant par Tangle m/; puisque Iq est un segment fixe, le produit (/,)) (m) est représenté par un segment de même grandeur tournant h la vitesse angulaire o) et qui, pour un temps / = 0, occupe la position de {I^), Par suite, on a

(m) = cosojf + y si a tuf.

Ce facteur (ii) peut être sous-entendu dans les formules, comme on sous-entend la rotation du vecteur (/q)**

Sans s'étendre plus longuement sur les opérations relatives aux nombres complexes, on peut dire qu'étant données des grandeurs alternatives sur lesquelles il faut effectuer les opérations d*addition, de soustraction, de multiplication, de division, etc., ces opérations peuvent être effectuées graphiquement et trigonométriquement, c'est-à-dire en exprimant symboliquement chacune de ces grandeurs et en opérant alors, suivant les règles ordinaires, sur ces nombres particuliers ; il faut remarquer que le résultat obtenu est encore un nombre complexe duquel, en séparant la partie réelle A de la partie imaginaire y'B, on déduit Tamplitude du nouveau vecteur alternatif de y/X.y + B.,, ainsi que la phase, à Taide du rap-

port ^•

L'emploi de la représentation symbolique des fonctions alternatives est souvent très utile dans l'étude des courants alternatifs, parce que les calculs sont bien simplifiés, d'autant plus que la solution d'équations différentielles du premier degré, comme il s'en rencontre souvent dans cette étude, est réduite à celle d'équations algébriques.

Afin de donner plus de clarté ^ ce qui va être exposé dans les divers chapitres qui suivent, il faut se rappeler, comme on le démontre dans la note qui termine celui-ci, que le produit de deux nombres complexes est encore un nombre complexe. Cela veut dire qu'étant donnée l'expression symbolique d'une