CHAPITRE XIII

DES FAMILLES DE BALLONS

Définition. — Propriétés des ballons d'une même famille. — Famille sphérique. — Détermination de la courbe méridienne. — Tangente au méridien. — Rayon de courbure. — Tensions de rétofîe. — Epure du méridien. — Surface, longueur et volume d'un tronc de cône sphérique.

Définition. — Nous avons vu que, pour constituer une surface de révolution quelconque devant servir d’enveloppe à un ballon, on la divise en un certain nombre de fuseaux identiques dont les coutures correspondent à des plans méridiens équidistants.

Le point de départ de cette conception était la courbe méridienne, que l’on s’était donnée à priori; mais on conçoit bien qu’on peut opérer d’autre sorte, en se donnant tout d’abord des fuseaux de forme déterminée, en nombre déterminé, et en cherchant au contraire quelle serait la courbe méridienne résultante.

Ceci nous amène à introduire ici une notion nouvelle : celle des familles de ballons. Cette notion est due au colonel Renard ; elle a été étudiée d’une façon complète, au point de vue mathématique, par le capitaine VoyerL

Pour définir ce que l’on doit entendre par famille

1 Capitaine Voyer, 6.

DES FAMILLES DE BALLONS

de ballons, supposons une surface de révolution découpée par des plans méridiens en un certain ‘nombre n de fuseaux identiques. Prenons un nombre n! quelconque de ces fuseaux ; cousons ces fuseaux ensemble ; nous aurons formé une nouvelle surface de révolution qui n’aura de commun avec la première que la longueur de son arc méridien. Toutes les surfaces que l’on peut obtenir en faisant varier le nombre des fuseaux constituent une même famille de surfaces, jouissant de propriétés caractéristiques.

En d’autres termes, on dit que :

Plusieurs ballons sont de la même famille lorsqu'ils sont formés par t assemblage de nombres différents de fuseaux identiques.

Propriétés. — Les propriétés communes, fort intéressantes à étudier et évidentes pour la plupart, sont les suivantes :

i'’ La longueur du méridien est la même pour tous; c’est celle du fuseau commun.

2® Les parallèles qui se correspondent, cest-à-dire qui déterminent sur le méridien des longueurs d’arc égales, ont eux-mêmes des longueurs et des rayons proportionnels au nombre de fuseaux.

3” En fendant une des surfaces considérées suivant un méridien, on peut appliquer son enveloppe sur une surface quelconque de la même famille.

Autrement dit, toutes les surfaces de la même famille sont développables les unes sur les autres, puisque les fuseaux se recouvrent mutuellement.

4*" Lorsque deux surfaces sont ainsi superposées , les géodésiques de Vune et de 1* autre se confondent, ces

lignes, par définition même, constituant les chemins les plus courts sur chacune d'elles et se confondant.

Famille sphérique. — Ces considérations sont générales et s'appliquent également à toutes les surfaces de révolution. Mais elles sont particulièrement fécondes lorsqu’on envisage la famille sphérique, c’està-dire les ballons dérivés de la sphère. Le fuseau sphérique est en effet connu, facile à construire, et la conception nouvelle aura tout son intérêt si elle permet de transporter à la construction des ballons allongés et des chemises les procédés commodes qui sont appliqués à la détermination des ballons sphériques.

C’est à l’examen des ballons de la famille sphérique aux cônes sphériques, comme les appelle le capitaine Voyer, que nous nous attacherons uniquement.

Considérons donc une sphère -type composée de n fuseaux, et prenons un nombre n' de ces fuseaux pour constituer un ballon de même famille. Si n est plus petit que n^ nous obtiendrons un ballon allongé, et l’allongement sera d’autant plus grand que le rapport sera plus grand, en sorte qu’on peut considérer ce rapport ~ comme V indice de Fai-

(ongemeni.

Détermination de la courbe méridienne. —

La courbe méridienne n’est plus une des données du problème. Il faut la déterminer en fonction de l’indice de l’allongement qui est dès lors notre unique point de départ, ou en fonction du rayon R de la sphère -type

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et du rayon a du parallèle principal du ballon dérivé, lesquels sont évidemment dans' le même rapport :

A — !L— JL

Soit donc un point M de la sphère-type. Que devient ce point sur le méridien dérivé ?

Tout ce que nous savons, c’est que les deux portions d’arc AM et A M', à partir du" parallèle principal, sont égales :