AM = A'M

Nous désignerons cet arc par S , et l’on voit qu’on a toujours :

a étant l’angle au centre de l’arc AM.

On a en outre une seconde relation, en remarquant que le rayon r du parallèle de M dans la sphère-type

est : r = R cos ck. (i)

Enfin, x étant le rayon du parallèle correspondant

dérivé, on a également : — = ,

et par suite : x = a cos a.

S = Ra,

En poursuivant le calcul, pour déterminer l’ordonnée Z de la méridienne dérivée , on aboutit à une intégrale elliptique. Mais on peut tracer assez simplement l’épure de cette méridienne par des procédés géométriques, en s’appuyant sur les deux relations ci-dessus :

S = Ra et x = acosa.

Soient, en effet, deux cercles concentriques de rayons R et a.

Divisons l’arc d’un quadrant AB en un certain nombre de parties égales.

Les rayons o6, oc, etc., rencontrent la plus petite circonférence en des points tels que leurs distances au rayon OB (a = 90^") sont précisément les abscisses X de la méridienne cherchée,

car

Fig. 50.

Si donc nous considérons OB prolongé comme l’axe de cette méridienne

projetée sur le plan de figure, les divers points de cette courbe”qui correspondent à 6cJ. .. seront sur des

DES FAMILLES DE BALLONS

parallèles à l’axe, menées par apy... Il suffira, du reste, de prendre au compas :

= ... etc.

Toutefois, il est à craindre qu’en opérant ainsi de proche en proche, les erreurs s’accumulent, et qu’en définitive la longueur de Taxe soit mal déterminée. C’est pour obvier à cet inconvénient que le capitaine Voyer a proposé la méthode suivante.

Nous avons obtenu pour l’abscisse x d’uil point in^ dérivé la valeur :

x = acos a.

Désignons par z l’ordonnée (fig. 49), et considérons un point infiniment voisin de m^ ; l’élément de l’arc correspondant sera ds, et l’on aura :

ds- = dx- -\- (Iz^ ou dz^“ = ds^ — c/x^.

Différentiant l’équation :

x = a cos a ,

ce qui donne : dx = — a sin ac/a ,

et remarquant que :

s ^ Ra ■,

ds = Rc?a ,

on obtient :

cd sin- a) dyr,

dz = dy\J

— sin^ a ,

et enfin :

f*CL

Z =J dy. ÿ

— sin-^ a =

puisque

La Technique du Ballon. 2* édit.

LA TECHxNIQüE DU BALLON

Or cette intégrale est celle que Legendre a étudiée sous le nom de fonction elliptique de deuxième espèce. Géométriquement elle représente un arc d’ellipse.

Construisons, en effet, sur OB = R comme demigrand axe (fig. 5i) l’ellipse dont l’excentricité est K, et dont le petit axe est par conséquent :

soit D le point de rencontre de la trace d’un parallèle Mm avec cette ellipse. Il est facile de voir qu’on a :

arc CD =J^ dy, IV C0S“ y-{-b'^ siïV y

= I dy\j — a- sin- a ,

arc CD = Z. [V. formule (3).]

Ayant ainsi les coordonnées a; et z du point M[ en fonction de l’angle au centre a, il est facile d’obtenir l’équation de la méridienne.

Nous avons en effet :

a- sin- y = o? — cd cos- =

Toutefois cette équation ne peut être intégrée; mais on pourra tourner la difficulté en employant, dans les

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calculs, les expressions de r et S en fonction de la variable a, z étant donné par les tables :

x — a cos X ,

:= 1 dx W — a} sin‘^ oc ,

S = Ra;

dx = — a sin xdx ,

dz ==r c/a \/ sin'^ a ,

f/S = Rc/a.

Tangente au méridien. — Menons la tangente MjSi au méridien dérivé (fig. 5i), et soit p. l’angle qu’elle fait avec l’axe de révolution OiBj. On a, dans le triangle infiniment petit M^pcj :

M.r/ — dx a sin MTp ~ ~~di~ ~ Rdo: ’

d’où sin g. = K sin a.

De plus, le triangle donne :

^ sm iv sm a sm a

On en tirerait également :

sin [J, = K sin a.

Or^ si nous menons la tangente MS au cercle primitif qui sert de méridien à la sphère -type, nous avons :