MS = -J
sm a
MiSi = MS.
Donc
Si nous considérons dès lors les cônes tangents au cône sphérique et à la sphère- type le long des parallèles correspondants m et nous voyons qu’ils sont reliés par les deux propriétés suivantes :
i"" Les sinus des demi-angles au sommet sont entre eux dans le rapport K ;
2'’ Les portions de génératrice comprises entre le sommet du cône tangent et le parallèle ont des longueurs égales dans les deux cônes.
DES FAMILLES DE BALLONS
Soient donc la sphère-type et le cône tangent le long du parallèle M (fig. 52). Coupons ce cône, comme la sphère, par les plans des deux grands cercles B AB',
BCD', et enroulons la portion SMN, ainsi déterminée, autour de Taxe B'S, jusqu’à ce que la' génératrice SA vienne coïncider avec SM, nous formerons de cette manière, en vertu des propriétés précédentes , le cône tangent au cône sphérique dérivé, le long du parallèle
Autrement dit, les cônes tangents au cône sphérique ne sont autres que les cônes tangents à la sphère- type , enroulés en même temps que les parallèles.
Géométriquement, cette propriété est presque évidente.
Fig. 52.
Rayon de courbure. — Soit p le rayon de courbure du méridien dérivé au point M^. On a la relation
connue : ds = i^d[x ;
donc, en vertu de la relation 3' :
== Vxdoc.
LAl technique du ballon
D’autre part, on a vu déjà que sin;x=Ksina, et. par suite :
cos \jxl\x = K cos ac?a ;
d’où en divisant membre à membre les deux équa-
lions
cos a
K cos a R^ cos a
Reprenons la figure 4q ut menons la normale Mp jusqu’à l’axe; soit sa longueur.
Nous avons dans le triangle M'm^p :
cos a
et finalement, en multipliant membre à membre les expressions de p et p^ :
pp,=ii^
P J n’est autre que le rayon de courbure de la section normale perpendiculaire au méridien; — p et p^ sont ainsi les deux rayons de courbure principaux du cône sphérique en M' ; ce qui conduit à énoncer tes propriétés suivantes :
i*" En tous les points cViin cône sphérique, le produit des rayons de courbure principaux est constant;
2"" Ce produit est le même pour tous les cônes sphériques dérivant d’une même sphère et est égal au carré du rayon de cette sphère.
Points particuliers. — Véquateur, le rayon de courbure du méridien est :
DES FAMILLES DE BALLONS 295
C’est aussi le rayon de courbure au sommet du petit axe d’une ellipse ayant pour demi -axes a et 1\.
2° .lu pôle y le rayon de courbure du méridien est
le cône sphérique est oscillateur à son cône tangent.
Appelons d’ailleurs 0 le demi -angle au sommet de ce cône tangent à la pointe ; nous avons, en vertu de la relation :
gin U. = K sin a , sin 0 = K.
Tension des étoffes. — On sait que la valeur de la tension de l’étoffe peut se déduire des rayons de courbure. Nous avons, en effet, établi, pour les tensions longitudinales et transversales, les formules :
où P est le rayon de courbure du méridien, que nous venons de calculer, et p^ est le rayon de courbure de la section normale. On peut mettre p^ sous la forme :
Rx
et, par suite, l’on a :
A l’équateur,
J\=pa
Au pôle,
Ainsi, au pôle, la tension est nulle, comme nous l’avions déjà vu. La pointe du ballon n’opposerait aucune résistance à la déformation^ et l’on doit recourir à des artifices de construction pour donner à cette pointe, — dans les dirigeables notamment, — la résistance convenable.
Épure du méridien. — Le problème essentiel qu’on est conduit à se poser consiste évidemment à faire l’épure de la méridienne.
Le capitaine Voyer en a donné deux méthodes, basées sur les considérations suivantes.
Traçons les quadrants AB et AjBi ayant respectivement pour rayons R et a, et soit M un point quelconque du premier. Il s’agit de déterminer le point Ml
Fig. 53.
correspondant du méridien dérivé.
DES FAMILLES DE DALLONS
Or on sait que l’on a :
arc AjMi = arc A M ;
2"^ Valeu^r de Cabscisse :
= a cos a.
Cela posé, le rayon vecteur OM rencontre en F la circonférence de rayon a, et nous aurons, pour la corde correspondante :
Vf = a cos a = M\m^ ;
3” Valeur de Vordonnée :
Nous avons vu qu’en construisant l’ellipse BG dont les axes sont :
R et b~ Y — d' , ^ et menant MD parallèle à AO, on obtient :
, arcCD = 0/ni.
Deux de ces trois données suffisent à déterminer le point Mj. Aussi en peut-on déduire deux procédés distincts pour faire l’épure de la méridienne dérivée.
Méthode. — Ayant tracé les deux cercles de rayons R et a, on divise le quadrant AB en un certain nombre de parties égales Ab, bc,.., ces arcs étant assez petits pour qu’on puisse les assimiler à des éléments de droites.
Les rayons correspondants à ces points de division Ob , Oc, etc., coupent la petite circonférence en P, Y» S» £,••• d’où l’on élève les ordonnées parallèles à l’axe de révolution OB.
Enfin, avec une ouverture de compas égale à l’élément d’arc \b, on trace un arc de cercle du point
comme centre, coupant l’ordonnée de ^ en qui est le point du méridien cherché correspondant à h.
De b comme centre, en opérant de même, on déterminera sur l’ordonnée Y le point Cl correspondant à c, et ainsi de suite.
En opérant ainsi Fig. 54. de proche en pro-
che, toutefois, il
est à craindre que les erreurs s’accumulent et que la demi- longueur de l’axe soit mal déterminée.
Méthode. — Cet inconvénient disparaît en faisant usage des coordonnées rectilignes de la courbe méridienne. Nous venons de voir que ces coordonnées ont pour valeurs :
Mj//?! ou x“=acosa,
OaHj ou z=j (l7.yJW — ('f^sin'^a,
et nous avons fait remarquer que celte dernière est égale à l’arc de l’ellipse ayant pour demi-axes :
R et b = \^l\V^ — (V .
DES FAMILLES DE BALLONS
Construisons cette ellipse, dont les foyers sont précisément les extrémités du
cercle de rayon a (fig. 55). On divise l’ellipse en un certain nombre de parties égales C6', et l’on porte ces arcs, assimilés à des éléments de droites, sur l’axe OB : on obtient des ordonnées (z),
O?', oy...
Pour avoir les abscisses correspondantes, on mène h' b, cc...
parallèles à OA , puis les rayons Oh, Oc. . . qui rencontrent le cercle A , aux points fi , y... Chaque point du méridien est ainsi déterminé par son abscisse et son ordonnée .
On voit d’ailleurs que la longueur totale du demiaxe du ballon est égale à la longueur d’arc du quadrant de l’ellipse.
prrt
Fig. 55.
T ange nie. — Un point quelconc£ue du méridien étant obtenu , si l’on veut la tangente à la courbe en ce point, il suffit de mener la tangente correspondante MS au cercle AB de rayon R, puis de prendre, entre le point M et l’axe OB, la longueur = MS.
Cette construction ne s’applique évidemment pas au pôle ; mais nous savons que la tangente au pôle fait avec l’axe l’angle 0 tel que :
elle est donc parallèle à la droite A^F = R.
En outre, on sait que cette tangente est osculatrice à la courbe méridienne.
Surface du cône sphérique. — Considérons sur la sphère -origine la zone comprise entre l’équateur et un certain parallèle situé à la hauteur h au-dessus de l’équateur. Elle a pour surface 2-R/i, ou bien 27:R^sin a, puisque /i = Rsina. La partie de celte zone qui a servi à former le tronc de cône sphérique est évidemment dans le rapport K avec la zone totale ; sa surface est donc ;
Et, de même, la surface totale du cône sphérique, pour a = 9o'’, est :
S = 27:aR.
Elle est égale à la surface d’un cylindre de même base que le cône sphérique et de longueur R.
Sa= 27:KR“sina.
et puisque
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Longueur de l’axe du cône. — La longueur 2: de l’axe du cône sphérique peut se mesurer sur l’épure au curvimètre. C’est aussi la longueur, mesurable au curvimètre, du quadrant de l’ellipse (demi -axes a et h) que nous avons définie , si cette ellipse a été tracée sur répure.
Pour le tronc de cône correspondant à l’angle d’anomalie a , on a :
et il a construit des tables qui donnent les valeurs de cette intégrale. On pourra donc, au moyen de ces
Volume. — Le volume élémentaire compris entre deux parallèles infiniment voisins est :
X étant le rayon de l’un , ou , en fonction de la variable a :
dv = 7:a^R cos^ y,xa y/ 1 — K“ sin'^ y .
Le volume du tronc de cône est ainsi , en intégrant :
On pourrait résoudre en se servant des tables de Legendre relatives aux fonctions elliptiques; mais le capitaine \oyer a donné une formule approchée, qui peut suffire dans la pratique.
Legendre a posé :
tables , calculer : z = RE .
dv = Tzx^dz,
Celte formule est la suivante :
et numériquement :
V = 2,4674R^(K^ — O, i25K^ — o,oi56K^).
En supposant, par exemple, K = -^, ce qui correspond à un allongement de moins de trois fois le diamètre , le terme en donne :
Cette faible valeur permet de le négliger, et Ton pourra se contenter, pour les applications, de la formule :
V = 2,4674RXK^ — 0,1 25K^).
Note complémentaire. — Nous renvoyons le lecteur désireux d’approfondir cet intéressant problème au mémoire de Gauss sur les surfaces applicables, à celui d’Ossian Bonnet, j)aru dans le Journal de l’École polytechnique et 42® cahiers), au Traité d’ Analyse de Laurent (t. VIT, p. i44 et suivantes), et, en ce qui concerne plus particulièrement les familles de ballons, au mémoire déjà cité du capitaine Voyer [Revue de l\\.éronautique), auquel nous avons emprunté d’ailleurs la plupart des développements de ce chapitre et du suivant.
Nous ne saurions enfin passer sous silence les travaux de M. Maurice d’Ocagne, qui touchent à la même matière, sans d’ailleurs que leur auteur ait eu en vue les applications de l’aéronautique.
Dans une note publiée par le Bulletin de la Société
DES FAMILLES DE BALLONS
maLhématiqae de France (t. XXI, iSgS, p. 85), M. d’Ocagne a établi le théorème siiWant :
Soient C une section faite dans iin cylindre quelconque r par un plan P, d l'intersection du plan V par un plan P perpendiculaire aux génératrices de F et qui coupe luimême ce cylindre suivant la courbe c. Lorsqu'on développe le cylindre F sur un plan, la courbe G se transforme en G' et la courbe c en une droite d'. Cela posé, on a cette proposition :
La surface de révolution S engendrée par la rotation de la courbe G autour de la droite d, et la surface de révolution S' engendrée par la rotation de la courbe G' autour de la droite d' sont applicables l’une sur l'autre.
Nous ne donnerons pas la démonstration de ce théorème ; mais on voit immédiatement qu’il est susceptible d’application dans la fabrication des enveloppes de ballons, puisqu’on en peut tirer le moyen d’engendrer les méridiennes de surfaces de révolution applicables sur une surface de révolution S donnée.
Par la méridienne G de S, on fera passer un cylindre dont les génératrices, inclinées d’un angle quelconque sur le plan de G, soient à angle droit sur l’axe d de S, puis on développera ce cylindre sur un plan, et la courbe G donnera naissance à G'.
Si la courbe G coupe d en deux points V et B et si ces points, dans le développement, viennent en A' et en B', l’axe d! est donné par la droite A'B'.
Si G ne coupe pas r/, on choisit deux points quelconques A et B sur G ; les tangentes en ces points coupant d en a et en j^, on porte sur les tangentes à G', menées par les points correspondants A' et B', les seg-
ments A'a' = B'fi' = B[5. L’axe d! est alors donné par la droite
Il faut encore remarquer que lorsqu’on fait varier le plan P de l’énoncé précédent, c’est-à-dire lorsque Taxe d se déplace par rapport à la courbe G en conservant une direction fixe, la courbe G' reste la même, mais que l’axe d' se déplace également par rapport à G' en conservant la même direction.
Si en particulier on suppose que la courbe G soit un cercle , on obtient cette proposition :
Si la courbe G, en tournant autour de d' située dans son plan, engendre une surface applicable sur la sphère, cette courbe, en tournant autour de toute droite parallèle à d' et aussi située dans son plan, engendrera une surface applicable sur un tore.
On peut déduire de ce qui précède un moyen de tracer pratiquement la méridienne G', connaissant la méridienne G. Supposons, en effet, qu’on ait découpé dans un plan rigide et mince un gabarit limité d’une part à la courbe G, de l’autre à l’axe d. Plaçant le bord d de ce gabarit sur une table plane T, donnons à ce gabarit une inclinaison quelconque sur la table ï ; puis, après l’avoir fixé dans cette situation, appliquons contre son bord curviligne G une feuille de papier un peu fort, appuyée par son bord inférieur sur la table T ; nous n’aurons qu’à marquer sur la feuille de papier la trace du bord G, puis à étendre cette feuille sur un plan, pour que cette trace donne la courbe G' qui, en tournant autour de la droite d' , re^^résentée par le bord inférieur du papier, engendre une surface S' applicable sur S. On obtient différentes surfaces S' en faisant varier l’angle du gabarit avec la table T.
DES FAMILLES DE BALLONS
On voit que celte étude contient en germe la théorie des familles de surfaces.
M. Maurice d’Ocagne a d’ailleurs développé ces considérations dans un mémoire sur les surfaces de révolution applicables sur la sphère , publié dans le Bulletin de r Association française pour ravanceinent des sciences (t. XXIII, 1890, p. II).
